管道包扎问题中正弦函数模型的实验探究与教学设计

何宇 谭代伦

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模活动与数学探究活动这一主题列入必修课程之中，并且提出数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容[1]．高中数学学习的过程中，学生往往被动接受数学知识，数学问题通常是给定条件信息，求解目标问题．而数学建模活动是给定一个现实情境，教师通过教学引导学生开拓思维，把数学和生活紧密联系在一起，从实际生活中寻找数学问题，从而通过建模的方法解决问题，养成遇到问题从数学模型角度思考的良好学习习惯．

1 教学内容解析

本节是人教A版必修1数学建模板块——建立函数模型解决实际问题的内容，教师以实际生活中常见的管道包扎问题为背景，通过实验探究的方法引导学生从大量的信息中发现问题、提出问题，并分析寻找所蕴含的数学关系，建立数学模型，

教学重点正确完成实验探究，合理分析实验结论，

教学难点 （1）将实际问题转化为数学问题，领悟建立数学建模的整个过程；（2）实物图形合理转化为抽象几何图形，构造辅助线获得数学模型．

2 学情分析

2.1知识结构

（1）学生在初中阶段已经具备运用正弦函数解直角三角形；（2）在“图形与几何”这部分内容的学习中，了解圆柱体的基本性质，具备了制作实物模型和想象展开图的能力；（3）学生对数学建模的理论有一定的了解．

2.2能力水平

（1）具备“通过观察、分析、操作、抽象概括等活动获得数学结论”的能力；（2）具备了一定的抽象概括能力和合情推理能力；（3）使用文字和数学符号的能力，有一定程度的发展．

3 教学目标

目标1：（1）将学生学习的视野拓宽到学生的生活空间，强调几何知识与现实世界的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程；（2）初步熟悉“实验探究”的方法，能正确完成实验操作过程、合理分析和探究实验结论；（3）能合理转化实物图形为抽象几何图形，恰当构造辅助线，正确建立问题的数学模型．

目标2：（1）培养学生实验探究的能力；（2）培养学生“数学猜想”能力和“几何降维”思想；（3）在将实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生的数学建模能力[2]．

目标3：（1）培养学生探究严谨、注重细节的求学态度；（2）学生亲自体验实验、探索、分析、研究得出结论，并能正确地对问题作数值结果求解和趋势（规律）分析，以验证数学模型的合理性，激发学生主动探索新知识的精神．

4 教学方法与教具

4.1教学方法实验探究法，案例教学法，启发与讨论法．

4.2课堂教具4个A4纸制作的圆形纸筒，半径为3大1小；4条宽度不同的长方形纸带，宽度为1宽3窄；双面胶，剪刀，直尺，笔．

5 教学过程设计

5.1问题提出

问题情境在生产生活中，随处可见各种类型的输送管道，很多时候，管道表面都会包扎着一圈一圈的带状物，如图1所示．经过包扎的管道，通常具有防晒、防火、防腐蚀等作用，提高了管道的使用寿命，保证了管道的输送效果，但是，也增加了工程成本．因此，对于管道的包扎，如何保证质量，如何节约成本，是值得研究的．

设计意图通过观察图片，引入本节课的教学内容．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理、数学猜想的能力，启发学生思维，引发问题．

5.2分析问题

问题1：在问题描述中，涉及到的研究对象有哪些？

预设：管道、布带，

问题2：从数学建模的角度来看，我们需要了解这些研究对象的数学特征和参量，那么，它们有哪些数学特征呢？比如：形状？几何参数？

预设：管道一圆柱形：半径，直径，周长，表面积，体积．布带一长方形：宽度，长度．

问题3：问题的目标是什么？要达成这样的目标有什么要求？

预设：问题的目标是“节约材料”，问题的要求是“包扎紧密”，

问题4：这里，什么是“紧”？什么是“密”？

预设：“紧”是指完全贴合在管道的表面上，“密”是指相邻布带之间，既无空隙，也不重叠，

设计意图讓学生清楚问题中的主要对象和它们所具有的数学特征，也对问题的目标和要求有了更准确的认识和理解．从数学上来看，这也是一个几何问题，因此我们还可以做一下几何上的分析，这个问题所描述的几何对象、几何关系都不复杂，在生活中也能很方便简易地制作这样的材料，因此这就启发学生通过“实验探究”的方法来获得本问题的机理，从而建立它的数学模型．

5.3 实验探究

问题5：当缠绕到第二圈时，怎样才能使得包扎“紧密”呢？

（学生动手实验，老师检查学生实验情况，给予必要的指导，带领大家进行观察和讨论，获得所提出问题的答案，并点评）

预设：必须将纸带调整到一个恰当的倾斜角，

问题6：为什么实验要做4种情形呢？综合4种情形，关于纸带的倾斜角，可以得到什么结论呢？请同学观察小组内的4个作品，并思考给出自己的结论；再观察老师完成的作品，并回答问题：

预设：管道不同、纸带不同，倾斜角就不同，

猜想（师生）： （半径，宽度，倾斜角）存在某种函数关系：a∽（γ，ω）．

设计意图在时间和空间较为充足时，按教师提出的实验要求，学生亲自动手操作．体验利用纸带缠绕纸筒的整个过程，引导学生发现管道、纸带、倾斜角之间体现的数学关系，并提出猜想．

