创设合理情景，实现深度学习——“等比数列前n项和公式”的教学设计与反思

薛建丰

(常熟市王淦昌高级中学，江苏常熟，215500)

郭华教授在文献[1]中对深度学习的概念这样界定：“所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会情感、积极的态度、正确的价值观，成为既具独立性、批判性、创造性，又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会历史实践的主人”.

本文以人教A版教材中的“等比数列前n项和公式”一课为例，尝试通过创设合理情景，帮助学生实现深度学习.下面予以仔细阐述，以期为研究者和一线教师提供借鉴.

1 教学设计

1.1 创设情景，提出问题

教师：同学们，前面我们已经学习了等比数列的定义，请同学叙述下.

学生1：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

教师：现在有这样一个实际问题，请同学们判断下：

为培养你的生活自理能力，在假期中，你父母对你进行了15天的特别培训，每天要求你完成煮饭，扫地等家务活.为了激励你的积极性，你父母制订了这样的奖励机制：

方案1：每天完成工作奖励你10元；

方案2：每天完成工作后，第1天奖励0.01元，第2天奖励0.02元，第3天奖励0.04元，……，以此类推，每天奖励的钱都是前一天奖励的钱的2倍；

请问：若你每天得到的钱的数值构成一个数列，按照两个方案，则分别是什么数列？

学生2：方案1中构成等差数列，方案2中构成等比数列.

学生3：方案1中构成常数数列，既是等差数列，又是等比数列.

教师：思考一定要严谨，注意细节.延续刚才这个问题，如果要你选择一个方案，你会选择哪个方案？你的选择标准是什么？

设计意图：通过创设和学生切身相关的生活情景，让教学进入情感领域，激发起学生的学习兴趣，并凭借情景，帮助学生体会知识的应用性，培养其知识应用意识.

学生4：这15天的钱数总和哪个多就选这个方案.

教师：请写出钱数总和的式子？

学生4：方案1中S15=10+10+10+…+10=150，方案2中T15=0.01(1+2+22+…+214).

教师：方案2中括号内表示的是什么？

学生4：一个以1为首项，2为公比的等比数列的前15项的和.

教师：我们用一般符号来表示，得Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，如何求这个和呢？

1.2 特殊探路，分析问题

教师：数列的求解中，当一般化的问题不会求解时，我们经常会利用特殊到一般的思想方法，先从特殊的几项来观察出规律，再利用这一规律来解决一般化问题.1=?,1+2=?,1+2+22=?,1+2+22+23=?,1+2+22+23+24=?，观察式子的规律并猜测1+2+22+…+2n-1=?.

设计意图：特殊到一般是指通过对某些个体的认识和研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，是数学学习和探究中转化思想的一部分.在整个数列一章，乃至高中数学的学习中，这是学生必须掌握的一个思想方法.通过这一过程，能够促进学生深层次地理解“错位相减法”.

学生5：

猜测：1+2+22+…+2n-1=2n-1.

教师：利用特殊值来观察规律，我们一般要多用几个值才可以得到正确结论.1=?,1+3=?,1+3+32=?,1+3+32+33=?,1+3+32+33+34=?，运算下，是不是还具备刚才的规律.猜测1+3+32+…+3n-1=?

学生6：

1.3 新知构建，解决问题

教师：那这个等式怎样来求解得到呢？(提醒学生，可以应用逆向思维.)

就是要得q(1+q+q2+q3+…+qn-1)-(1+q+q2+q3+…+qn-1)=qn-1，

所以求和过程为Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，

两边同乘q可得：qTn=a1(q+q2+q3+…+qn-1+qn)，

学生9：上述公式成立的条件是q≠1，当q=1时，Tn=na1.

教师：这个补充非常精彩，任何问题解决过程中我们要注意完整性和严谨性.

现在我们已经得到等比数列的求和方法，这个方法我们称为“错位相减法”.

学生10：结合已知条件和刚才“错位相减法”的求解过程，求和运算还可以这样得到.

