数学思想方法在高中数学解题中的应用

陈林

【摘要】从以往高中数学教学实践效果来看，很多学生反映数学习题解答困难，数学成绩难以实现质的飞跃.究其原因，与学生未能准确理解和掌握数学思想方法有一定的关系.本文从概述高中数学教学中渗透数学思想方法的必要性展开，着重分析和探讨数学解题过程如何有效应用数学思想方法，并提出相关建议.

【关键词】高中数学；数学解题；数学思想方法

高中数学教学中数学思想方法的理解和掌握是教学的重点，也是难点，與具体的知识点并列成为数学两大“河流”.所以，为了能够提高学生数学学科学习效果，增强学生数学知识水平及综合能力，需要在数学解题中逐一指导学生理解和掌握数学思想方法.

1 概述

1.1 数学思想

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.在数学知识学习或者数学问题解答的过程中，需要学习者形成正确的数学思维，才能够形成正确的数学观点，才能制定正确的学习或解题策略，有效地学习数学知识或者解决数学问题，达到事半功倍的效果.

1.2 高中数学教学中渗透数学思想方法的必要性

目前可应用的数学思想方法有多种，比如数形结合思想、类比思想、函数与方程思想、化归与转化思想、方程思想、分类讨论思想、不等式思想等，不同方法的应用特点不尽相同，所发挥的作用也有所不同.将数学思想方法恰当地应用于高中数学教学之中，不仅符合新课程改革的要求，还能够帮助学生形成和强化数学思维，进而帮助学生养成主动学习能力、独立思考能力等，促进学生全面发展.

对以往高中数学教学实践情况予以分析，在传统教学观念影响下，课堂教学以教师讲授知识为主，学生被动地接受知识，并未主动思考数学知识，更不要说灵活地运用数学知识解题，学生自主学习能力难以得到提升[1].数学学习的重点不仅是让学生掌握，并有效地运用数学知识解题，还要求学生能够产生数学思想，在面对不同类型数学题目时能够灵活地运用数学思想方法，准确解题，同时参透数学学科本质，归纳总结，进一步完善自身知识体系及综合能力.所以，无论是从促进学生全面发展的角度，还是从提高数学教学有效性的角度来讲，数学教学中有效应用数学思想方法是非常必要的.

1.3 高中数学思想方法教学原则

高中数学教学中应合理且有效地应用数学思想方法，以便引导学生主动学习、思考及探究，提高个人知识水平、个人能力及个人素养等.但要想真正做到这一点，需要遵循以下原则.

其一，重视过程性.数学思想方法并不是游离在数学学习之外的另一种学习内容，它产生于数学理论知识与解题过程，不能单独存在.所以，为了使数学思想方法在数学教学中充分发挥作用，首先需要教师正确认识到数学思想方法的应用价值，其次需要教师在组织学生学习数学知识、引导学生解答数学习题的过程中发现、认识、了解及总结数学思想方法，逐渐形成数学思想应用体系，使之能够在自主学习或者独立解题的过程中灵活应用数学思想方法，达到事半功倍的效果[2].

其二，重视反复性.帮助学生构建数学思想应用体系并非一朝一夕就能够实现的，需要反复练习、反复总结、反复积累，如此才能够达到融会贯通的状态.基于此，数学教师在组织学生进行数学学习或者复习的过程中要为他们创造实践锻炼的机会.比如针对不同类型习题，要求学生运用不同数学思想方法进行思考与解答.这一过程中观察学生解题实际情况，进而判断他们是灵活地运用数学思想方法还是生搬硬套.如若后者，教师应注意了解学生数学学习的特点，遵循因材施教的原则，采取恰当的方式方法来指导学生.比如先指导学生解答生活化的数学习题，之后指导学生解决抽象性的数学习题，让学生从“从具体到抽象”概括与总结数学思想方法，进而深刻理解数学思想方法.

2 数学思想方法在高中数学解题中的应用

2.1 不等式思想在高中数学解题中的应用

不等式思想就是高中数学教学中应掌握的重要思想之一.从历年高考数学考查的重点来看，不等式思想考查的概率较高，比如提出最值数学习题、参数取值数学问题等.为了能够让学生真正理解不等式思想，在高中数学教学的过程中，教师应当注意了解学生的实际情况，比如知识掌握情况、认知程度、理解程度等，从循序渐进的原则来引导学生了解、认识及运用不等式思想.

2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的应用

高中数学教学中除不等式思想运用比较频繁，分类讨论思想的应用也是非常重要的，既能够帮助学生强化数学知识，又能够让学生形成数学思维，增强问题解决能力.当然，要想真正做到这一点，需要教师深入研究教材，客观地分析分类讨论思想应用方向，进而结合学生的学习特点，合理地规划设计数学习题，指导学生在解题的过程中归纳分类讨论思想，加以吸收和内化.通常情况下数学中分类讨论思想应用比较频繁、广泛，教师可以以此为切入点，具体设计参数习题、函数习题、不等式习题等[3].

例1 给出不等式（x+4a）（x－6a）2a+1>0（a为常数，a≠－12），分别解析a>0、a<0及a=0三种情况下，x的取值.

