高中一年级第2试

一、选择题

1．若sinα>0，sin2α<0，则tanα2的取值范围是（）

（A）（-∞，+∞）.（B）（0，+∞）.

（C）（1，+∞）.（D）（0，1）.

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意的x满足f（x-1）=f（x+7），且f（1）=2，则f（2017）-f（2016）的值是（）

（A）1.（B）-1.（C）2.（D）-2.

3．已知函数f（x）=2x+2b，-x-4b，x<1，x≥1，当b≠0时，有f（1-b）=f（1+b），则b的值是（）

图1

（A）-35.（B）-37.

（C）37.（D）35.

4．如图1，正方体ABCD＼|A1B1C1D1中，点O是正方形BCC1B1的中心，点E是AD的中点，则折线段C1OE在正方体6个面上的投影不可能的是（）

5．If the function f（x）=-5x-15x+1-a is an odd function， then the value of a is（）

（A）-5.（B）-1.（C）0.（D）5.

6．定义abcd=ad-bc，则当α∈0，π6时，函数f（α）=sinαcos2αcos2α-cosα的最大值是（）

（A）-1716.（B）-3+14.

（C）3-14.（D）116.

7．若定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b）+2，其中a，b为任意实数，则（）

（A）f（x）+2是奇函数.

（B）f（x）+2是偶函数.

（C）f（x）-2是奇函数.

（D）f（x）-2是偶函数.

8．有以下命题：

①函数f（x）=sinx+3sinx在x∈（0，π）时的最小值是23；

②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形；

③若正实数a，b，c满足a>c且b>c，则

a1+a+b1+b>c1+c.

其中，正确的命题是（）

（A）①②③.（B）①②.（C）②③.（D）①③.

9．已知函数f（x）在［0，+∞）上是增函数，且g（x）=-f（|x|），若g（lgx）>g（1），则x的取值范围是（）

（A）［1，10）.（B）110，+∞.

（C）110，10.（D）110，1∪（10，+∞）.

10．对实数x，y，定义运算*：

x*y=x，y，x-y≤1，x-y>1.

设函数f（a）=（a2-1）*（3a-a2），a∈R，若方程f（a）=b恰有兩个零点，则实数b的取值范围是（）

（A）-∞，-74∪{-1}∪-34，2.

（B）-∞，-74∪-34，2.

（C）-∞，-74∪-34，2.

（D）-∞，-74∪{-1}∪-34，2.

二、填空题

11．已知x>0，

x+1x≥2，

x+4x2=x2+x2+4x2≥3，

x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4，

…，

由此可以推出x+mxn≥n+1（n∈N*），

则m的最小值是.

12．已知函数

f（x）=（x+2017）2+sin2017xx2+2017

的最大值和最小值分别为M，m，则

M+m=.

13．已知a2-12+12-a2+43=（23-a）b，则a2b2017=.

14．若函数

f（x）=|x+1|+|x-a|-2

的定义域为R，则实数a的取值范围是.

15．已知实数a>0，a≠1.

命题p：y=loga（x2+1）在x∈（0，+∞）单调递减；

命题q：x2-6x+4a2-12a+10=0有两个实数解x1，x2，若x1<x2，则0<x1<1.

若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则a的取值范围是.

16．Sn is the sum of the first n items for the sequence of {an}. If Sn satisfies （n-1）Sn+1=（n+1）Sn（n∈N*），and a2=1，then the general formula of this sequence is an=（n∈N*）.

图2

17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π）的图象的一部分如图2所示，若A，B两点的坐标分别为A196，1，B173，3，则φ=.

18．已知集合M={1，2，3，4，5，6}，P={a，b，c，d}，若PM，那么符合条件的集合P有个，所有符合条件的集合P中的元素之和是.

19．若f（x）=3x-4a+5x-a在［1，4］上单调递减，则常数a的取值范围是.

20．已知a=log643，b=lg2lg5，c=16log0.90.8，则a，b，c由小到大的排序是.

