基于创新性培养的高中数学习题编制策略

管玉婷 马昌凤

数学知识不是“铁板一块”，数学既是客观的，也是主观的：数学既是发现的，也是发明的[1]．我们所学的一切知识，都是对客观世界的能动反映，因此，“创新”在反映层面就显得尤为重要．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也提出了新课程目标是“帮助学生获得进一步学习以及未来发展所必需的‘四基，提高‘四能，增强创新意识和运用能力．”[2]纵观近年的高考数学试卷，创新题占比越来越多，无论是选填题还是解答题，“创新”一词均有涉猎．为此，笔者着眼于学生创新性思维发展的思考，借助数学习题的编拟，探讨如何帮助学生培育创新精神和综合运用能力，

1 一题多解，凸显数学本质 数学知识网络交纵、连接点众多，通常一道简单的题目就有多种解法，一旦学生对考查的知识点进行连结，题目的做法便不再单一客套化，题目编拟设计的效果就能充分发挥，促进学生发散思维、创新和知识运用能力的发展．

分析可知此题考查最小值，由其鲜明的提示x>0，y>0不难看出利用均值不等式求解是一种方向，但是我们又学习过利用导数求解函数最值的方法，从而就衍生出了方法3和方法4．可以看出，一旦我们对题目所考查的内容进行综合、串联或并联，就不难创新解题思路[3]．

众所周知，向量作为高中阶段一块十分重要的知识，是连结几何与代数的中间桥梁，如果我们明确题目考查向量，那么就至少可以从两个方向着手来解决问题，因此，思考题目所考查的连结性知识，不仅能促进知识的灵活运用，而且还能引导学生深刻体会知识之间的有效联系，培养创新思维能力．

2 破除常规，深化纵向理解

数学解题时，常态化解题方法让我们往往带着惯性思维，这一点在解答题求解时表现的尤为突出．惯性思维是根据以往做题经验得出的凝炼性总结，虽然为我們提供了便利，但是却固化了思想，禁锢了创造性发展，因此，数学习题的编排和解题的方法不能一尘不变，在原有知识点考查的基础上进行一定的创新，对于学生加深对知识的理解、思维的灵活性发展都有莫大的好处．

此题第（3）问关于等差数列求和的方法，是过程型知识的考查，题目将求和时用到的“倒序相加法”进行创新，类比采用“倒序相乘法”，对学生思维创造和应用程度要求较高．而由学生的考查结果可知，绝大多数学生看到此题的形式，都采用数学归纳法加以证明，却没有思考题目的条件并不适用，做题时用我们的惯性思维先入为主，往往不能解决这一类问题，因此对学生创造性思维的培育在此类题目的应用下就显得尤为重要，

针对概念型知识点的考查，比如我们知道零向量与任意向量平行，但是一旦题目选项中出现零向量与任意向量垂直，答案对于有些学生而言就显得不是那么确定了，类似地，我们学习了等差数列、等比数列，那么很自然地我们就会想，有没有等和数列、等积数列？学习了动点到两定点距离之和等于定长是椭圆的定义，那么有没有动点到两定点距离之积等于定长的图形？我们都可以设置相应的题目引导学生进行探究．

例3 （2021年高考八省模拟演练卷. 20）本题以大兴机场的建筑结构为依托，提出了曲率的概念，并设置如下两问：

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数一棱数+面数-2．证明：这类多面体的总曲率是常数．

此题在设置上挣脱以往立体几何抽象图形位置关系考查的形式，由特殊到一般，将一个推导性知识点通过考查的形式列出，不管对于题目本身，还是解题人而言，都是一种形式和思维上的创新．由此可见，创新题目并不是一种为了为难学生而创设的大计算量题目，它可以考查学生能否从不同的角度发现新的解法．现如今，固化思维是我们所摒弃的，具有创新思维的高层次学生才是我们当今社会所需要的，

所以，一道“好”的数学题目，不仅能考查出学生对知识的理解，更能体现学生知识的进一步创造性思考，进而在解题过程中促进学生“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标的有机统一．

3 知识融合，培养创造精神

数学创新一部分来源于知识间的整合发展．整合即更宽泛的普及面和更强的应用性．国家主席习近平指出：创新是引领发展的第一动力，是建设现代化经济体系的战略支撑，可见科技创新已经上升到国家战略层面，因此，学生创新能力的培育也应紧跟时代的步伐，在日常学习活动中加以渗透．

3.1数学知识间的融合处理

例4（2019年高考全国I卷·理21）本题考查的知识点是概率统计的内容，其第（2）问做了如下创新：

此题目在以往概率的考查的基础上做了较大的调整，巧妙地融入了数列的考查，（ii）问又依托求数列的项对合理性判断进行了考查，打破学生原有的知识块结构，拓宽了知识应用范围，要求学生有较高的逻辑推理、分析和创新能力．

3.2跨学科知识的融合处理

不同学科间知识整合的题目，在选择题命制的比重日益增多，多部分是以数学文化为载体进行考查，涉及社会生活、人文发展和科技创新等方面[4]．

再譬如根据文化物品鲁班锁求其表面积和外接球体积、根据圜丘坛的石砌规律求石板块数的问题；以文化事件为依托，基于“嫦娥一号”卫星的运行轨迹来考查椭圆的试题、四色问题、七桥问题等等，都是应用数学层面的考查，学生做题的同时可以激发兴趣，拓宽知识面，联结所学数学知识、思维、方法，很大程度上促进了学生的创新发展，

数学不是一门枯燥的课程，它作为一门基础性学科，涉及了生活的方方面面．它是强有力的工具，不管日常生活，还是科技发展，都离不开数学的支撑，数学是科学研究和科技创新中最值得信赖的一门科学，

通过上述对创新性题目编拟的研究，可以知道，有效培养学生的创新思维能力，首先要涉及知识的联结性，其次可以对做题方法进行学生最近发展区内的革新突破，又或者结合相关数学文化进行知识融合．这样命制的题目既有创新性，又不乏应用价值的体现，更易实现数学的高效性学习和创新性培养．

参考文献

[1]李神．数学知识不是“铁板一块”——谈数学教师应树立的教师观[J].数学通报，20】1（10）：1-6

[2]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]．北京：人民教育出版社，2017

[3]张丛林，刍议高中数学创新题的编拟[J].中学教育，2016 （04）：1

[4]李隽易，数学文化题编拟研究[J]．数学通报，2018 （09）：1.4