概率论与数理统计课程中案例教学法的探讨

董 琳

（周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口 466001）

引言

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，广泛应用于社会、经济等领域，是培养学生逻辑思维能力和统计分析能力的重要课程。该课程在大部分理工科专业中都有开设，比如化工、机电、计算机等专业。同时，作为理论性和专业性比较强的课程，学生学习起来难度相对较大，部分学生还可能存在着畏难情况。在教学反馈中，经常有学生表示课程内容已经学会了，但是做题却没有思路。针对教学中存在的问题，将案例教学法应用到概率论与数理统计课程中，以期提高学生的学习效率并且提升学生的学习能力。

一、当前教学中存在的问题

（一）重视概率忽略统计

在概率论与数理统计课程的教学中，概率论是前期的理论基础，数理统计是后期的应用。概率论部分主要介绍随机变量的基础概念，常用的离散分布、连续分布，随机变量的数字特征，以及奠定概率论理论基础的中心极限定理。数理统计的内容主要是应用，比如在实际生活中经常用到的参数估计和假设检验。

大部分理工科专业分配给该课程的课时量都较为紧张，为了打好概率论的基础，多数教师放到前期的课时量较多，导致留给后期数理统计的时间较少，存在着虎头蛇尾的现象。数理统计的内容，数学基础要求不高，在学习期间难点不多，从而学生也不够重视。但是在课程结束之后，如果学生在未来的课程或实际中用到，由于对统计的印象不够深刻，需要调用该部分知识时，会感觉像是重新学习了一门新课程[1]。

（二）强调理论缺少兴趣

概率论与数理统计是来源于实践的一门课程，在实际生活中有广泛的应用。在发展过程中，该学科经历了公理化的严格定义，建立了严密的数学框架，进而提升了理论的高度。比如在概率的定义中，最早出现的是统计定义，然后出现的是古典定义、几何定义，直到柯尔莫哥洛夫提出了概率的公理化定义，才将之前的定义统一起来。

在实践教学中，多数教师着重从数学定义上进行讲解，同时辅以例题分析，即使例题可能来自现实生活，但是仍然脱离了实际使用情况。同时，受限于部分专业学生基础的限制，在授课过程中，教师可能过于强调公式的计算，具体的求解步骤。学生学习到的仅仅是一道道题目，并不能理解这些题目背后的思想和真正训练的目标。

二、案例教学法的探讨

针对课程教学中存在的问题，为了促进学生的理解吸收，需要不断探索新的教学方法并进行分析应用，引入案例教学法是一种有效的补充和尝试。案例教学法是以案例为基础的教学方法，区别于满堂灌的老师主讲方式，而是通过提出问题引导学生参与讨论，老师进行鼓励和帮助。案例教学法自1980年引入教师培训中，而后在1990年受到国内教学界的重视，目前已经应用到多门学科的教学体系中[2]。案例教学法能够架起理论和实践的桥梁，在课堂教学中，通过挑选合适的案例，可以消除理论模型和公式的陌生性，将学生引入到熟悉的场景中，解除学生的畏难情绪，并且通过案例的学习，学生对知识的应用也有了进一步的理解。

经过长期实践与改进，案例教学法的步骤已经逐步完善。首先，需要教师精心挑选教学案例，针对课堂教学的重点和难点，针对性的选择典型案例，以恰当的方式展示给学生，激发学生的兴趣，让学生产生好奇心。其次，结合展示的案例，鼓励学生参与讨论，让学生带着问题去思索，化被动为主动，将问题与所学知识进行联系，引导学生进行探索。最后，教师对学生的讨论进行点评，肯定学生在探索过程中的思考，并对教学内容进行提炼总结，帮助学生进行梳理，使学生学会运用所学知识来解决问题[3]。下面结合概率论与数理统计中的具体教学案例进行分析探讨。

（一）条件概率的应用

教学分析：

条件概率是概率论里较为重要的基础内容，与高中数学的概率知识相比，难度有了明显的提升，是学生学习过程中遇到的一道难关。条件概率中包含三个重要的基本公式，即乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式。其中难度较高的是贝叶斯公式，涉及到先验概率和后验概率，这部分历来作为一个难点，一般会投入较多的精力。