例1是一道典型的分类讨论的习题，在学生解题的同时，教师应观察学生解题情况，引导他们分类思考与讨论，以便更加准确地解答问题.即：首先这是一道含有参数的不等式，参数a变化，会改变2a+1、4a、6a的取值.为了能够更加详细地解析此题，可将a分成四种情况，即a>0、a=0、－12

2.3 对称思想在高中数学解题中的应用

增强学生数学习题解答能力，需要教师深入地研究教材及高考试题，准确地把握重点和难点知识，由此引申出典型习题及习题解答过程中形成的数学思想.进而观察学生知识学习情况及习题解答情况，明确学生数学思想欠缺情况，进而在指导学生进行习题解答的过程中渗透数学思想方法，教授和培养学生.对于高中数学教学而言，对称问题的考查频率也较高，比如平面对称、轴对称或者中心对称习题的提出.此種情况下，教师应将对称思想方法运用到相关习题之中，让学生逐渐了解、认识及总结反思对称思想，帮助他们构建系统的思想应用体系.

2.4 数形结合思想在高中数学解题中的应用

数形结合思想应用是非常常见的，既能够简化教学内容，帮助学生更好地理解数学知识、掌握知识，又能够辅助学生有效解题.所以，为了能够提高高中学生解题能力，在高中数学教学中应指导学生利用数形结合思想进行解题，让他们逐渐理解并且掌握数形结合思想，使之能够在后续的学习之中有效运用这一数学思想方法，获得良好的学习效果.

从本质上来讲，数形结合思想就是将抽象的数学语言转变化为直观的图形，让学生能够一目了然地理解题意，更容易判断题目考查的知识点，进而结合相应的知识点来思考问题，探寻正确的解题思路，快速且准确地解题.

当然，要想使数形结合思想能够充分发挥作用，教师在指导学生解题的过程中运用数形结合思想，需要注意以下几点.首先，应当让学生通过“数”与“形”的转化，真正地理解题意，掌握已给条件及需要求解的问题，进而明确其中蕴含的逻辑关系；其次，应当通过分析题意来思考要考查的知识点，对知识点予以回顾；最后，利用知识点来探寻解题思路，进而有效解题[4].

例2  给出方程式x+4－x－1=6，求解x.

在指导学生进行该习题解析的过程中，首先让学生自行尝试解题，学生可能直接对这一方程式进行求解，而在求解的过程中会遇到困难，导致他们不仅浪费时间，还难以准确解题.此时教师提点学生从绘画函数y=x+4－x－1的图象入手，之后求解y=6条件下x的取值；紧接着教师引导学生思考除了可以绘画函数图象求解，还通过绘画何种图形进行方程式求解，学生联想到绘画数轴，分析方程式的几何意义，进而准确解答；最后，教师让学生回顾数学习题解答过程，思考运用什么方法解答的习题，进而归纳总结数形结合思想，增强学生对数形结合思想的认识.

2.5 化归与转化思想在高中数学解题中的应用

常规情况下化归思想在几何问题、方程问题、运算问题等方面均有体现.无论是为了提高学生解题能力，还是为了提高学生数学成绩，在高中数学教学的过程中教师都应当注重指导学生掌握化归思想，让学生能够找到解决以上问题的诀窍，更加轻松且有效地解题，让数学学习变得更轻松、更容易，增强学生数学学科学习的自信心.

当然，要想真正做到这一点，教师应当根据学生的学习特点，比如知识水平、学习能力、学习态度，遵循由浅入深的原则，为学生设计蕴含化归思想的几何习题、方程组习题及实数运算习题等，引导学生发现和认识化归思想，即将一种形式的数学问题转化为另一种形式，加以归纳总结，寻找正确的解题思路，进而准确且快速地解题.通过反复训练、反复实践，学生势必能够理解和掌握化归思想方法.

2.6 函数与方程思想在高中数学解题中的应用

高中数学教学中，函数与方程思想贯穿始末，它是最基本的数学概念，也是非常有效的数学思想.所以，为了提高学生数学学科学习效果，增强他们的解题能力，在指导学生进行数学习题解答的过程中运用函数与方程思想是非常适合的.需要特别说明的是，为了使学生能够准确理解和掌握该数学思想方法，需要教师先考查学生函数与方程相关知识掌握情况，发现学生存在的学习不足，有效地教授学生，夯实数学基础.在此基础上将函数与方程思想应用于数学习题之中，引导学生归纳总结数学思想，有利于学生构建完善的数学思想应用体系.

3 注意事项

但要想使数学思想方法充分发挥作用，在具体应用的过程中注意以下两点.

其一，备课阶段教师应当深入地研究教材，吃透教材，掌握其中所涉及的数学思想方法，比如数形结合思想、函数与方程思想等.在此基础上结合学生的学情，巧妙地设计数学问题，设计考查知识点的数学习题及数学思想，那么后续组织学生进行习题解答的过程中，既能够让学生复习数学知识，又能引导学生归纳总结数学思想方法，增强对数学思想的认识与理解.

其二，数学教学的过程中，尤其是数学概念教学，应当引导学生推导数学概念形成过程，并且注重运用数学思想方法，让学生在有效学习数学知识的同时，对数学思想方法有一定了解[5].

4 结语

无论是从理论还是从实践的角度来讲，数学思想方法应用于数学教学之中都是非常必要的，能够切实有效地帮助学生解答问题，增强他们的解题能力.当然，要想真正做到这一点，需要教师了解不同类型习题所涉及的数学思想，进而合理地应用数学思想方法，指导学生有效解题的同时，帮助学生认识和掌握数学思想方法.

参考文献：

[1]邓斌.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].中学课程辅导（教学研究），2021（13）：115.

[2]韩沂霖.数学思想方法在高中数学解题中的应用探讨[J].速读（上旬），2019（3）：60.

[3]李红玉.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].数学大世界（中旬版），2020（8）：68.

[4]汪成.数学思想方法在高中数学解题中的应用研究[J].中学生数理化（学习究），2021（11）：26-27.

[5]赵玉麟.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].新教育时代电子杂志（学生版），2019（17）：0104.