三、解答题

21．已知函数

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］.

（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；

（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围.

22．已知函数f（x）=sinx4cosx+5（x∈R）.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最大值和最小值，并求相应的x值.

23．已知各项都是正数的数列{an}中，Sn是其前n项和，且满足2Sn=2a2n+an-1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}中，b1=32，bn+1=b2n+bn-an2（n+1），求数列{bn}的通项公式.

参考答案

一、选择题

1.因为sin2α<0，

即2sinαcosα<0，

又sinα>0，

所以cosα<0，

因此π2+2kπ<α<（2k+1）π，k∈Z，

于是π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，

从而tanα2>1.故选（C）.

2.在f（x-1）=f（x+7）中，用x+1代x，得f（x）=f（x+8），

故f（x）是以8为周期的周期函数.

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（0）=0，

因此f（2017）-f（2016）

=f（252×8+1）-f（252×8+0）

=f（1）-f（0）=2.故选（C）.

3.当b>0时，1-b<1，1+b>1，

所以由题设的函数，得

f（1-b）=2（1-b）+2b=2，

f（1+b）=-（1+b）-4b=-5b-1，

因题设f（1-b）=f（1+b），

所以-5b-1=2，

解得b=-35<0，

这与“b>0”矛盾；

当b<0时，1-b>1，1+b<1，

所以由题设的函数，得

f（1-b）=-（1-b）-4b=-3b-1，

f（1+b）=2（1+b）+2b=4b+2，

类似于前，有-3b-1=4b+2，

解得b=-37<0，故选（B）.

4.选项（A）是上、下面的投影，选项（B）是前、后面的投影，选项（C）是左、右面的投影，故选（D）.

5.由题设得

f（-x）=-f（x），

即-5-x-15-x+1-a=--5x-15x+1-a，

所以-（5-x+1）（5x+1-a）

=（5-x+1-a）（5x+1），

即-5+a·5-x-5x+1+a

=5+5-x+1-a·5x-a，

整理得（a-5）（5x+5-x+2）=0，

因为5x+5-x+2>0恒成立，

所以a-5=0，即a=5，故选（D）.

6.根据题设的定义，得

f（α）=sinαcos2αcos2α-cosα

=-sinαcosα-cos22α

=-12sin2α+sin22α-1

=sin2α-142-1716，

因为α∈0，π6，

所以2α∈0，π3，

因此sin2α∈0，32，

又32-14>14-0，

于是当sin2α=32时，f（α）取得最大值，为

-3+14，故选（B）.

7.令a=0，则

f（b）=f（0）+f（b）+2，

所以f（0）=-2.

令a=x，b=-x，则

f（0）=f（x）+f（-x）+2，

所以f（x）+f（-x）=-4，

于是f（x）的图象关于（0，-2）对称，

则f（x）+2的图象关于（0，0）对称，

故选（A）.

另解设g（x）=f（x）+2，

则g（a+b）=f（a+b）+2

=f（a）+f（b）+2+2

=g（a）+g（b）.

令a=0，则g（b）=g（0）+g（b），

所以g（0）=0.

令a=x，b=-x，则

g（0）=g（x）+g（-x）=0，

所以g（x）是奇函数，

故选（A）.

8.对于①，有

sinx+3sinx≥23（x∈（0，π）），

再由sinx的有界性知，上式取不到等号，所以①錯误.

对于②，由sin2A=sin2B得

2A=2B，即A=B，

或2A=π-2B，即A+B=π2，

所以②正确.

对于③，因为a>c，a，c∈R*，

所以a+ac>c+ac，

即a1+a>c1+c，

同理b1+b>c1+c，

所以a1+a+b1+b>2c1+c>c1+c，

因此③正确.故选（C）.

9.易知函数f（|x|）是偶函数，

且在（-∞，0］上是减函数，

在［0，+∞）上是增函数，

所以函数g（x）也是偶函数，

且在（-∞，0］上是增函数，

在［0，+∞）上是减函数.

