培养“数学抽象”核心素养的课堂教学案例及策略

⦿湖北省宜昌市夷陵中学

张园园 杨先进

数学抽象是高中数学六大核心素养之一，是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.它是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，它使数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.从学生角度来看，高中数学内容的抽象性是学习时的一大难点.本文通过三个课堂实录，以及相应的设计意图，探索培养“数学抽象”核心素养的一些基本策略.

1 课堂实录及设计意图

案例1 全称量词命题与存在量词命题的否定

师：我们一起来欣赏一个外国的小故事.外国小说家马克·吐温在一次演讲中谈到国会议员，有些激动，他说：“国会议员中有人是混蛋！”一些议员知道后，纷纷要求他公开道歉.于是，马克·吐温在报纸上道歉说：“上次我说‘国会议员中有人是混蛋’，这是不对的，我深表歉意.现在更正为‘国会议员中有人不是混蛋’.”同学们，如果你是国会议员，你满意吗？

生：不满意！

师：那该如何道歉呢？

生：所有国会议员都不是混蛋.

师：好的，如果我们把故事中的人用x来表示，国会议员所组成的集合用A表示，“是混蛋”用“>0”来表示，如何用数学语言描述马克吐温说的第一句话？

生：∃x∈A,x>0.①

师：非常好！如果要道歉，就是要否定这句话，那应该如何用符号语言来否定呢？

生：∀x∈A,x≤0.②

师：①是存在量词命题，②是全称量词命题.由此可见，存在量词命题的否定是全称量词命题.同时，写命题的否定时要注意两点，即改量词，否结论.

设计意图：本片段中，我们用一个幽默的故事作为载体引入，开篇能迅速调动学生的积极性，引发同学们的思考.故事中马克·吐温说的第一句话“国会议员中有人是混蛋！”老师让学生用集合的语言表述出来，是引导学生用数学的语言表达世界的典型.同时，将生活中的事物赋予数学符号，将生活语言转化为数学语言，引导学生深刻体会数学符号的精炼与准确，学生能很快理解存在量词命题的概念特征，即存在某个元素或集合，满足某种特征.再通过第二句话“所有国会议员都不是混蛋”，让学生思考存在量词命题如何否定，再一次通过抽象成为符号语言，顺利完成从特殊到一般的存在量词命题的否定的形式特征，让学生在无形中完成对本节课的重点和难点的理解.

案例2 函数的单调性(第1课时)

生：上升.

师：很好，大家能进一步用自然语言来描述这个变化趋势吗？

生：y随着x的增大而增大.

师：非常好！再来看函数y=0.000 01x+1的图象，能看出变化趋势吗？

生：不容易看，感觉是水平的.

师：那它是否具有前面这几个函数图象同样的变化趋势呢？

生：具有，也是y随着x的增大而增大.

师：为什么？

生：因为0.000 01>0，在初中学过“一次函数中一次项系数大于零时，y随着x的增大而增大”.

师：华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微.我们不能只满足于从形的角度用自然语言来描述这种规律，特别是从图形上反映并不直观或不准确时，还需要进一步地用符号语言来描述.请大家思考，如何用符号语言来描述“y随着x的增大而增大”这一变化趋势呢？

生：f(x)

师：大家同不同意他的说法？(有的同学同意，有的同学不同意.)

生：这样表示不行.比如高斯函数，满足f(x)

师：非常好！那我能否用f(x)

生：也不行，可以构造类似高斯函数的函数作为反例.

师：这位同学思维非常敏捷！那我们该如何描述呢？

生：要限定两个自变量之间的关系，就用x1,x2来表示，当x1

师：很好，x1,x2是两个特定的值吗？

生：不是，是任意的两个数.

师：我们再回到函数y=x2(x≥0) ，若将定义域改成R，我们针对这个函数能说对于定义域内的任意的x1

生：不能.

师：那这说明我们在描述这个规律时应加上什么？

生：加上范围说明.

师：好的，也就是说要说明在什么区间上具有这个规律.那么，这个区间和定义域的关系是怎样的？

生：区间包含于定义域.

师：很好.结合我们刚才的所有分析，我们能把“y随着x的增大而增大”这个规律用符号语言描述出来吗？

生：对于区间A(A⊆D，D为定义域)上的任意x1

师：非常棒！具有这样规律的函数我们称函数在这个区间上单调递增，此区间为函数的增区间.

设计意图：本节课的设计亮点在于，从学生已有的知识出发，步步引导，层层深入，分块突破，让学生经历先从图形语言开始，引导学生到自然语言，再过渡到符号语言表达的全过程，让学生充分感受由具体到抽象的全过程，从而提高学生的数学抽象能力.此设计的亮点还在于利用函数y=0.000 01x+1的图象，让学生体会到用符号形式化表达数学定义的必要性，加深了对函数单调性概念的理解.

