高中一年级第1试

一、选择题

1.若函数f（x）=2x，log12x，x≤1，x>1，则函数y=f（2-x）的图象应为（）

2.执行如图1所示的程序框图，若输入n=2016，则输出的结果是（）

（A）0.（B）10.（C）11.（D）12.

图1

3.If the value range of f（x）=lg（ax2+3x+2） is all real number， then the value range of a is（）

（A）0，98.（B）0，98.

（C）98，+∞.（D）98，+∞.

4.将抛物线y=2x2分别向右平移a个单位，可使抛物线与直线y=x-1恰好有一个交点，则a=（）

（A）-78.（B）-87.（C）78.（D）87.

5.若4032-a+2016-a=63，则4032-a-2016-a=（）

（A）30.（B）31.（C）32.（D）33.

图2

6.如图2，在长方体ABCD＼|A1B1C1D1的棱A1A，A1B1，A1D1上各取点P，Q，R，在△PQR中，若∠PQR=2∠RPQ，则∠RPQ的取值范围是（）

（A）（0°，30°）.（B）（30°，45°）.

（C）（45°，60°）.（D）（30°，60°）.

7.已知函数f（x）的定义域为R，在［0，1）单调递减，且f（-x）=f（x）=-f（x+1），则下列不等式中正确的是（）

（A）f72<f73<f75.

（B）f75<f72<f73.

（C）f73<f72<f75.

（D）f75<f73<f72.

8.在△ABC中，已知sinB=25，tanC=34，则角A，B，C之间的大小关系是（）

（A）C>B>A.（B）A>C>B.

（C）A>B>C.（D）B>C>A.

9.已知x>0，y>0，则函数F（x，y）=x2+y2+2x+y的最小值是（）

（A）12.（B）1.（C）32.（D）2.

10.设数列{an}的通项公式是

an=（-1）n（2n+1）sinnπ2+1（n∈N*），

其前n项和为Sn，则S2016=（）

（A）4032. （B）2016. （C）1512. （D）1008.

二、A组填空题

11.方程n（2）n-1=20的整数解是.

12.若不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数m的取值范围是.

13.已知f（n）=1n+1n+1+…+12n（n∈N*），若f（n）<a-2016对任意n恒成立，则整数a的最小值是．

14.在直角坐标平面xOy中，已知点M（0，1），N（2，3），抛物线y=x2+ax+1与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是.

15.已知等差数列{an}满足7a5+5a9=0，且a9>a5.则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n=.

16.当a∈［-1，1］时，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a≥0恒成立，则x的取值范围是.

17.若3a-1=7lg20·12lg0.7，则a=.

18.在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若12sinA2=3cosA21-cos2A，且a=3，则S△ABC的最大值是.

19.As shown in Fig.3， quadrilateral ABCD is inscribed square of ⊙O， the point P is the midpoint of AB， the point Q is the midpoint of AD， PQ interacts AB and AD at M and N respectively， then the value of PMMQ is .

图3

20.若大于1的實数a，b，c满足log2a·log2b=log2ab，log2a·log2b·log2c=log2abc，则c的最大值是.

三、B组填空题

21.函数f（x）=x4-8x2+12在x∈［-1，3］上的最小值是；最大值是.

22.已知函数f（x）=-x|x|，则函数f（x）是函数（填“奇”或“偶”）；若x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的取值范围是.

23．设不等式|x-a|<2的解集为（0，4），则a=；函数f（x）=2|x+a|+3|ax-1|的最小值是.

24.已知数列{an}的通项公式是an=1（n+1）2，若bn=2（a1-1）（a2-1）…（an-1），则b3=；bn=.

25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23sinA3cosA3-2sin2A3=1，且b2=ac，则角A的度数是；sinC的值是.

参考答案

一、选择题

1.可分两步，先作出f（-x）的图象，如图4所示.

图4图5

再将其图象向右平移两个单位即可得到f（2-x）的图象，如图5所示.故选（D）.

另解直接推出

f（2-x）=22-x，log12（2-x），2-x≤1，2-x>1，

即f（2-x）=22-x，log12（2-x），x≥1，x<1，

而当x=1时，y=2，故可知选（D）.

2.因为2016=25×63，且64=26，

所以n=5+6=11，故选（C）.

3.f（x）=lg（ax2+3x+2）的值域是R，等价于ax2+3x+2可取到全部正实数.

当a=0时满足；

当a≠0时，则要保证二次函数开口向上且与 轴至少有一个交点，

即a>0，Δ=9-8a≥0，解得 0<a≤98.

綜上0≤a≤98.故选（B）.

4.抛物线y=2x2向右平移a个单位，

得y=2（x-a）2，

与直线y=x-1联立，得

2x2-（4a+1）x+2a2+1=0，

根据题设得Δ=（4a+1）2-16a2-8=0，

解得a=78，故选（C）.