当lgx≥0时，由g（lgx）>g（1），得

lgx<1，解得1≤x<10.

当lgx<0时，由

g（lgx）>g（1）=g（-1），

得lgx>-1，解得110<x<1.

綜上，x的取值范围是110，10.

故选（C）.

10.当a2-1-3a+a2≤1，

即-12≤a≤2时，

f（a）=a2-1∈［-1，3］，

且f-12=-34，

f（0）=-1，f（2）=3.

当a2-1-3a+a2>1，

即a<-12或a>2时，

f（a）=3a-a2∈（-∞，2），

且f-12=-74，f（2）=2，

由此可画出f（a）的图象，如图3所示.

图3

由图象可知

b∈-∞，-74∪

{-1}∪-34，2，

故选（A）.

二、填空题

11.不难发现

1=11，4=22，27=32，…

2=1+1，3=2+1，4=3+1，…

所以m=n2，

显然当m>n2时，x+mxn>n+1（n∈N*）恒成立，

所以m的最小值是nn.

12.将（x+2017）2展开，可知

f（x）=1+22017x+sin2017xx2+2017，

其中22017x+sin2017xx2+2017为奇函数，

所以22017x+sin2017xx2+2017的最大值与最小值之和为0.

因此M+m=2.

13.因为a2-12≥0，12-a2≥0，

所以a2=12，即a=±23.

当a=23时，左边=43，右边=0，显然不成立，舍去.

当a=-23时，

左边=43=右边=43·b，

所以，必须b=1，

于是a2·b2017=12．

14.函数f（x）的定义域为R，等价于不等式|x+1|+|x-a|≥2恒成立，

即（|x+1|+|x-a|）min≥2，（*）

恒成立，

因为|x+1|+|x-a|

=|x+1|+|a-x|

≥|（x+1）+（a-x）|

=|a+1|，

所以，（*）式即|a+1|≥2，

解得a≤-3或a≥1，

故实数a的取值范围是

（-∞，-3］∪［1，+∞）.

15.若命题p为真，则0<a<1.

若命题q为真，

令f（x）=x2-6a+4a2-12a+10，

则由题设，得

f（0）=4a2-12a+10>f（1）=1-6+4a2-12a+10<0

恒成立，

解得12<a<52.

又“p∨q”为真，“p∧q”为假，等价于

“p真q假”或“p假q真”，

即0<a<1，a≤12或a≥52，

或a>1，12<a<52，

所以a的取值范围是

0<a≤12或1<a<52.

16.由（n-1）Sn+1=（n+1）Sn，得

Sn+1Sn=n+1n-1（n≥2），

所以S3S2·S4S3·…·SnSn-1

=31×42×…×n-2n-4×n-1n-3×nn-2，

因此SnS2=n（n-1）2.

将n=1代入（n-1）Sn+1=（n+1）Sn，得

a1=S1=0，

因为a2=1，

所以当n=2时，S2=a1+a2=1，

从而Sn=n（n-1）2（n≥2），

又S1=1×（1-1）2亦满足上式，

所以Sn=n（n-1）2（n∈N*），

于是Sn-1=（n-1）（n-2）2（n≥2），

因此an=Sn-Sn-1

=n（n-1）2-（n-1）（n-2）2

=n-1（n≥2）.

又a1=1-1亦满足上式，

所以an=n-1（n∈N*）.

17.因为点A在函数f（x）的图象上，

所以f196=2sin19ω6+φ=1，

即sin19ω6+φ=12，

则19ω6+φ=2kπ+5π6（k∈Z）.①

又点B在函数f（x）图象上，

所以f173=2sin17ω3+φ=3，

即sin17ω3+φ=32，

则17ω3+φ=2nπ+π3（n∈N）.

