分数阶Schrödinger-Poisson系统无穷多解的存在性

胡慧如，黄先玖

(南昌大学数学与计算机学院,江西 南昌 330031)

本文主要讨论以下Schrödinger-Poisson系统

(0.1)

其中(-Δ)α表示分数阶Laplacian算子，其阶数为α∈(0,1)，V是可变号的。在(0.1)中，第一个方程是一个非线性分数阶Schrödinger方程，位势函数φ满足一个非线性分数阶Poisson方程。因此，(0.1)被称为Schrödinger-Poisson系统，或又被称为分数阶Schrödinger-Maxwell系统。它不仅是经典非线性薛定谔方程(NLS方程)在物理上的相关推广，也是分数阶量子力学中的一个重要模型。关于更多的物理背景可参阅文献[1-3]及其参考文献。

众所周知，分数阶Schrödinger-Poisson系统是由Giammetta[4]首次提出的，扩散项仅在Poisson方程中是分数阶的。之后，文献[5]在V(x)≡0且非线性项f(x,u)呈次临界或临界增长时证明了方程(0.1)径向基态解的存在性。另外，文献[6]在V(x)为正的情况下，利用喷泉定理证明了方程(0.1)无穷多个解的存在性。

近年来，下面的变号位势函数开始被研究：

(V1)V∈C(3,)且

许多学者研究了带有上述变号位势及具有不同增长条件的Schrödinger方程无穷多解的存在性，例如文献[7-8]。在前人工作的基础上，又有许多学者在同样的情况下，研究了不同方程的无穷多解。例如，文献[7-18]及其参考文献。特别地，Zhou[8]和Bao[9]讨论了带有变号位势的Schrödinger-Poisson方程无穷多个小能量解的存在性。然而，很少有文献通过对偶方法处理分数阶Schrödinger-Poisson系统。

借鉴文献[8-9]中的方法，我们将对V和f做以下假设，讨论方程(0.1)在局部非线性条件下无穷多个小能量解的存在性：

(V2) 对∀M>0，有

meas{x∈3:V(x)≤M}<+∞,

(f1) 存在常数δ1>0和1

|f(x,t)|≤a(x)|t|r1-1,|t|≤δ1,∀x∈3,

(f3) 存在常数δ2>0，使得对任意的|t|≤δ2和x∈3有f(x,-t)=-f(x,t)。

下面，我们给出本文的主要结论。

且当k→∞时uk→0。

在本文中，C>0表示不同的正常数。

1 变分框架

在陈述这一节内容之前，需要注意以下事实：通过(V1)可得，存在一个常数V0>0使得对任意的x∈3有令并考虑下面的方程

(1.1)

为了证明结论，首先定义Gagliardo半范数为

其中u:3→是一个可测函数。

接下来，定义分数阶Sobolev空间

Wα,p(3)={u∈Lp(3):u可测且[u]α,p<∞}

赋予范数

(1.2)

当p=2时，空间Wα,2(3)与Fourier分析意义下的分数阶Sobolev空间是等价的，即，

Hα(3):=Wα,2(3)=

赋予范数

‖u‖Hα=

等价。

假设Lp(Ω)是一个Lebesgue空间，将Lp(Ω)中的范数记为|·|p,Ω，其中Ω⊆3，1≤p≤+∞。令3和Hα(3)表示通常的分数阶Sobolev空间(见文献[19])。在假设下，定义工作空间为

(1.3)

和

因此，E是一个内积为

(u,v)EV=

(u,v)E,Ω=

范数为

的Hilbert空间。此外，‖·‖EV和‖u‖E,Ω分别与范数

‖u‖:=‖u‖E=

和

‖u‖E,Ω=

等价，且相应的内积为

(u,v)E=

和

(u,v)E,Ω=

齐次Sobolev空间的定义为

Dα,2(3)=

和内积

(1.4)

2 引理和结论

受文献[20]中引理3.4的启发，我们可以用同样的方法证明下面的引理2.1。

引理2.2[19]对任意的α∈(0,1)，Dα,2(3)连续嵌入3)。即，存在Sα>0使得

(2.1)