5.设4032-a=m，2016-a=n，

则m2-n2=2016，

又由题设得m+n=63，

所以m-n=2016÷63=32，

即4032-a-2016-a=32.选（C）.

6.令A1P=x，A1Q=y，A1R=z，则

cos∠RPQ=PQ2+PR2-QR22PQ·PR

=（x2+y2）+（x2+z2）-（y2+z2）2（x2+y2）（x2+z2）

=x2（x2+y2）（x2+z2）>0，

所以∠RPQ为锐角，

同理∠PQR，∠QRP均为锐角，

因此△PQR是锐角三角形，

从而∠RPQ+∠PQR>90°，

∠PQR<90°，

因为∠PQR=2∠RPQ，

所以3∠RPQ>90°，2∠RPQ<90°，

即30°<∠RPQ<45°.故选（B）.

7.因为f（-x）=f（x），

所以f（x）是偶函数，

又f（x）=-f（x+1），

所以f（x+1）=-f（x+2），

因此f（x）=f（x+2），

从而f（x）的周期为2，

则f72=f4-12=f-12=f12，

f73=f2+13=f13，

f75=f2-35=f-35=f35，

又f（x）在［0，1）单调递减，

所以f35<f12<f13，

即f75<f72<f73，故选（B）.

8.因为33<tanC=34<1，

所以π6<C<π4，

又sinB=25<12，

所以B<π6或5π6<B<π，

因为C>π6，B+C<π，

所以5π6<B<π不满足条件，

只能是B<π6，因此 B+C<5π12，

从而A>7π12，

于是A>C>B，故选（B）.

另解因为tanC=34，

所以sinC=35，cosC=45.

在Rt△ABC中，sinC=35>25=sinB，

所以C>B.

又由sinB=25，得cosB=215，

所以sinA=sin（B+C）

=sinBcosC+sinCcosB

=25×45+35×215

=8+32125>35，

同上，得A>C，

综上A>C>B，故选（B）.

9.由于F（x，y）是关于x，y的对称式，

所以本题等价于：

当x=y时，求f（x）=x2+1x（x>0）的最小值.

易知f（x）=x2+1x=x+1x≥2，

所以F（x，y）=x2+y2+2x+y的最小值为2.

故选（D）.

10.由an=（-1）n（2n+1）sinnπ2+1（n∈N*），得

a1=-2，a2=1，a3=8，a4=1，

a5=-10，a6=1，a7=16，a8=1，…

注意到sinnπ2的周期为4，可以看到

a1+a2+a3+a4=8，

a5+a6+a7+a8=8，

从而猜想a4m+1+a4m+2+a4m+3+a4（m+1）

=8（m∈N）.

证明如下：

易知4m+2，4（m+1）均为偶数，

则sin（4m+2）π2=sin4（m+1）π2=0，

故a4m+2=a4（m+1）=1.

又4m+1，4m+3均为奇数，

故有a4m+1+a4m+3

=-［2（4m+1）+1］sin（4m+1）π2+1-

［2（4m+3）+1］sin（4m+3）π2+1

=-（8m+3）sin2mπ+π2-

（8m+7）sin2mπ+3π2+2

=-（8m+3）sinπ2-（8m+7）sin3π2+2

=-（8m+3）+（8m+7）+2=6，

所以a4m+1+a4m+2+a4m+3+a4（m+1）=8.

因此S2016=8×（2016÷4）=4032.

故选（A）.

二、A组填空题

11.由题设的不等式可知

20=1×20=2×10=4×5，

又因为（2）n-1是不能被5整除的整数，

所以n能被5整除，

因此n=5或10或20，

又易得（2）n-1为整数，

所以n為奇数，因此n=5，

经验证，n=5是原方程的解.

12.由不等式|x-m|<1，得

m-1<x<m+1，

问题等价于m-1≤13，m+1≥12，

解得-12≤m≤43.

13.因为f（n）-f（n+1）

=1n-12n+1-12n+2

=12n-12n+1+12n-12n+2

>0，

所以f（n）单调递减，

因此f（n）的最大值是f（1）=32=1.5，

于是a>1.5+2016=2017.5，

故满足题意的最小整数a的值是2018.

14.由M（0，1），N（2，3），得线段MN所在直线的的方程是y=x+1，

则抛物线与线段MN交点的横坐标满足方程

x2+ax+1=x+1，且0≤x≤2，

解得x1=0，x2=1-a，

所以0<1-a≤2，

则a的取值范围是［-1，1）.

15.由a9>a5，知公差d>0，

因为7a5+5a9=0，

所以7a1+28d+5a1+40d=0，

因此12a1=-68d，

即a1=-173d<0.

