高阶思维下高中数学比较大小的方法探究

符晓燕

(江苏省如东高级中学，江苏南通，226400)

2022年高考数学全国Ⅰ卷有许多亮点题型，其中比较大小更值得我们关注.高中数学比较大小除了传统意义的作差、作商、介值、特值、基本不等式、初等函数的单调性等方法外，还可以利用导数的切线、飘带不等式、构造函数、二项式定理、泰勒展开式等比较大小.通过研究近几年的高考试卷，得出如下结论.

1 利用切线不等式比较大小

又y=xex-e(x≥1)单调增,所以xex-e≥0，所以h(x)≥0.

2 利用切线不等式的变形比较大小

证明：先证，当a>0时，f(x)min=f(a)=lna+1.

例4已知函数f(x)=aex-1-lnx-1.证明：当a≥1时，f(x)≥0.

证明：∵a≥1，∴aex-1≥ex-1，∴f(x)≥ex-1-lnx-1.

∵x+1≤ex,∴x≤ex-1,∴ex-1-lnx-1≥x-lnx-1≥0，当且仅当x=1时取等号.

对于指数式、对数式、分式这一类问题常利用切线不等式的一些变形、放缩能很快解决一些不等式的比较大小问题，提高效率.

3 利用飘带不等式比较大小

( )

A.a

C.c

∴c

证明：可证得当x>-1时，函数f(x)单调增，

由于这些函数在同一直角坐标系中画出来的图象，像飘带，故称为飘带不等式.飘带不等式使用时要注意自变量的取值范围，在不同的范围内，不等式的不等方向可能不同.

4 通过构造函数比较大小

例7(八省联考)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则

( )

A.c

C.a

所以f(3)

两种构造方法，异曲同工，效果甚佳.

( )

A.a

C.b

当00,∴h(x)单调递增，

∵h(0)=0,h(0.01)>h(0),∴a>c.

( )

A.e-1B.1 C.eD.e2

解析：由x>0,ax>0⟹a>0，

② 若ax>1，令f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx>0在(1,+∞)恒成立，

5 通过二项式定理放缩比较大小

对于一些指数式，有时可以用二项式展开式放缩，进而可以比较大小.

再结合飘带不等式比较a与c得正确答案C.

对于指数式中的指数为正整数时，可选取二项式定理放缩.值得注意的是尽量要多写几项，得出的值更逼近原数.

6 利用泰勒展开式比较大小

这种方法适用于指数式、对数式、分式的混合式.要对泰勒展开式熟悉的情况下使用，不能对所有的学生适用.

高中阶段对分式、指数式、对数式的混合型比较，在近几年的高考试卷中频繁出现，所以必须要对各种方法熟练掌握，才能自由发挥.