指向核心素养的教学设计——以指数函数的概念为例

常文霞

(山西师范大学现代文理学院，山西临汾，041000)

1 问题提出

2014年《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确了核心素养的概念，即学生应具备的适应终生发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.核心素养赋予了传统基础教育以新时代的内涵.关于核心素养的落实，史宁中[1]在“学科核心素养的培养与教学”一文中论述了“用数学的眼睛看”落实数学抽象，“用数学的思维想”落实逻辑推理，“用数学的语言说”落实数学模型.核心素养下面依次是学科素养、单元设计、课时计划，一线教师需要基于这些环节，展开日常教学.对于单元设计，钟启泉教授[2]认为，它是撬动课堂转型的一个支点.单元设计[3]是课时设计的指引，随着新课改的不断深入，“应试教育”中的教师也越来越意识到单元设计的价值和作用.

本文将从数学本质出发设计数学课堂教学，以达成学生数学核心素养落实的目标.现以高中新人教A版教材必修第一册第四章第二节“指数函数的概念”(第1课时)的教学设计为例予以说明，以期为研究者和一线教师提供借鉴.

2 内容分析

指数函数作为高中阶段学习的基本初等函数，是函数内容的重要组成部分，为后续研究对数函数等函数提供了方法和模式，同时也是对数函数、等比数列、概率统计、导数等高中数学内容的基础.学生在学习指数函数概念过程中会类比已学过的幂函数概念，这也是在高中函数学习过程中第一次运用到类比的方法，这一思想方法与其他数学内容同样也有紧密的联系.指数函数作为重要的函数模型还有广泛的应用，也是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具.指数函数概念教学试图通过实例引入来研究指数函数的一般性特征，从而建构指数函数模型，为研究函数提供了更一般的方法，有着承上启下、完善学生认知结构的作用.

3 学情分析

指数函数的概念教学对象是高一年级的学生，此阶段学生的共性是一般学习数学的兴趣不高，比较被动，自主学习能力比较差，注意力较分散.因此在课堂中应采取形象生动、形式多样的教学方法和能让学生积极主动参与的学习方式，激发学生学习数学的动机，有效培养学生核心素养，变“要我学”为“我要学”.

从“大单元视角”来看，学生已经学习掌握了函数、幂函数的概念以及图象性质，已经具备了一定研究指数函数概念和性质的知识方法基础.但是学生的数学抽象和归纳概括能力还不够，需要借助例子引导学生不断探究，进行数学联想，逐步观察归纳出指数函数的特征从而得到其概念.因此将采取由具体到抽象、特殊到一般的教学设计，灵活运用数形结合的思想突出重点、突破难点.

4 学习目标

(1)通过具体实例，归纳出指数函数的特征，了解指数函数的实际意义，抽象出指数函数的概念，体会“数形结合”“特殊到一般”的思想方法，提升逻辑推理、数学抽象素养.

(2)能结合问题解决，初步感受数学建模的过程，体会“数学模型”的思想方法，发展数学建模素养.

(3)通过数学史的渗透，感悟数学的科学价值与文化魅力；了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系；感受探究未知世界的乐趣，培养勇于追求真理的科学探索精神.

5 教学重难点

重点：类比幂函数观察归纳指数函数的特征；理解指数函数的概念，理清指数函数与幂函数在概念上的区别.

难点：经历从实例—图象—特征的指数函数模型构建过程，体验数学抽象能力的重要性，切身感悟数学核心素养培养的过程；得出指数函数底数的取值范围，掌握分类讨论的数学思想方法.

6 基于数学核心素养的教学过程呈现

将核心素养落实到具体的某节课中，并非一次将六大核心素养都体现出来.在“指数函数的概念”这节课中，主要考查数学抽象、数学模型、数学运算和直观想象4个方面.这里按照教学流程展示部分细节.

6.1 文化渗透，培养兴趣

高中数学新人教A版必修1教材中直接通过两个实例归纳得出指数函数概念.虽然教材从学生已有认知出发，但是学生接受概念有一定难度.因此基于落实核心素养的培养方案，本课题以数学史和数学文化的视角展开导入.

教师通过生动讲解，导入内容如下：

我们都知道数学的发展经历了一个漫长的过程，在数学的发展史上有这样一则珍闻：指数符号是1637年由法国数学家笛卡尔提出开始使用.直到18世纪，瑞士数学家欧拉指出，“对数源出于指数”，但是对数的发明先于指数.

设计意图：通过指数数学史的引入，进行数学文化的渗透，自然引出学习主体，深度激发学生的学习欲望，让学生感悟数学的文化魅力.

