仿射变换视角下椭圆的极点极线

王昌林 邵星峰

椭圆是高中数学教学中一个十分重要的知识点，与椭圆的极点极线有关的性质与推论在已有的文献中的证明方式都显得较为繁琐，文1介绍了极点极线的概念与部分性质，但证明不详细；文2-3给出了新的推论并给出了详细的证明，但过程较为繁琐且不易理解．运用仿射变换将椭圆变换成圆，在圆中来研究与椭圆有关的性质，可以较好的解决证明过程繁琐且不易理解的问题．

1极点极线的定义

1.1几何定义

如图1，点P为不在椭圆上的点，过点P引两条割线依次交椭圆于E，F，H，G，连接EH，FG交于Ⅳ，连接GE，HF交于点M，则直线MN为点P对应的极线，若点P为椭圆上的点，则过点P的切线为极线[l]．

同理可知：PM为点Ⅳ所对应的极线；PN为点M所对应的极线，其中MNP为自极三点形，得到，仿射變换有：（1）仿射变换把直线变成直线；（2）仿射变换把平行直线变成平行直线；（3）仿射变换保持共线三点的简单比值不变；（4）仿射变换把共线的三点变成共线的三点，把不共线的三点变成不共线的三点；（5）仿射变换把线段变成线段，并保持线段的分比不变；（6）仿射变换按同一比值改变平面上所有（有面积的）图形的面积等性质[4]．根据仿射变换的原理，以下的性质与证明皆是将椭圆的极点与极线都看作是圆的极点与极线．

3 性质与证明

性质1 （1）当点JP在椭圆上时，其极线，是椭圆在点P处的切线．

（2）当点P在椭圆外时，其极线，是点P向椭圆所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．

（3）当点P在椭圆内时，其极线，是椭圆过点P的割线两端点出的切线交点的轨迹．

纵观近20年的高考题，从2001年的全国卷理科19题开始就有了以极点与极线为背景的高考试题，其中2010年江苏卷理科18题与2020全国I卷理20题最为类似，是名副其实的姊妹题，例1和例2是与极点和极线有关的定点类问题，例3是与极点和极线有关的定值类问题，根据极点和极线的定义与性质，解答过程十分简洁，虽然极点与极线在高考解答过程中不能直接使用，但其确是一个快速判断正确答案的好办法，有助于学生在解答时明确答题方向，优化解答和运算过程，值得关注，

参考文献

[1]王文彬．极点、极线与圆锥曲线试题的命制[J]．数学通讯：教师阅读，2015 （4）：62-64

[2]韩毅，蒋晓东，椭圆的极点极线性质及推论[J]．中学数学研究（华南师范大学）（上半月），2019 （5）：2-6

[3]刘娟娟，罗文军．从一道高考题谈圆锥曲线极点和极线又一等差性质[J].理科考试研究，2019 （1）：6-7

[4]吴佐慧，林军，刘合国．仿射变换在高中数学中的应用[J]．数学通讯，2015 （9）：28-30

[5]王昌林，纪定春．对2020年全国理科I卷第20题的背景分析与解法探究[J]．数理化学习（高中版），2021 （02）：7-10．15