教学案例：

敏感性问题调查

生活中通常需要对一些问题进行调查问卷，统计相关数据。当某些问题比较敏感时，比如学生是否作弊，职员对领导是否满意，孩子是否对家长撒谎等，如果直接进行调查，被调查者出于种种考量，很可能给出的不是真实的回答，从而会影响数据的真实性。

为减轻被调查者的心理负担，设计一种复合式调查问卷。先准备一个箱子，箱子里放置等数量的白球和红球，被调查者从箱子里摸出一只球，看了颜色后放回去。如果取出白色的球，回答第一个问题；如果取出红色的球，回答第二个问题。第一个问题为：你的生日是否在7月1日之前？第二个问题则是调查者真正关心的问题。调查问卷上只有：“是”或者“否”两个选项，而球的颜色只有被调查者本人知道，因此可以真实作答，得到的数据较为准确。

问题提出：

1.统计调查问卷中得到的“是”的比例代表什么含义？

2.第一个问题为什么设置为“7月1日”？

3.这种复合式调查问卷背后的数学模型是什么？

4.调查者真正关心的问题的“是”的比例如何求解？

问题解析：

该模型可以看作一个复杂事件的问题，统计调查问卷中得到的“是”的比例可以作为一个复杂事件的概率，记为。记摸出白球为事件B1，摸出红球为事件B2。第一个问题回答“是”的比例是条件概率，第二个问题回答“是”的比例是条件概率，即真正关心的概率是。

箱子里面设置等数量的白球和红球，是为了给出事件B1和事件B2的概率。第一个问题设置为“7月1日”是为了确定条件概率，类似的也可以设置为“4月1日”或“10月1”日等。作为一个复杂事件概率的问题，这里需要用到的是全概率公式，但是与常见的应用不同的是，这里是从右向左倒着应用公式，即统计调查问卷得到概率，白球和红球数量得到概率和，设置为7月1日得到条件概率，最终应用公式可以计算得到真正关心的第二个问题的概率。

这个案例看似要用到贝叶斯公式，其实抽丝剥茧是一个复杂事件的分解问题，并没有涉及到先验概率到后验概率的转化。通过这个案例让学生认识到并不是所有的问题都是一个套路，而是需要结合具体背景进行分析。

教师总结：

首先从知识层面上进行总结，带领学生回顾条件概率及三个公式，梳理三个公式的异同点和前后关系。然后结合学生回答问题的情况进行总结，肯定学生正确的方向，纠正学生的细节问题，引导学生自我总结，理清整个教学案例的思路。最后从探索方式上进行总结，将实际问题与背后的数学模型联系起来，让学生意识到这些知识并不是冷冰冰的公式，而是现实生活中提炼出来的智慧结晶[4]。

（二）泊松分布的来源

教学分析：

不同于前期学习的古典概型和几何概型，也不同于二项分布等具体试验的分布，泊松分布是学生遇到的第一个相对抽象的分布。大多数教材的处理方式是直接给出泊松分布的分布列等性质，个别教材会补充“马踏死人”的例子，但是都没有说明泊松分布的来源，即为什么会给出这样一个概率。在高等数学前期课程的学习中，很多学生已经养成了不问来源全盘接受的学习习惯，这样重视战术轻视战略的习惯对长期的学习积累是没有益处的。

教学案例：

某工厂生产一种玻璃，由于技术水平的限制，生产出的玻璃可能会出现气泡，为了便于改进生产技术，需要对玻璃单位面积上的气泡个数进行统计分析。假定气泡出现的规律满足以下三个条件：