5.4尝试建模

（1）引导学生选择合适的数学建模方法，进行建模．

问题7当纸带顺着圆筒表面包扎时，主要在圆筒的表面上行进，即只利用了圆筒的表面部分．对圆筒的表面，我们能联想到什么样的几何知识呢？

预设：把圆柱沿中心线剪开，可展开为一个长方形平面．

问题8没错，可以看到，如果将圆柱剪开并展平，那么对圆柱进行包扎，可以等价于在一个长方形平面上进行平铺．

鉴于此，接下来我们可以继续动手实验，选取刚才完成的一个实验作品，将它沿圆筒中心线剪开，并展平，

设计意图通过用课件动态展示，学生能直观地认知纸带缠绕纸筒从空间图形转化为平面图形，将空间问题平面化，削弱了學生在数学抽象上的思维难度，使教学过程更流畅．

（2）继续实验，实验操作要点：

根据前面提出的数学猜想，现在需要找到三个几何量之间的关系，首先，把三个几何量在图形中标出来，如下图2．

其中，由圆柱展开所得的长方形，它的周长比半径更容易表示，因此将原来的数学猜想中的半径替换为周长c．

根据辅助线的作法，知AB是底边的垂线，AC是纸带的宽，则ABC是直角三角形，因此三个几何量（圆筒周长c、纸带宽度w、纸带倾斜角α）之的关系式，就是一个正弦函数关系，即sind：w/c（α∈[0°，90°]），这就是本问题的数学模型，它是一个初等模型，只用到了中学阶段所学知识来刻画和表示变量之间的关系，

上述模型中，有三个未知量，任给两个，可求出第三个量，

设计意图将三维图形转化为二维图形的降维思想，使图形更容易构造和观察．在学生已具备的知识能力和认知水平下，进一步引导学生继续实验，建立关于半径、宽度、倾斜角之间的数学模型．

5.5求解问题

在数学建模中，对问题一般可以作两类求解，一是求出数值结果，另一种是作趋势或规律分析．

5.5.1求问题的数值结果

例1根据下表数据，依照上述数学模型进行云计算： 解根据问题的数学模型，可求得表中1，2，3三种情形所对应的纸带倾斜角分别为30°，19.5°，23.6°．

问题8请同学们分析表中数据，并与之前的实验结果进行相应的验证．请说一说你的分析结论．

预设：根据情形1，2可知，当圆筒周长相同时，纸带的宽度越小，则包扎时倾斜角越小．根据情形2，3可知，当纸带宽度相同时，圆筒的周长越小，则包扎时的倾斜角就越大．

5.5.2对问题作趋势（规律）分析

本问题的数学模型共有三个量，固定其中一量，则可以分析另外两个量的变化关系，下面选取两种有意思的情形进行分析，

例2根据本问题的数学模型，对以下两种情形进行分析：

（l）当ω→0时，纸带的倾斜角a将如何变化？

（2）当ω→c时，纸带的倾斜角a将如何变化？

解答（1）可解得a→0°．即用宽度很小的布带去包扎某种管道时，布带与垂直线的倾斜角将近似为0度．（2）可解得a→90°，即用宽度很大的布带去包扎某种管道时，布带与垂直线的倾斜角将近似为90度．

设计意图学生利用所建立的数学模型求解问题，抓住问题的实质，有助于带动学生的思维活跃度，增强学生应用意识，培养学生的数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养．

5.6拓展应用（课后作业）

本问题可以从多方面、多角度进行拓展，下面给出两种基本的拓展情形：

（1）如果将纸带的“倾斜角”定义为与水平线的夹角，则对应的数学模型是什么？

（2）如果包扎管道时，允许布带有一定的重叠，那么数学模型有什么变化？

设计意图在同一背景下，从不同角度思考问题，体现了实验探究教学的开放性和伸展性．在已有的知识经验下，进一步获取新的知识和方法，有助于学生的思维发散，提高数学逻辑推理能力和创造能力．

5.7课堂小结

本节课围绕管道包扎问题，通过实验探究的方法获得了问题的数学模型，实验可以让我们更接近问题的真相和原理，也可以让我们有更多的感受和体会，进而提出相关的猜想或分析，

此外，通过本节课的学习，还可以有以下一些收获：

（1）要善于观察、发现和提出问题．

（2）实验探究是解决问题的一种重要手段．

（3）要灵活运用数学知识．

①数学猜想的思想；

②降维转化思想：三维图形降为二维图形；

③构造直角三角形：聚集相关的几何量．

（4）要注意细节，不断发现新的线索，使研究不断深入和扩展．

6 教学反思

本节课的教学符合教学设计过程，达到了预期的教学目标，对学生分析问题、思考问题、动手探究、灵活运用知识、解答问题等能力都得到比较全面的锻炼，课堂整体有较强的趣味性，学生学习热情高、积极性强，

但是，教学中还是存在一些问题，主要的问题应该在于，实验探究的各个环节还需要不断优化，既要控制教学时间长度，也要保证实验的效果和质量，使学生能真正从实验中得到收获和体会．此外，实验器材的准备应该再精细些，尽量减少实验误差带来的影响．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]李磊．“不等式的性质”教学设计[J]．中国数学教育，2019（4）：21-24（本文系四川省教育厅重点教改项目（项目编号：JG2018-688）和西华师范大学重点教改项目（项目编？-：JGXMZD1825）的研究成果）