数学文化融入高中数学课堂的案例研究——以“等比数列的前n项和”为例

⦿吉林师范大学

宋樱花

1 数学文化融入高中课堂现状

数学文化融入数学教育，即HPM观点，背后蕴含的理论支撑依据是“历史发生原理”的数学教学.通过课堂中呈现数学知识在历史长河中的发生、发展、拓展的一系列过程，让学生利用较短的课堂时间，经历整个人类较为漫长的探索过程.

汪晓勤教授在《基于数学史的数学文化内涵实证研究》一文中曾论述，数学史融入高中数学课堂教学，不仅有助于学习者知识体系的建构，也体现了教师教学方法的独特，学习者在获得探究数学史乐趣的同时也能够帮助学习者发展数学隐性能力，展现中华民族的文化之美，在数学史中也可以传承和发扬中华民族的美德[1].然而，HPM理论在一线实际教学环节仍存在着无法将理念落地生根的困境.针对我国数学文化融入高中课堂的难题，诸多一线教育工作者也在不断的探索与实践当中[2].

2 数学文化融入高中课堂原则

2.1 真实性原则

在漫长的数学学科的探索过程中，数学知识中蕴含着许多宝贵的财富.无论是数系的不断扩充，还是欧氏几何的建立，都是为了解决人类长时间以来难以破解的实际问题.数学文化想要融入高中课堂教学中，教师在引入数学文化时，应当符合真实性原则.既要保证内容上的真实，也要保证思想上的真善美.只有将真实的问题情境、数学情境、历史情境引入到教学活动中，才能让学生感受到数学史的魅力，以更饱满的热情进入到学习活动当中.

2.2 再创造原则

在一线教学活动中，大多数教师往往过于关注知识的传授结果，对结果的评价往往也只是通过考试或测验来进行，这种评价方式忽略了学习过程.因此，更为重要的是要让学生了解知识产生的过程.学习者学习的时间是十分短暂的，而知识的产生发展是经历了很长时间的.只有通过数学史的融入，使学生对数学的发展历程产生浓厚的兴趣，学习起来才会事半功倍，这跟以往教师照本宣科的讲解方式相比是具有优势的.只有通过教师在教学活动中的二次创造，才能引导学生们不断发现，不断感悟数学知识的发展历程，从而获得更好的教学效果.

2.3 适当性原则

在一线教学中，对数学文化的引用应当遵循适当性原则.“适当”从两个角度而言：其一是知识水平上的适当，即寻找符合学生知识水平和教学内容的数学史料，二者要有一定的关联性才能保证难度的适当；其二是使用程度的适当，即在四十五分钟的标准课时中，应当恰当使用，精选两到三个数学史、数学人物、数学故事进行呈现，而不是在整个数学课堂中一直讲授数学文化的背景，导致喧宾夺主，从数学课变为历史课.在实际的导入或讲授的过程中，适当性原则要由教师进行调控，这样才可以做到适当.

3 数学文化融入高中课堂案例

3.1 教材内容分析

数列是高中数学的重要内容之一，现实生活很多内容常用到它.前面已经学习了数列的许多基础知识，这为本节内容的学习奠定了基础.而等比数列求和的学习又为数列在各方面的应用做好铺垫.

首先，在情境与问题中，通过数学故事进行导入，把学生带入到等比数列求和的情境中，由直观感知到数学抽象，提升学生的人文素养，体现数学的人文育人价值；其次，在知识与技能中要使学生达到掌握数列基本内容的要求；再次，在自主探究的过程中，用观察、比较、分析、归纳、概括等方法对若干实例进行提炼和概括并建立数学模型，并尝试运用错位相减法或构造方程的思想解决等比数列求和问题，使学生感悟从特殊到一般的数学思想方法；最后，在交流与反思中，通过交流分享活动，养成用规范的数学语言表述的习惯，培养具体问题具体分析的理性精神，发展数学建模、逻辑推理等素养.

3.2 学情分析

从认知角度而言：学生已经掌握等差数列定义、性质、求和公式和等比数列的定义与性质，有一定的学习基础，对即将学习的内容做好了知识上的准备.

3.3 数学文化融入的教学内容设计

(1)创设情境.

通过古书中描述的有关数列求和的问题、莱茵德纸草书记载的数列求和问题、舍罕王的棋盘放置麦粒故事三个数学史情境，引入本节课所学习的数列求和问题.在讲解的过程中也让学生理解到数学历史发展的曲折与艰辛[3].例如，本节教学，使学生了解到了等比数列前n项和的探索过程以及其背后蕴含的数学原理，也使课堂有了更加良好的学习氛围，促使学生获得了更多的知识.

师生活动过程：

问题1古巴比伦泥板M7 857上载有等比数列99，891，8 019，72 171，649 539 的求和.

