中小学各学段“角”的教学比较分析与启示

陈燕梅

（厦门第一中学，福建 厦门 361000）

一、问题提出

小学、初中和高中有不少数学教学内容存在较大的关联性，如小学和初中均学习一元一次方程、等式的性质；初中和高中均学习函数的概念、三角函数等.《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》［1］要求集中力量研究解决课程标准实施中的关键问题，例如为解决初高中过渡问题，关注知识技能、学习习惯养成，以及初高中学生的心理差异等；《义务教育数学课程标准（2022 年版）》［2］强调加强学段衔接，了解学生特点和学科特点，遵循学生的身心发展规律进行一体化设置，致力于学生的可持续发展.

小学、初中和高中数学都进行了“角”的教学.笔者一方面作为家长亲历小学生的学习过程，另一方面作为跨学段教学的数学教师，实践了初高中的教学，对不同学段的数学教师教学中存在的误区以及如何实施科学有效的教学策略深入思考，深有感触.

二、各学段“角”的课标要求和教学内容对比

“角”的教学内容在人教版《数学》二年级上册、四年级上册、七年级上册和高中数学必修第一册中均有出现，教材内容和课标要求呈现了科学地递进式.（见表1）

表1 各学段“角”的教学内容比较

由此，小学、初中和高中围绕着“角”这一核心概念学习进阶，从简单到复杂，从直观到抽象，从低阶思维走向高阶思维.拾级而上，科学规划学习的阶梯性、连续性和结构性具有重要的意义.

三、“角”教学存在的主要问题与原因剖析

当前，“角”的教学主要在教学衔接、教学定位与要求等方面存在以下问题：

（一）不了解已有的知识经验，简单重复

在七年级上册《4.3.1 角》某节课的教学过程中，教师设问：“下列图形中，哪些是角？”“什么是锐角、直角、钝角？”此类问题，在于教师不了解学生小学已有的知识经验，无法建立新旧知识之间的联系并引导学生积极探索.通过课堂观察，可见学生学习兴趣不浓，新知探索欲望不强；教师因对学生熟悉的教学内容简单重复，课堂时间无法合理分配，重难点知识难以讲解透彻、有效突破.

（二）不清晰后续的学习要求，盲目指导

在七年级上册《4.3.1 角》教学过程中，为了帮助学生理解什么是角，某教师设计丰富的教学环节，通过问题串设计、学生小组讨论等多种方式引导学生理解角不是两条射线，而是这两条射线中间的区域，且采用信息技术将此区域涂上颜色.殊不知，角不仅是具有公共端点的两条射线及它们所夹的区域，还应注意到这两条射线的相对位置关系，为学生在高中学习“任意角”作铺垫.若不清楚后续的学习要求，盲目地强调和指导，学生在下一学段的学习中对任意角的理解将感到困惑.

（三）不尊重学生的认知规律，超纲要求

每一个学段都有学生在此学段需完成的学习任务，教师的教学设计应遵循学生的认知规律，而非打着所谓“系统化”的旗号，简单地将下一学段的内容前置，超纲要求.如在四年级《角的度量》教学中，某教师在课堂上设计活动引导学生在旋转变化中认识角，了解平角与周角，而后教师请学生概括角的两种定义.给“角”这一几何图形下定义远超过小学生的认知水平，如此的超纲教学并未遵循教学基本规律.

四、对中小学“角”的教学建议与启示

课堂教学中，教师应立足问题解决，基于整体规划，把握不同学段教学的深广度，做好衔接与进阶.

（一）遵循不同学段“角”的认知差距

在不同学段，因学生的认知结构和思维特点不同，教学活动的设计也应遵循相应的客观规律.小学生常常在听到、看到、感受到的同时进行思维.在“角”的教学中，教师应引导学生从多方面感知几何图形“角”.通过创设有趣的情境引入概念，让学生主动感知概念后逐步理解概念，并及时设计练习进行巩固，关注学生学习兴趣的培养，尊重小学生的直观形象思维.

初中阶段，学生的思维正处于形象向抽象过渡的时期，依然重视课堂上活动设计，如：课堂伊始，学生自主画角的同时回顾角的特征；课堂尾声，请学生用量角器量出此角的度数，回顾量角器的使用方法，将测量的度数写在另一页练习本上；而后请同桌猜一猜自己画的角是几度？若所猜到的度数与准确度数偏差不超过5 度，则给同桌竖起大拇指点赞.七年级学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，如上小组活动环节具有良好的互动性，在合作学习中激发学生探索的乐趣，培养学生的几何直观.

高中阶段，学生逐步从以经验型为主的抽象逻辑思维向理论型逻辑思维转变.教学中应遵循由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，发展学生的抽象思维能力.如终边相同的角的集合表示，对弧度的理解，均为培养学生的抽象思维能力的良好载体.

（二）准确定位“角”的学段教学目标

根据新课标，“六三”学制1～2 年级为第一学段，3～4 年级为第二学段，5～6 年级为第三学段，7～9 年级为第四学段.［2］教师应尊重学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标找准定位，合理设计并组织实施教学.

