“玩转”数学语言 解题不再困难

⦿首都师范大学教师教育学院

郭鑫培 闫瑞敏

1 引言

文字语言是数学问题最基本的表达形式，其特点是通俗，有助于理解题意，但有时叙述较为冗长、繁琐.图形语言的特点是直观，便于观察和联想，但受制于学生的空间想象能力和图形本身的复杂程度，有时难以理解.符号语言简洁精炼，表述方便，有助于运算，但它的抽象性、概括性较强，对学生理解数学问题造成了一定的困难.三种数学语言各有所长，因此我们在解题时要善于灵活地转换数学语言，高效解决问题.

2 数学语言之间的转换

2.1文字语言向图形语言、符号语言的转换

文字语言转换为图形语言可以更加直观地呈现数学问题，转换为符号语言可以使数学问题量化、符号化，从而通过代数运算解决问题.

图1

分析:首先我们通过文字语言理解题意，明确其中的几何条件，然后将文字语言转换为图形语言，从而更加直观地呈现问题，如图1所示.再将其中的几何条件转换为符号语言，如斜率、垂直关系、相交关系等，最终要求证的是三角形面积之比，只需找到图形中的有关三角形，利用三角形面积公式(符号语言)即可求证.

①

又直线BN的方程为

②

联立方程①②，解得点E纵坐标为

故△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

点评：解析几何的核心思想是通过代数方法来解决几何问题，但我们首先要做的是将题目中的文字语言转换为图形语言，即先将几何问题呈现出来，否则后续的所有处理都是空谈.

例2如图2所示，北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( ).

图2

A.3 699块 B.3 474块

C.3 402块 D.3 309块

分析：首先我们要对题目中的文字语言进行分析、转换，借助示意图理解题意，利用相应的数学模型解决问题.如果将上、中、下三层看作一个整体，仍满足每一环比上一环多9块，则这三层每一环石板数符合等差数列模型.再画出示意图理解各层石板数的关系，最后将“下层比中层多729块”转换为相应的符号语言进行求解即可.

图3

解析：由题意可设每环中扇面形石板块数构成的等差数列为{an},则a1=9,d=9.由每层环数相同，设每层有n环，每层之间石板数的关系如右图3.

由下层比中层多729块，结合示意图转换为符号语言，有(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=729,即S3n-2S2n+Sn=729,利用等差数列前n项和公式，可得9n2=729，解得n=9.则三层共有扇面形石板S3n=3 402(块).故选：C.

点评:面对文字量较大的题目，要仔细审题，从中提取关键信息，抓关键点；要善于画示意图来理解题意，同时检索头脑中相应的数学模型，从而实现数学语言之间的转换.

2.2 图形语言向文字语言、符号语言的转换

图形语言转换为文字语言有助于对数学问题的理解与分析，转换为符号语言有助于数学问题的解决，以“数”解“形”.

例3如图4，牛牛从公园E处出发，先到F处与丽丽会合，再一起到位于G处的少年宫参加活动，那么牛牛到少年宫可以选择的最短路径有多少条[1]？

图4

分析:本题是一个计数问题，要“完成的一件事”是从E处到G处，分两步完成，即先从E处到F处，再从F处到G处，因此应利用分步乘法计数原理.我们先将其中的图形语言转换为文字语言，即将路线图中的信息明确化，可以发现E到F处的最短路径长度为以EF为对角线的矩形周长的一半，F到G处的最短路径长度为以FG为对角线的矩形周长的一半，进而可以找出每一步的最短路径条数，根据分步乘法计数原理计算公式(符号语言)求解即可.

解析：由题意可以知道第一步由E到F处共6条最短路径，第二步由F到G处，共4条最短路径.根据分步乘法计数原理，可知牛牛从E处到G处可以选择的最短路径条数共6×4=24.

例4：如图5是一个奖杯的三视图，试通过奖杯的三视图计算它的体积和表面积.(尺寸如图，单位：cm,π取3.14,结果取整数.)

图5

分析：本题是三视图问题，信息全部蕴含在图形之中，因此将图形语言转换为文字语言，是理解、分析问题的必要环节.观察三视图，可知该几何体的上部是一个直径为4 cm的球，中部是一个长、宽、高分别为8 cm，4 cm，20 cm的长方体，下部是一个棱台，其中上底面是边长分别为10 cm，8 cm的矩形，下底面是边长分别为20 cm，16 cm的矩形，棱台的高为2 cm.利用球、长方体、棱台的体积公式(符号语言)即可求出体积.对于表面积，可以发现长方体和四棱台有重合部分，因此计算表面积时，不要重复计算.

由球、矩形、梯形的面积公式，可得S球=4πR2=16π (cm2),通过计算可知，

点评：图形语言向文字语言的转换，是解决几何图形问题的第一步，但往往我们意识不到.这是因为在解题时，我们常常直接借助符号语言来定量计算，忽视了第一步转换对理解问题的重要性.

2.3 符号语言向文字语言、图形语言的转换

符号语言转换为文字语言可以使问题更加简明，转换为图形语言可以使问题更加直观、具体，以“形”助“数”.

图6

当k<0时，不满足不等式的解集区间长度为2；

当k=0时，也不满足题意.

因此，k>0.

例6已知集合

A={(x,y)|y2=x+1,x,y∈R},

B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0,x,y∈R},

C={(x,y)|y=kx+b,x,y∈R},

是否存在正整数k和b使得(A∪B)∩C=∅?若存在，求出k和b的值；若不存在，请说明理由.

分析：先将题目中的符号语言转换为文字语言，来理解题意.集合A和B所表示的都是抛物线，集合C表示一条直线，而(A∪B)∩C=∅表示这条直线和两条抛物线均不相交，还要注意k和b只取正整数.由此我们根据题意，将其中的符号语言转换为图形语言，如图7所示.

图7

由b∈N*得b=2，则直线方程为y=kx+2.将直线方程分别和两抛物线方程联立，可得两个方程组，

综上所述，存在正整数k=1和b=2满足题意.

3 总结

事实上，在解题的过程中，往往需要不止一次地进行数学语言之间的转换，我们要知道每一次转换都是为了更好地理解题目，从而有助于解决问题.因此在解题时，灵活地进行数学语言的转换，可以大幅提高解题效率.这就需要我们在平时的学习中，深入理解与把握对“同一件事”的不同数学语言的表达形式，锻炼数学语言转换能力，“玩转”数学语言，使解题不再困难.