由an=a1+（n-1）d>0，

得-173d+nd-d>0，

解得n>203=623，

所以a6<0，a7>0，

故可知，当数列{an}的前n项和Sn最小时，n的值是6.

16.把f（x）看作关于a的函数，记为

g（a）=（x-2）a+（x-2）2，

显然当x=2时，g（a）=0，符合题意.

当x≠2时，则g（a）是a的一次函数.

当x>2时，只需g（-1）≥0即可，

解得x≥3.

当x<2时，只需g（1）≥0即可，

解得x≤1，

因此，x的取值范围是

x≤1或x=2或x≥3.

17.在3a-1=7lg2012lg0.7的两边取以10为底的对数，得

lg（3a-1）=lg7lg20+lg12lg0.7

=lg20lg7+lg0.7lg12

=（1+lg2）lg7-（lg7-1）lg2

=lg7+lg2=lg14，

所以3a-1=14，

解得a=5.

18.由12sinA2=3cosA21-cos2A，得

3sinA=1-cos2A=2sin2A.①

因为A是锐角△ABC的内角，

所以sinA>0，且A是锐角，

于是，由①解得sinA=32，

从而A=π3，

由余弦定理可得

a2=3=b2+c2-2bccosA，

所以3≥2bc-2bccosA

=2bc-2bccosπ3

=2bc-bc=bc，

（当且仅当b=c时，等号成立）

即bc≤3，

因为S△ABC=12bcsinA=34bc，

所以S△ABC的最大值为334.

图6

19.连接OP交AB于点E，连接OQ，OA.

因为点P是AB的中点，

所以PO⊥AB，

因为四边形ABCD是正方形，

所以AB⊥AD，

因此PO∥AD，

又点Q是AD的中点，

所以AD⊥QO，

从而PO⊥QO，

因此△PEM∽△POQ，

从而PMMQ=PEEO.

故△AEO为等腰直角△，

所以EO=22AO=22PO，

故PMMQ=PEEO=PO-EOEO

=1-22PO22PO=2-1.

20.因为a>1，b>1，c>1，

所以log2a>0，log2b>0，log2c>0，

因此，由题设条件，得

log2alog2b≤log2a+log2b22=（log2ab）24.

因为log2alog2b=log2ab，

所以log2ab≤（log2ab）24，

解得log2ab≥4.

又由log2alog2blog2c=log2abc，

得log2alog2blog2c=log2ab+log2c，

所以log2c=log2ablog2alog2b-1=log2ablog2ab-1

=1+1log2ab-1

≤1+14-1=43，

故c≤243.

三、B组填空题

21.因为f（x）=x4-8x2+12

=（x2-4）2-4，

且x∈［-1，3］，

即x2∈［0，9］.

设x2=t，则

g（t）=（t-4）2-4（t∈［0，9］），

因此当t=4时，g（t）min=-4.

当t=9时，g（t）max=21，

故f（x）在x∈［-1，3］上的最小值是-4，最大值是21.

22.因为f（x）+f（-x）

=-x|x|+x|-x|=0，

所以f（x）是奇函数.

图7

因为f（x）=-x2，x2，（x≥0），（x<0），

易得函数f（x）的图象如图7所示.

由图象知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减.

又x1+x2>0，

即x1>-x2，

所以f（x1）<f（-x2）=-f（x2），

因此f（x1）+f（x2）<0，

同理f（x2）+f（x3）<0，

f（x3）+f（x1）<0，

于是f（x1）+f（x2）+f（x3）<0，

故f（x1）+f（x2）+f（x3）的取值范围是

（-∞，0）.

23.（1）因为不等式|x-a|<2，

即a-2<x<a+2的解集为（0，4），

所以a-2=0，a+2=4，

解得a=2.

（2）f（x）=2|x+a|+3|ax-1|

=2|x+2|+3|2x-1|

=2|x+2|+6x-12

=2|x+2|+x-12+4x-12

≥212+2+4x-12

=5+4x-12.

（当且仅当x=12时，等号成立）

所以函数f（x）的最小值为f12=5.

24.因为an=1（n+1）2，

所以b3

=2×14-1×19-1×116-1

=-54.

又an-1=1-（n+1）2（n+1）2=-n（n+2）（n+1）2，

因此bn

=2×-1×322×-2×432×-3×542×…×

-（n-2）n（n-1）2×-（n-1）（n+1）n2×

-n（n+2）（n+1）2

=（-1）n·n+2n+1.

25.由23sinA3cosA3-2sin2A3=1及倍角公式，得

3sin2A3+cos2A3-1=1，

所以32sin2A3+12cos2A3=1，

即sin2A3+π6=1，

因此2A3+π6=π2，

解得A=π2.

又b2=ac，

所以sin2B=sinAsinC=sinC，

即cos2C=sinC，

從而1-sin2C=sinC，

解得sinC=5-12

或-5-12<0（舍去）.