如图4，点A所在的周期与点B所在的周期相差2个周期，所以

17ω3+φ=2kπ+4π+π3（k∈Z），②

由②-①，得5ω2=7π2，

图4

解得ω=75π，

代入①式得

φ=2kπ-185π，

又|φ|<π，

所以φ=25π．

18.集合M中含2个元素的子集有15个：

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，

{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，

{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，

那么这些集合的补集也有15个，每个均含4个元素，且这些集合中，有10个含元素“1”，有10个含元素“2”，…，即每个数字均出现10次，

故所有元素之和是

10×（1+2+3+4+5+6）=210.

19.因为f（x）=3x-4a+4x-a=3+5-ax-a，

所以f（x）的图象是由反比例函数g（x）=5-ax按（a，3）平移而得.

因为g（x）=5-ax在［1，4］上单调递减，

所以5-a>0，

即a<5.

图5图6

如图5，若x∈［1，4］位于f（x）图象的右支，

则a<1，

因此a<1.

如图6，若x∈［1，4］位于f（x）图象的左支，

则a>4，

因此4<a<5.

故常数a的取值范围是

（-∞，1）∪（4，5）.

20.因为a=log643=16log23

>16log28=16log2232=14，

且a=log643<log644=13，

所以14<a<13.

因为lg2>0，lg5>0，

所以b=lg2lg5<lg2+lg522=14.

因为c=16log0.90.8>16log0.90.81=13，

所以c>13>a>14>b，

故b<a<c.

三、解答题

21.（1）要使函数

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］

的定义域为R，需要x2+（a-1）x+1>0恒成立.

所以Δ=（a-1）2-4<0，

解得-1<a<3.

因为2a+1>0，且2a+1≠1，

所以a>-12，且a≠0.

綜上，a的取值范围是

-12，0∪（0，3）.

（2）要使函数

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］

的值域为R，需要函数

g（x）=x2+（a-1）x+1

的值域包含（0，+∞）.

所以Δ=（a-1）2-4≥0，

解得a≤-1，或a≥3.

因为a>-12，且a≠0，

所以a≥3.

22.（1）由f（x）+f（-x）=0，得

f（x）是奇函数.

（2）令t=4cosx+5（t∈［1，9］），

则cosx=t-54，

所以sin2x=1-cos2x

=1-t2-10t+2516

=-t2+10t-916.

因此（f（x））2=sin2x4cosx+5

=-t2+10t-916t

=-116t+9t+1016.

令g（t）=t+9t（t∈［1，9］），

则g（t）在t∈［1，3］时，单调递减；

在t∈（3，9］时，单调递增，

所以当t=3时，g（t）min6；

当t=1或t=9时，g（t）max=10，

即6≤g（t）≤10.

因此0≤（f（x））2≤14，

于是-12≤f（x）≤12，

故当cosx=-12，sinx=32，

即x=2π3+2kπ（k∈Z）时，

f（x）max=12；

当cosx=-12，sinx=-32，

即x=4π3+2kπ（k∈Z）时，

f（x）min=-12.

23.（1）因为2Sn=2a2n+an-1，①

所以2Sn+1=2a2n+1+an+1-1，②

由②-①，得

2an+1=2（a2n+1-a2n）+（an+1-an），

即2（a2n+1-a2n）-（an+1+an）=0，

因此（an+1+an）（2an+1-2an-1）=0，

因为an+1，an均为正数，

所以an+1+an>0，

于是2an+1-2an-1=0，

即an+1-an=12.

又因为当n=1时，

2S1=2a1=2a21+a1-1，

解得a1=1，或-12（舍去），

所以数列{an}是首项为1，公差为12的等差数列，

因此an=1+12（n-1）=n+12.

（2）因为an=n+12，

bn+1=b2n+bn-an2（n+1），

所以bn+1=b2n+bn-14，

即bn+1+12=bn+122.

又因为b1=32，

所以对于任意n∈N*，

bn+12>0，

因此log2bn+1+12=log2bn+122.

设cn=log2bn+12，

则cn+1=2cn，

又c1=log2b1+12=1，

所以{cn}是首项为1，公比为2的等比数列，

因此cn=2n-1.

于是bn+12=2cn=22n-1，

故bn=22n-1-12.