6.2 创设情境，探究模型

实例1：教师让学生看一则实事材料：2020年新冠病毒肆虐全球，对我们的工作和生活造成巨大影响，该病毒的传播速度也是达到了史无前例的威胁程度，据专家研究，新冠肺炎的传染指数竟高达2.5左右.虽然疫情形势严峻，但是在党的正确领导下，各级单位积极响应共同努力，患者被有效治愈，患病人数得到有效抑制，不断减少，趋于动态稳定，我国疫情得到了有效控制.

活动1：(教师分别引入底数大于1和小于1的连续型指数函数图象)下面分别是感染人数随着时间增长以及治疗后感染人数随时间减少变化的大致曲线图.

学生观察两个图象，在此之前已掌握函数的概念学习经验，具备看图辨析变量是否存在对应关系的基本能力.教师对学生进行如下引导：两个图象中的变量是否存在对应关系？是否构成函数？并尝试用自然语言表达出来.

教师留给学生充足时间进行观察讨论，当堂对问题进行解决.用自然语言复述出变量之间存在对应关系——图象中任意一个自变量都有唯一因变量与之对应，构成函数关系.

设计意图：通过新冠疫情实例的引入，一方面巧妙地将“课程思政”内容融入到实际教学中，有助于树立学生正确的政治导向和价值观.另一方面，借助时政通过呈现两个连续指数函数图象，让学生直观感受指数函数的特点，培养学生的直观想象素养，为接下来借助图象具体观察分析指数函数特征，抽象出概念做铺垫.由浅入深，从直观到抽象，逐步深入，符合学生认知发展规律.

学生初步认识指数函数之后，接下来教师通过教材两地景区游客人次变化和死亡生物体碳14含量变化的两个实例引导学生进行详细观察并分析得出结论，下面以第一个例子进行课堂的具体呈现.

实例2：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.

表1 A、B两地景区年份对应游客人次表

活动2：教师抛出问题：观察表中的数据，你能从这些数据中发现什么样的变化规律吗？变量之间是否存在对应关系？是否构成函数关系？

学生随着教师的引导，对表格中两地景区的数据进行观察.学生已经有了幂函数的学习经验，类比幂函数对本节课图象进行观察.学生在教师的逐步引导下较容易得到A景区的人数每年年增加量都在接近10；B景区的人数年增加量在不断增大，规律显现不明显这一结论.

为了更直接得到B景区的变化规律，教师需要引导学生如何更直观地呈现数据.相较于表格，图象更能清楚反映出数据的变化规律，教师让学生以小组为单位运用描点连线的方法在作业纸上尝试将表格中数据转化成图象进行组内对比，同时鼓励学生主动在黑板上呈现作图过程，教师对学生作图结果进行点评.学生完成作图后，教师指导学生借助GeoGebra动态演示出表格转化为散点图的过程，更加直观地体会描点法作图的过程.

通过观察，学生首先通过自然语言说出选取图中任意年份，在图象中都有唯一确定的游客人次与之对应，所以两图中的变量之间存在对应关系.

其次得出图3图象较为平滑，A景区人数大致呈线性增长、B景区人数年增加量越来越大，成倍数地激增这一规律.

图3 A地景区游客人次随时间变化图

图4 B地景区游客人次随时间变化图

设计意图：一方面学生自己动手作图、小组自主讨论交流，起到回顾熟悉描点作图法的作用，提高了学生的课堂学习积极性，培养了学生的自主探究意识，有助于提升学生的直观想象素养.另一方面教师通过指导学生进行软件动画操作，增强了课堂的师生交互体验，学生直观感受作图过程，提高了课堂参与意识.通过学生动手作图和观看动态演示两方面的活动，对指数函数的研究从感性层面上升到理性认知.

活动3：教师继续引导学生：从表格和图象已经看出游客人次随时间变化的大致规律，但是现在无法确定某一年的具体数值，那么我们该如何确定呢？我们已经知道函数是刻画变量之间关系的模型与工具，既然现在它们已经构成了一一对应关系，我们是不是可以从函数的角度去精准刻画呢？既然从表格和图象都看不出规律，是否可以试着从计算的角度来考虑看看呢？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否运用其他运算发现B景区的游客人次变化规律呢？比如说除法？

学生跟随老师一起通过软件运算，从2002年起，学生将B景区每年游客人次和上一年的游客人次比较，老师将结果进行呈现，学生发现结果大致稳定在1.11.也就是说，B景区游客人次的年增长率p都约为1.11-1=0.11，是一个常数.

教师接着总结给出指数增长的概念.结合板书引导学生用符号语言总结出游客人次与年份的函数关系式.

设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么

y=1.11x(x∈[0,+∞))

这是一个函数，其中指数x是自变量.

设计意图：通过软件的演示，直观感受图象的变化规律，通过运算寻找变化中的不变性，初步感受运算在处理变量关系之间的简便性，培养学生的数学运算素养.

