为一道数学压轴试题的讲评“调焦”

钱大林

压轴试题，通常是指在试卷最后面出现的且对综合能力有较高要求的问题．当前针对压轴题的讲评，缺少“对焦”学生的“真学情”与“真水平”，没有提供好合理、有效的教学活动支撑，导致无法有效帮助学生从直观思维达到“何由以知其所以然”理性思维的跨越，本文从学生的现实学情出发，为一道数学压轴试题的讲评而主动“调焦”，经历“尝试再做，聚焦难点；晒出问题，找准症结；唤醒认知，打通节点；拓展训练，深度学习”等四个环节，帮助学生诊断思维上的痛点，打通理解转化的关节点，提升学生解决压轴问题的能力，并谈谈上好有关数学压轴题讲评课的教学启示．

1 问题呈现

题目已知函数f（x）=| x-2a|，g（x） =|x- （a+l）|

分析（ I）略，第（Ⅱ）问是一道绝对值背景下取大函数的最值问题，此题是笔者所在学校实施新教材以来组织的期末检测试题之一，其背景常规，关注函数图象、性质的灵活运用和如何合理分类讨论求出相应的最小值；该题渗透了数形结合、分类讨论等数学思想，考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，检测显示该题的难度系数为0.26．本题是检测过程中的生成性问题，为课堂展开探究活动、实现问题难点的突围提供了前提．

2 教学过程

2.1尝试再做，聚焦难点

探究任务1以下解题要点是学生再做压轴题后，从几位有代表性的解法中整理而来（以下简称“解题要点”）（见表1），大家通过观察、比较，能否发现该解题方法的分类依据是什么？

学生1：上述表述很有条理，但少了函数图象，看不懂讨论背后的原因．

教师：是的，有个“导航图”那该多好！我们自己能否造图？

学生2：上述解法是基于a∈[0，6]，根据2a，a+l与区间x∈[2，6]的相对位置关系讨论，但该解法的“小”讨论部分：1

教学设想“对焦”思维上的两个难点：第一，随着参数a的改变，如何正确画出每一类取大函数的图象，并正确把握两个函数图象的相对位置关系；第二，结合定义域，如何合理分类，求出化筒后取大函数的最小值，设置第一份探究任务旨在聚焦上述难点和暴露学生内隐的答题误区．

经历短暂的辨图后，不少学生提供了f（x）和g（x）图象更多的位置关系，也算预料之中，分析原因有两方面：一方面是没有重视a在[0，6]上的“影响力”；另一方面是忽视了在a∈[0，6]前提下动点（2a，0）与（a+1，1）相对位置关系．

为了帮助学生探究错因，笔者先让学生解决如下问题：

教学设想“调焦”到第二份探究任务是顺学而为，先让学生借助图象发现问题、分析问题，高一阶段是培养学生自觉借助函数图象解题的重要时间窗口，帮助学生正确理解并画出f（x）=| x-2a|和g（x）=|x- （a+1） |+l的图象，贴近学生的认知逻辑和认知心理，也为上述解答的难点突破奠定理解上的基础，

教师：很好！分类清晰又有条理！根据图7，图8，图9情形，你能概括出h（x）有几种类型图象？

学生6：根据取大函数的“效果”而言，图8，图9本质是同一类，h（x）图象本质只有如图10，图11两类情形，

2.4拓展训练，深度学习

探究任务4下列的拓展问题1是通过新教材例题和习题资源整合而来；拓展问题2是期末考题的延伸，请大家限时训练，

教学设想经历压轴问题解决的全过程，学生逐步了解了处理这类含参数的取大函数最值问题的一般思想方法，但对画图细节上的处理、分类讨论依据的确定等思维训练还不够充分、深刻，要通过拓展训练，进一步使一般数学思想方法得以内化，主动“调焦”第4份探究任务，借助拓展1强化取大函数图象、取小函数图象的画法并培养迁移能力；借助拓展2，帮助学生强化数形结合、分类讨论等一般思想解决问题的观念，促进高階思维．

3 教学启示

3.1厘清“生成性”问题，聚焦学生疑点，打通问题节点

教师要特别注意积累生成性问题资源，从而更好地调动学生的学习积极性和参与度，提升学习活动的效果[1]．在实际的教学过程中，教师需要站在学生的立场思考所授内容，只有将知识充分下沉到学生能理解的层面，才能把学生从“浅层学习”的泥潭里拉出来[2]．本节课的主题生成于期末检测试题中取大函数问题．学生缺少解决该类问题相关的活动经验，面对问题第一反应就是“怕”、“不自信”．为此，本节课立足于现实学情，关注学生的疑点，主动“调焦”到如何画图，如何分类，如何求最值等学生的需求面上，设计了四个层次性探究任务，帮助学生打通问题节点，实现从“知其所以然”到“何由以知其所以然”的跨越，提升了学生解决压轴问题的思维能力，发展了学生的数学核心素养．

3.2细化“微探究”任务，拉长活动进程，减缓思维坡度

《普通高中数学课程（2017年）版》提出，在教学活动中，应合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升和水平的达成[3]．实施教学的方式有许多，其中“微探究”是一种在发现、提出、分析、解决问题等环节中，进行有指导的探究发现活动[4]．本节课为了给学生减缓思维坡度，把教学合理“调焦”到了学生的关切点上：即如何画图，如何寻找分类讨论依据，如何求最小值，分别以四个“微探究”任务的形式，拉长了思维活动的进程，条理化解决了学生思维上困惑点，同时也兼顾了对“解题要点”的辨析，满足了学生的“真”需求，积累了丰富的数学活动经验．

3.3依托“拓展题”训练，引发深度学习，发展数学核心素养

教师更应该引导学生发现和感悟函数图象，作为深刻理解函数的重要工具和有效手段[2]．针对函数压轴试题的“画图难、识图难、用图更难”的学生软肋，本节课通过拓展训练帮助学生达到：正确、快速画出取大函数和取小函数的图象并能用分段函数正确表示；根据函数f（x）=|ax2 +x+b-a|，借助“数形结合”、“分类讨论”一般思想，正确求出函数f（x）在x∈[-l，1]上的最大值．通过问题拓展，把原压轴试题关联的知识和思想方法、数学活动经验加以迁移、延伸，引领学生思维逐步进阶，促进深度学习，发展数学直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．

无论压轴题难易，都不要急着把正确答案和盘托出，得慢慢来，主动“调焦”，看清学生解决压轴试题“堵点”的源头，并站在学生的立场上，把教学过程“调焦”到一个个便于学生理解、愿意参与的层次性探究任务上，帮助学生慢慢去体悟、理解．这样有利于激活学生的内驱力，能让“教”与“学”浑然一体，促进数学学科核心素养的提升和相关水平的达成，

参考文献

[1]史宁中，王尚志．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：高等教育出版社，2020 （11）： 187

[2]李捷生．函数理解看图象乱云飞渡仍从容：基于深度学习理论下的函数应用教学[J]．高中数学教与学，2021（4）：47

[3]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[4]苏洪雨．基于问题设计的数学微探究评价体系构建[J]．数学教育学报，2019（1）：23-28