问题2莱因德纸草书是现存的重要的数学典籍之一，莱因德纸草书上曾经记录这样一个关于数列的问题：“假设有7个草屋，每一个草屋中有7只猫，每只猫可以抓7只老鼠，每只老鼠吃7个稻谷，每个稻谷含7个稻粒容积单位，问草屋、猫、老鼠、稻谷、容积总数分别为多少？”

问题3古印度的一位智者发明了早期的国际象棋.国王要给发明者奖励，发明者说: 请在棋盘中放置麦粒，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到将整个棋盘装满.请同学们思考一共需要多少颗麦粒？

设计意图：以数学史中的素材为引例，背景是真实的历史材料或历史故事，充满趣味性，容易把学生带入到等比数列求和的情境中，由直观感知到数学抽象，从侧面激发学生的学习兴趣，帮助学生从感性认识上升到理性思考.同时也体现了数学的人文育人价值.

(2)数学抽象，建立模型.

问题4根据上面问题3求麦粒的数目，实际上是计算1+21+22+……+263=？的问题，也就是求首项是1，公比是2的等比数列前64项的和.

问题5这三个问题是否是一类问题？能不能建立一个更大的数学模型描述这类问题？

问题6首项为1，公比为q的等比数列的前n项和公式是什么？

问题7如何求以a1为首项，以q为公比的等比数列的前n项的和？

设计意图：在模型建立环节，创设了五个环环相扣的数学问题，在不断的追问下启发学生的思维，是基于对数学问题的发现分析与解决策略上的理性思考.五个追问，使学生的探索始终处于自我成长的最近发展区；五个思考，使学生对问题步步深入，对问题的挖掘越来越深刻，在师生、生生碰撞中得出解决问题的方法.

(3)启发教学，公式证明.

通过以下三种不同的证明思路，启发学生学习，开拓学生思路.

根据定义，得

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1

①

①式两端同乘q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn

②

当q为1时，Sn=na1.

因为Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，所以，Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2).

化简，得Sn=a1+q(Sn-an).

证明方法三：Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an.

根据等比数列定义，得

因此，

所以，

(4)案例设计回顾.

学习目标依据学生实际情况定位.课程目标侧重于知识技能、过程、方法；素养目标侧重于学生的情感态度、价值观、数学素养的提升.通过深入挖掘新课标、新教材，在充分把握学情的基础上，力求给学生起到预习引领的作用，为学生本节课的学习奠定基础.

探索学习中创设情境，化史料素材为数学问题，寻找共性特征，归纳总结，建立模型.在交流分享活动中，组织学生加入到小组的活动中，以小组的形式进行展示，展示过程中要注重学生的情感体验，教师在恰当的时机进行点拨和肯定.通过小组交流，培养学生的逻辑推理能力.在展示活动中要注意紧扣各个环节，逐步呈现思维过程.

4 数学文化融入高中课堂的反思

4.1 将数学应用融入数学的日常教学

可以将数学在历史、艺术、文化、科学等诸多方面的应用融合到高中数学教学中，提升学生在学习中的体验感并且激发他们的兴趣.由于学生生活经验的欠缺，可以通过教师阅历的讲述来吸引学生.教学内容的选取从与现实生活相接近的方面进行切入，譬如，学习三角函数时，可以从教师的生活出发，提出对应的问题引发学生思考，再通过细致的讲述完成知识点的讲解，从而解决上课之初提出的问题.

4.2 将数学思想融入数学的日常教学

将数学思想介绍给学生可以有两种方式：(1)以各种文字或者图片材料作为具体阐述的载体，高中生可以直接通过阅读来理解吸收并运用其中的思想；(2)将数学思想融入授课过程中，将具体的实际问题简化为数学问题，建立合适的数学模型就是数学思想的应用.

4.3 将数学之美融入数学的日常教学

数学美属于一种特殊之美，可以将数学之美与高中数学课堂相结合，在潜移默化之中让学生体会独特的数学之美.它的美具体到现实生活中，通常以许多建筑为代表，可以将它们抽象为对应的数学图形，探索对应图形的基本特征从而探知数学之美.生活中的万事万物都体现数学之美，图形的对称、旋转，日常的窗花，都是数学之美的体现.所以将数学之美融合进课堂教学之中，非常有利于高中学生拓宽视野，陶冶他们的情操.

4.4 将数学史融入数学的日常教学

从古至今，无数的数学家为数学史做出了卓越的贡献，但由于教科书的篇幅有限不能将与知识点相关的数学史全部讲述，教师可以在备课之时选取部分数学史以故事的形式讲述出来.譬如勾股定理的证明，除去教材的证明方式，还可以采用一些相对容易理解的方法证明，并提出此种证明方法的数学家的故事，用独特的视角吸引学生的注意力.

5 结束语

综上所述，高中阶段的数学教育工作者应该将精力投入到把数学文化融入高中数学课堂之中.这个过程必将需要大量的时间和精力，需要恒心、细心还有耐心.这一过程不是一蹴而就的，正如《劝学》中所说：“不积跬步，无以至千里”，长久的积累终究会实现这一长久目标.