通过两个活动的进行，教师引导学生逐步利用自然语言、图形语言、符号语言表达出变量之间关系.自然语言可以体现出学生对知识的理解，凸显指数函数的本质特征，同时便于教师掌握学生学情.以学生的语言为出发点，将自然语言逐步规范为符号语言，将自然语言抽象为符号语言的过程可以让学生体会数学抽象的过程.

列举的实例图象有增函数，减函数，有连续型函数，有离散型函数，通过全面的呈现，避免学生片面看待问题，为后续指数函数图象与性质的学习做铺垫.同时借助实例从现实生活中抽象出函数图象，发展学生数学抽象素养，利用图象从数学角度得出规律，体会数形结合思想，锻炼学生用数学看待世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.

6.3 抽象特征，形成概念

通过新冠疫情和课本中两个实例的学习，教师一步步引导，引导学生从数量关系逐步过渡抽象出函数关系，从具体到一般化，建立指数函数模型.

活动4：对于每个实例，老师都对学生进行了两个方面的引导：是否存在对应关系构成函数？图象变化呈现什么变化规律？教师引导学生从这两方面进行小组讨论交流形成共识.

教师引导学生从自然语言、图形语言、符号语言三个方面对列举实例的特征进行总结归纳.

① 自然语言：它们的变化率(增长率、衰减率)是常数.自变量与因变量之间存在对应关系.

② 图形语言:有两种情形，增函数和减函数.

③ 符号语言：形式一样，都是幂的形式；指数都是未知数，是一个变量；底数不同,但都是常数.

活动5：教师启发学生如何将两个解析式更加一般化呢？学生已经总结出两个解析式不同之处在于底数不同，但是底数都是常数，自然想到用字母a来代替常数，那么两个式子一般化为y=ax的形式.教师适时指出这个函数就是我们今天要学的指数函数.教师继续引导启发学生思考这里的a有范围吗？如果有范围是什么？

首先引导学生回顾通过指数的学习已经知道a是正数，引导体现在以下几个方面：① 从幂的指数的扩充理解定义域为R(对已学知识的复习).② 从幂的意义理解为什么a不能是负数？③ 从函数概念理解a取1的可行性.

最后教师利用幻灯片适时给出指数函数的概念，师生分析概念中的关键词.学生分析得到指数函数概念的两个关键点：

① 形如y=ax的形式，自变量和定义域；

②a的取值范围和对应情况.

设计意图：类比幂函数由图象—特征的观察方法，指数函数通过实例—图象—特征的步骤，将两个实例对比总结，从自然语言、图形语言、符号语言三个方面概括出指数函数的一般性特征，而两个实例分别对应指数函数底数的两种情形.学生随着教师的引导，逐步进行数学抽象，建立底数不同的指数模型.感悟“特殊到一般”“数学模型”的思想，进一步提高数学抽象能力.同时相较于直接根据图象抽象出幂函数概念的做法，实例的展现更能让学生体会到函数的概念来源于生活，并且服务于生活，让学生切实感知引入指数函数的必要性，更能体现出“五育并举”的教学理念.

由于数学概念具有高度的概括性，教师必须抓住概念中的关键词句进行剖析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性，促使学生准确理解指数函数的概念.同时对于底数的讨论与思考有助于学生区分幂函数与指数函数在定义上的不同，加深对指数函数概念的掌握.

7 概念应用，加深理解

练习1：已知指数函数f(x)=ax，(a>0且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

学生活动：学生独立思考后，小组交流.

教师提示：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

设计意图：对指数函数概念进行剖析，加深学生对指数函数概念的理解.

8 课堂总结，提炼升华

本节课从新冠疫情的材料引入，通过类比幂函数的学习过程运用数学运算、数形结合、数学抽象的方法思想对两个实例分析对比，运用大量元认知引导语[4]以问题链的形式由特殊到一般，逐步抽象归纳出指数函数的特征，得到指数函数的概念从而建立起指数函数模型.在对指数函数底数范围确定的过程中又运用到了分类讨论的思想，为接下来指数函数的性质学习做了铺垫.从整体上看数学概念的学习也就是一次数学建模的过程.

9 教学反思

本节课是一节概念课，比较抽象.在概念形成环节，教师提供了丰富的案例，使学生在充分感知蕴含概念本质特征的有关实物的基础上，分析这些材料共同特征，使学生寻找不同事物中相对稳定的关系，经历指数函数概念形成的过程，较好地促进其建立新概念和原有认知结构的联系.教师基于单元视角，从时事入手，以问题串的形式设计，循序渐进，由浅入深.问题之间有联系，构成一个问题系统，引导学生构建知识体系，同时渗透了数学抽象和数学建模的思想方法，在一定程度上培养和提升了学生的数学素养.