如在第一学段（1～2 年级），学生经历从实际物体中抽象出简单的平面图形（角）的过程，因而可设计活动从丰富的生活图形中抽象出平面图形“角”.在第二学段（3～4 年级），学生体验简单图形的运动过程，因而在旋转的过程中认识“角”，了解平角和周角.到第四学段（7～9 年级），在研究图形运动，确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念.教学中通过角的旋转定义理解平角和周角形成过程中两条射线之间的位置关系（共线或重合）.在高中阶段，学生通过抽象数量关系与空间形式，得到相关概念和规则，如“弧度制的引入”.准确地理解不同学段的目标，有利于根据学生身心发展特征，以全局的视角系统思考并梳理总目标在不同学习阶段的表现和要求，将核心素养落地于每个学段的具体目标之中，有效地学习进阶.

除了解不同学段学生逐步递进的目标要求外，教师还应明确不同学段教学的共性，坚持数学教学的一般性规律和科学方法.比如我们都希望培养学生会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界；往往需要创设合适的教学情境启发学生思考，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，让学习真正发生.

（三）精准分析“角”的教材内容

提升课堂教学的效能，前提是教师精心备课.所谓的“精心”，并非看课件是否“花哨”，也非课堂是否“热闹”，关键在于教师对教材文本的研读.深入地阅读教材，才能挖掘文本的内涵，实施精准教学.以七年级《4.3.1 角》的教学为例，教师在备课时常有困惑：“角的静态概念和动态概念在小学都有出现，为何还要教？怎样教？”进一步研读教材，可发现在小学阶段角的表述是“从一点引出两条射线所组成的图形”，而在初中是“有公共端点的两条射线组成的图形”.课堂教学中，教师既要引导学生基于已有的知识经验表达对角的认识，也要启发学生思考小学和初中关于角表述有何区别.初中的教材指出“公共端点”和“两条射线”，既说明了角的元素构成，同时强调了两条射线的位置关系.更深入地研究几何图形的元素构成以及元素之间的位置关系，是初中与小学的区别之一.与此类似，在小学时已经学习了平角和周角，教材中指出“一条射线绕它的端点旋转半周、一周，分别形成平角、周角”，而初中继续学习“平角和周角”，有何区别？细读初中教材可发现，平角为射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时所形成的角；周角为OB 和OA 重合时所形成的角.在细品教材的过程中领会设计意图，初中阶段引导学生用几何的符号语言表述图形元素（两条射线）之间的位置关系“共线、重合”.而关注图形元素之间的位置关系并用几何语言准确地表达，为初中数学学习的重要内容.

研读教材，应淡化形式，关注本质.如高一年弧度制的引入，教师应引导学生理解它的必要性和合理性.通过用线段长度度量角的大小，将三角函数自变量和函数值的单位进行了统一；进一步理解在高中阶段学习函数概念时，为何强调函数必须是实数集与实数集之间的对应，基于此才能进行基本初等函数的运算，从而推广函数的应用性.

因此，教师在阅读教材文本时应细细精读，深入思考，既要了解同一教学对象在不同学段教材内容的变化，也要加强知识融合，联想与建构，引导学生学习经验、认知水平等连续进阶.建议每位数学教师系统研读不同学段的教材，也建议将教材衔接纳入校本培训的重要内容，全面梳理各学段知识衔接的具体内容.

（四）积极引导开展“角”的新知探究

在课堂教学中，教师应注重结合具体的教学内容，设计有效的问题启迪学生的思维，或引导学生探究数学活动，学生在新知的发生发展过程中感悟数学，促进知识、方法和活动经验的积累.根据教育家维果茨基的最近发展区理论，教学中着眼于学生的最近发展区时，应充分发挥已有经验的正向作用.如七年级《4.3.1 角》一节新课引入时，可设计让学生说一说，回顾小学阶段已经学了关于角的哪些知识，在学生已有的学习起点上“生长”初中的新知识.当多数学生回忆小学学过锐角、直角和钝角时，教师启发学生思考回顾角是如何分类的，角的度量单位是什么，引导学生若角度制单位更加丰富，在度量角时将更方便更准确，从而展开“度、分、秒”单位换算的学习；也可设计回顾前一节课所学的“线段”主要研究了哪些问题，从线段研究的路径“线段的定义、表示、度量、比较大小”等类比，思考关于角如何展开新知的探究，从定义、表示等开始第一节新知的学习.又如高一年学习“任意角”时，在“主动轮和被动轮”“体操前空翻转体和后空翻转体”等多样化生活引入后，可结合初中对角旋转定义的认知经验，回顾角的始边和终边，有利于对任意角概念的理解，尊重学生的学习起点，发挥旧知识对新知探索的积极引导作用.

综上所述，学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体是课堂.在不同的学习阶段，学生的学习呈现不同的特点.教师应尊重学生，设置科学合理的学习目标，立足当下，承前启后，践行数学教学的科学规律，真正让核心素养落地课堂.