（1）气泡出现的概率比较稳定；

（2）每块玻璃出现的气泡个数是相互独立的；

（3）出现气泡的概率比较小。

问题提出：

1.该问题用到了前面学习过的哪种分布类型？

3.在计算极限过程中，前面提到的三个假定条件分别有什么作用？

问题解析：

这个案例是从知识层面解释了泊松分布中概率公式的来源，让学生清楚了这个概率并不是凭空得来的，而是通过极限求来的，并且具有实际意义。

教师总结：

首先说明，这个问题的难度较大，学生不能完全探索出来甚至只能分析到一半都是很正常的，这个案例的引入主要是为了给出泊松分布的来源，其中用到的数学技巧较深。其次，在关键点引导学生复习高等数学中的两类重要极限，启发学生继续思索。最后，梳理整个案例的求解脉络，带领学生体会泊松分布的分布列的求解过程，并且留给学生继续思考的问题，比如泊松分布在实际生活中有哪些应用等。

这个案例本身趣味性不强，理论推导公式较多。尽管很多学生在一段时间后会遗忘具体的推导，这并不代表这个案例是没有意义的。很多时候，学生时代学到的具体理论，具体公式在时隔多年后都会记忆不清，即使如此，学习过的痕迹还会在，和完全没有学过是不同的，学过的思想和方法也许才是教育的实质。

（三）假设检验与置信区间的关系

教学分析：

在数理统计教学中，先学习的是置信区间，后学习的是假设检验，两者是存在着内在联系。置信区间研究的是，当参数未知时，给出参数的一个估计范围，即一个区间，保证未知参数以大概率落在区间内。假设检验研究的是，当参数已知，根据样本的数据对参数的真实性进行检验，将整个区域划分为拒绝域和接受域，检验依据的是小概率事件原理。很多学生学习到假设检验的接受域时，会朦朦胧胧觉得比较熟悉，这时需要适度引导，让学生进一步将感觉转化为实质的理解。

教学案例：

某工厂生产一种化学药品，产品的浓度服从正态分布，长期以来其浓度的标准差维持在=0.25。

（2）根据长期观测，在工厂生产正常的状况下，产品的浓度服从正态分布N（1.25,0.25），在（1）的条件下，以0.05 的显著性水平，请判断这批产品的生产状况是否正常。

问题提出：

1.在（1）的条件中，=μ1.25是否落在置信区间内？

3（.1）中的置信区间与（2）中的接受域有什么联系？

4.上述问题之间的关系能否推广到一般情况？

问题解析：

在（1）中，围绕着样本均值，根据中心极限定理，结合样本标准差，构造出的置信区间为，这是由于样本均值渐近服从以μ 为均值的正态分布，因此置信区间是以样本均值为中心的对称的区间。

在（2）中，判断产品的生产状况是否正常，即判断样本均值是否落在接受域内，此处是以真正的均值μ为中心的对称区间，区间半径和（1）中是一致的。

比较（1）和（2），可以发现，构造置信区间和接受域的本质方法都是一致的，都是以中心极限定理为依据，在0.95 的置信水平和0.05 的显著性水平下，构造出的区间半径都是以标准正态分布的0.975 分位数进行界定的。不同的地方是，构造置信区间时，是以样本均值为区间中心；构造接受域时，是以真值为区间中心。在一般情况下，假设检验的接受域和置信区间是一一对应的。

教师总结：

首先从知识层面总结，对比第一问和第二问的求解过程，得出置信区间和接受域本质是一致的。其次，引导学生比较两者的不同点，如应用条件、应用范围，过程中补充学生总结不到位的地方。最后，留给学生课后思考题，将本例从特殊情况推广到一般情况，充分给与学生自由度，课后学生可以自由组合，采取小组合作的方式解决问题，充分发挥学生的自主学习能力。

通过这个案例，将数理统计中的两个模块参数估计和假设检验联系起来，有心的学生在察觉到这种联系后能够进一步求证，这种学习体验对学生是非常有益的，可以帮助学生训练学习迁移能力和自主探索能力。

结语

根据概率论与数理统计的学科特点，结合当前教学过程中存在的问题，引入案例教学法作为提高教学效率的方式。分别挑选了条件概率的应用、泊松分布的来源、假设检验与置信区间的关系作为教学案例，从教学分析、案例选择、问题提出、问题解析和教师总结五个方面展开。案例教学法能够充分调动学生的积极主动性，提高学生解决问题的能力，是将理论与实践相结合的有效教学模式。