谈一道高中数学教材经典习题的解法*

⦿北京丰台二中

甘志国

1 谈一道高中数学教材经典习题的解法

解：与教材[1]配套使用的《教师教学用书》[2](2020年8月第1次印刷)第193页给出的该题解答是：

由题设可求得a=2，于是由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=4.又因为|MF1|=5，所以所求|MF2|的值是1或9.

高中数学教材[1]、[3]～[5]的习题中均给出了下面的题2，且与这些教材配套使用的《教师教学用书》中给出的解法也相同，可见其“经典”之程度.

题2如果双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于.

不妨设|PF1|=1，因而|PF2|=17.

A.11 B.9 C.5 D.3

解:B.由所给双曲线的方程及双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=3，可得|PF2|=-3或9(舍去负值)，所以|PF2|=9.

解:11.由所给双曲线的方程及双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=5，可得|PF2|=-1或11(舍去负值)，所以|PF2|=11.

“正值保留、非正值舍去”这种检验方法似乎完整无误，果真如此吗？请看另一道高考题：

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确的结果填在下面空格内：.

答案：|PF2|=17.

疑问：为什么得到的|PF2|的正值“1”又要舍去呢？难道题1～4的解法有误或者有不严谨之处，答案有错吗？

我们要知道下面的常识：不是通过等价转化得到的答案都要检验.如果得到了两两互异的n(n∈N*)个答案，则检验的结果有2n种可能：恰有其中的0个答案满足题设，或恰有其中的1个答案满足题设，……，或恰有其中的n个答案满足题设.比如，当不是通过等价转化得到了两个不同的答案(记作λ,μ)时，检验的结果有四种可能：λ,μ均不满足题设(此时原问题无解)；λ满足题设，但μ不满足题设(此时原问题有唯一解：解是λ)；λ不满足题设，但μ满足题设(此时原问题有唯一解：解是μ)；λ,μ均满足题设(此时原问题有且仅有两个解：解是λ,μ).对两个答案λ,μ均要检验，绝不能说“若λ不满足题设，则μ就满足题设”.

图1

因此，题1～4的解法均有误，并且《教师教学用书》[2]给出的题1的答案也是错误的(理由见后面的论述)：错误在于检验方法“正值保留、非正值舍去”不对(在下文的题7中，得到的两个正值均应舍去).

若点M在该双曲线的右支上，由该双曲线的右支向左凸，可得|MF1|≥|A2F1|=|A2O|+|OF1|=2+4=6，与题设|MF1|=5矛盾.所以点M在该双曲线的左支上，因而|MF1|<|MF2|.

再由双曲线的定义，可得||MF1|-|MF2||=|MF2|-|MF1|=|MF2|-5=4,|MF2|=9.

由图1可看出，双曲线左支上的动点到左焦点距离的取值范围不是(0，+∞)，右支上的动点到左焦点距离的取值范围也不是(0，+∞)，这正是以上检验方法“正值保留、非正值舍去”的错误原因.

2 一般情形的结论及其应用

(用减元法、三角换元法、双曲线的焦半径公式均可获证.)

由定理1及其证明，可得下面的两个推论：

推论1如图2所示，设双曲线Γ的左、右顶点分别是A1,A2，左焦点是F1.则有:

(1)若以F1为圆心，|F1A1|为半径画圆Ω，则除点A1外双曲线Γ左支上的点均在圆Ω外；

(2)若以F1为圆心，|F1A2|为半径画圆Ω′，则除点A2外双曲线Γ右支上的点均在圆Ω′外.

图2

注：在图2中，由圆及双曲线的凹凸性，可得推论1(2)显然成立，但推论1(1)不能仅由看图得出.

(1)当c-a≤r

(2)当r≥c+a时，点P到双曲线Γ的另一个焦点的距离的取值集合是{r-2a,r+2a}.

证明：不妨设点P到双曲线Γ的左焦点F1的距离是|PF1|=r，双曲线Γ的右焦点是F2.

(1)当c-a≤r

(2)当r≥c+a时，由定理1可得点P可在双曲线Γ的左支上，也可在双曲线Γ的右支上.

若点P可在双曲线Γ的左支上，由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=|PF2|-|PF1|=|PF2|-r=2a,|PF2|=r+2a；若点P可在双曲线Γ的右支上，由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=|PF1|-|PF2|=r-|PF2|=2a,|PF2|=r-2a≥c-a.进而可得欲证结论成立.

(1)若|PF1|=17，则|PF2|=；

(4)若|PF1|=r(r>0)，则|PF2|=.

解：依题意可得|PF1|-|PF2|=±16，再由推论2可得所求答案分别是：

错误解法：由题设及双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=||PF2|-25|=22,|PF2|=3或47.

正确解法：因为双曲线Γ的实半轴长a=11，半焦距c=61，所以由定理1可得|PF1|≥c-a=50，与题设|PF1|=25矛盾！所以本题的答案是“不存在”.

还可把推论1加强为：

图3

笔者于2011年发表的文[7]还得到了关于抛物线、椭圆的相应结论(下面的表述略有改动)：

定理3[7]如图4所示，以点C(t,0)(t>0)为圆心,|CO|(O为坐标原点)为半径画圆Ω，则除点O外抛物线Γ:y2=2px(p>0)上的点均在圆Ω外的充要条件是0

图4

图5

图6

图7

推论3如图7所示，设椭圆Γ的左、右顶点分别是A1,A2，左焦点是F1.

(1)若以F1为圆心,|F1A1|为半径画圆Ω，则除点A1外椭圆Γ上的点均在圆Ω外；

(2)若以F1为圆心,|F1A2|为半径画圆Ω′，则除点A2外椭圆Γ上的点均在圆Ω′内.

注：推论3的两个结论均不能由图7直接得出.

题8已知O是坐标原点，椭圆长轴的一个端点是A，椭圆上存在点P使OP⊥PA，求该椭圆离心率的取值范围.

c2cos2θ-a2cosθ+a2-c2=0.