案例3 变化率问题(第1课时)

师：小杨和小张都在做生意，小杨挣到10万元，小张挣到2万元，请问如何比较小杨和小张两人谁更能挣钱？

生：挣钱多的当然好!当然是小杨呀！

师：如果小杨是用5年时间挣到10万元，小张用半年时间挣到2万元，你们觉得小杨更能挣钱吗？

生：不是.小张更能挣钱，小杨每年只能挣2万，小张半年就挣了2万.

师：大家认为如何判定两人的经营成果比较合理？

生：只比较挣到的钱数，并不能客观地评价两人的经营成果，比较两人的年平均收入更合理.

师：通过对以上例子的分析，我们知道，仅仅比较一个变量的变化有时候是有局限的，我们往往需要用两个或更多个变量去分析问题.

师：我们再来看一个例子：

例1现有宜昌市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图.(3月18日为第一天，横坐标为1，如图1.)

图1

在“4月18日到20日”宜昌市市民普遍感觉“天气热的很快”，而在“3月18日到4月18日”感觉天气变化没有那么强烈，为什么？怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”？

生:这一问题中，存在两个变量，即“时间”和“气温”.当时间从1到32，气温从3. 5℃增加到18.6℃,气温平均变化率约为0.5℃/d;当时间从32到34,气温从18. 6℃增加到33. 4℃,气温平均变化约为7.4℃/d.所以，从32日到34日，气温变化更快一些.

师:“0.5”表示从“3月18日到4月18日”气温的平均变化率，能说说对“气温平均变化率”的理解吗？

生：气温平均变化率类似于我们的平均速度的概念，是一段时间气温的增加量与这段时间差的比值.如果同一段时间气温增加量越多，变化率越大，人体的感受就会越强烈.

师：上面问题中的温度随时间的关系如果用y=f(t)表示，那么问题中的平均变化率可以如何表示?

师：很好！平均变化率可以反映变量的变化快慢程度.是否在所有情况下它都能很好地反映一个变量的变化呢？我们再来看一个例子：

师：平均速度是0，是否说明运动员这段时间没动？

生：不是.

师：可见，用平均变化率刻画变量的变化速度是有局限性的，有时候我们需要进一步研究瞬时变化率.

设计意图：本片段的亮点一是通过创设情境引导学生了解“引入平均变化率的必要性”，通过对例2的探究引导学生对平均变化率进行反思，发现用平均变化率描述运动和变化状态的局限性，从而认识到学习瞬时变化率的必要.本片段的亮点二在于通过对例1的层层分析，引导学生经历从具体情境中抽象出数学概念的过程，促使学生加深理解平均变化率的实际意义.

3 培养策略

通过以上案例，我们可以总结出，培养学生的数学抽象核心素养，可以有如下策略.

3.1 数学符号情境化，促进认知升华

在案例1中，教师通过一个小故事，把里面的生活语言与数学符号结合起来，让学生很容易就能接受符号语言要表达的意思.数学抽象的第一层次就是感性的抽象与经验性的抽象，通过对生活中的对象与数学对象相似性的辨析，很容易让学生理解概念所要表达的意思.

3.2 抽象概念具体化，突破教学难点

有些数学概念之所以觉得抽象，是因为有太多的符号语言以及定义，让学生眼花缭乱，无从下手.如果能如案例2那样，把符号语言里的每一个关键点通过层层设问分解分析，或者如案例3那样，对每一个概念引入的必要性做逐步分析，学生就能深刻体会到符号语言的精炼性以及必要性，对培养学生的数学抽象能力，以及增强数学学习信心有很大帮助.

3.3 教学内容活动化，提升核心素养

抽象经验可以在数学活动中积累，抽象能力可以在抽象活动中发展，抽象素养可以在抽象经验的积淀与升华中养成.如在学习全概率公式和贝叶斯公式时，学生觉得公式很抽象，不好理解，不好记忆.因此，教师可以借助教材中的阅读材料里著名的“三门问题”，让学生按照规则进行抽奖的对比实验，根据实验结果，分小组讨论、阐述观点，进一步按照贝叶斯公式分析结果产生的原因，以及公式的具体意义，这样学生对贝叶斯公式的结构就会有全新的认识，也会认识到它的巨大威力.

总之，学生的数学抽象素养是在不断解决问题的过程中逐步孕育的，只有精心设计完整的抽象过程才能培养出完整的抽象能力和抽象素养.