设计意图：一个公式得到后，为丰富学生的认知结构，还要寻求公式和其他知识、方法的联系，从不同的角度推导公式、理解公式、认识公式，并在这一过程中培养学生去感受变量之间的内在联系，深入了解变量间的转化，提高学生的探索运算路径的能力.

1.4 知识应用，尝试迁移

教师：现在，我们来解决刚才的那个实际问题.

教师：下面让我们尝试运用刚刚所学知识去解决以下两个问题.

例1已知数列{an}是等比数列.

解答略.

例2中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的行程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了

( )

A.192里 B.96里 C.48里 D.24里

设计意图：在知识应用中适当安排与生活有关的实际问题，让学生养成知识来自于生活，也能应用知识解决生活中的问题的意识，体会数学知识是源于应用并在应用中不断发展起来的；这里选择了一个中国古代文化著作中的实际问题，能让学生体会到祖国文化的源远流长.

教师：大家利用课余时间去寻找下身边生活中能用等比数列求和来解决的问题，下一堂课进行交流.

2 教学反思

2.1 教学目标遵循课程标准

本节课的课题是“等比数列的前n项和公式”.教材内容简洁明了，包括等比数列前n项和公式及其初步应用.如果照本宣科，本堂课可以在很“默契”的师生配合下，平淡且快速地完成，但学生只是得到了一个知识点及依葫芦画瓢的解题过程，其数学素养并没有丝毫提升.而《普通高中数学课程标准》指出：“以人的发展为目标”，“关注学生的可持续发展”，“强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，通过课堂教学为学生提供学习和实验的场所，激发他们自主探索的兴趣，在这一过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学体验，并学会将数学应用于生活.”因而，本节课制定了以下教学目标：(1)掌握等比数列前n项和公式，并能进行简单应用；(2)根据从特殊到一般地探索规律，培养学生探究、解决问题的能力；(3)培养学生掌握探索生活中的数学知识的能力和方法，感受学习数学的乐趣，激发学习数学的兴趣.

2.2 教学设计遵循认知规律

《普通高中数学课程标准》指出：“在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情景和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.”因此，深层次的教学设计是学生核心素养提高的必要条件.本节课的主要任务是等比数列前n项和公式及其推导，教材虽然给出了情景进行引入，但笔者认为和学生实际生活的联系并不密切，所以设计了这一奖励问题，通过学生身边的真实问题激发学生探索实际问题的积极性，学生在解决这一实际问题中发现了本节课的主题“等比数列前n项和求解”这一数学问题，但找不到求解的方法，教师在探索求和公式过程中，遵循发现规律的实际过程，引导学生从“特殊到一般”进行求解，让学生自己去探求和分析归纳，寻找到正确的解决方法，并在这一过程中领悟“错位相减法”的真正含义.同时，数学的学习中运算是不可避免的，在知道公式的情况下让学生去寻找各变量间的关系，从多角度的视野下去寻求联系，培养学生对运算的敏锐嗅觉.以此来培养学生从数学的角度发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力，完成教学的目标任务.

2.3 教学方法遵循深度学习

新课标下，我们需要培养学生“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”六大核心素养.关于如何培养是个值得深思的问题.这绝不是把储存在书本上的知识转移到学生的头脑里再储存起来就能达到的，而是需要教师把外在于学生的、和学生没有关系的知识，在教学中转化为学生主动活动的对象，与学生建立起意义关联，并通过学生个体的主动学习转变成学生成长的养分.本堂课的教学，如果直接给出“错位相减法”来推导出公式，那么学生只是停留在模仿的层次，未能对知识有本质的理解，属于浅层教学.因而笔者在教学中便通过设计情景，问题导向，还原探索知识产生发展的实际历程，让学生经历探索知识的思维过程，内化了学生的探索习惯，促进了学生自主探究，从而达成了学生数学学科核心素养的全面提高.而最后通过所学知识解决我国古代著名文献中的实际问题，是对学生爱国主义精神的培养，提升了学生的民族自豪感，培养了学生正确的人生观和价值观.正如郭华教授认为的，教学的根本是既实现了人类历史文化的代际传承，也实现了培养人、发展人的根本目的.这样的教学才是深度学习.