(2.2)

其中

则对任意的x∈3有由(2.1)和(2.2)可得，当2t+4s≥3时，有

(2.3)

接下来，定义截断函数h∈C1(,)满足以下条件：0≤h(t)≤1；当t∈时h(-t)=h(t)；当|t|≤d时h(t)≡1；当|t|≥2d时h(t)≡0；当t∈[d,2d]时h(t)单调递减。其中，令

fh(x,u)=f(x,u)h(u),∀(x,u)∈3×

(2.4)

且

(2.5)

考虑下面修正的分数阶Schrödinger-Poisson系统

(2.6)

其能量泛函为

Jh(u)=

Jh的Gateaux导数为

(2.7)

令Γk表示E的闭的对称子集A的族，其中A满足0∉A且γ(A)≥k。下面的临界点定理来自于文献[21]。

引理2.3[21]设E是一个无限维Banach空间，Jh∈C1(E,)是一个满足Jh(0)=0的偶函数。假设Jh满足

(J1)Jh下方有界且满足(PS)条件；

(J2) 对任意的k∈，存在Ak∈Γk使得

引理2.4假设序列{un}⊂E满足：当n→∞时un⇀u在E中成立，{‖un‖}是一个有界序列。则当n→∞时，有

(2.8)

证毕。

引理2.5假设(V1)-(V2)和(f1)-(f2)成立，则Jh下方有界且在E上满足(PS)条件。

证明根据(V1)-(V2)，(f1)-(f2)和h的定义，可以得到

对任意给定的v∈E，令Ω={x∈3:|v|≤1}，由r1∈(1,2)，Hölder不等式和Jh的定义可得

(2.9)

这说明‖vn‖E,Ωn≤C且C与n无关。因此，

(2.10)

其中，C与n无关。类似地，

因此，

(2.11)

其中，C与n无关。结合(2.10)和(2.11)，有

有界，且与n无关。则根据引理3.1[22]的证明可得

利用(f2)和Hölder不等式可得，

(2.12)

利用引理2.4，又得到

(2.13)

结合(2.12)和(2.13)可得

因此vn→v在E中成立。

证毕。

类似引理3.2[9]和引理3.2[23]的证明，可以得到下面的引理。

引理2.6对任意的k∈存在一个闭的对称子集Ak⊂E，使得γ(Ak)≥k且

证明令En表示E的一个n-维子空间。由于有限维空间中的所有范数都是等价的，故存在常数β=β(En)，使得对任意的v∈En有

‖v‖≤β‖v‖2

其中‖·‖2是L2(3)中的常用范数。

接下来断言，存在一个常数M>0，使得对任意的v∈En和‖v‖≤M有

(2.14)

事实上，若(2.14)不成立，则存在一个序列{vk}⊂En{0}使得vk→0在E中成立，并且对任意的k∈有

(2.15)

另一方面，由于En是有限维的，则可假设uk→u在E中成立。因此uk→u在L2(3)中成立。又由vk→0在E中成立可得

meas{x∈3:|vk|>d}→0,k→∞。

因此，

这与(2.15)矛盾，故(2.14)成立。由(f1)，可取d充分小，使得对任意的x∈3和0≤v≤2d有

从而有

Fh(x,v)=F(x,v)≤

(2.16)

又因为假设(f3)表明Fh(x,v)关于v是偶的，所以由(2.16)可得，对任意的v∈En，

其中‖v‖≤min{M,1}。令0<ρ≤min{M,1}，An={v∈En:‖v‖=ρ}，可以推出γ(An)≥n且

证毕。

定理1的证明由(f1)-(f3)可知Jh是偶的且Jh(0)=0。则由引理2.5和2.6可得Jh有一个临界点序列{uk}，使得Jh(uk)≤0,以及当k→∞时uk→0。另外，类似引理5.1[24]的证明可得，存在k1使得当k≥k1时有|uk|∞,3≤d。因此，我们得到(0.1)的无穷多个小能量解。

证毕。