析数学试题赏数学文化

苏红

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．[1]《2017年普通高考考试数学大纲》中增加了“数学文化”考查的要求，数学文化的相关试题也成了数学高考中的一个热点．那么什么是数学文化呢？简单说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的联系，等等．[3]近年来高考题常从中外书籍、学术成果和世界文化中取材，创设情境，将数学文化融于高中数学教学或试题中，考查学生的数学核心素养．本文通过对近几年高考真题和模拟试题中出现的数学文化试题研究归纳，从中精选了一些试题进行分类整理，以供读者鉴赏．

1融于数学古典名著和经典问题，渗透数学历史

例1 （2020年安徽省江南十校高考（理科）数学（4月份）模拟试卷）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）．

A.1/5-

B. 1/3

C. 3/5

D．2/3

解析把6拆成两个正整数和的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），其中加数全为质数的有（3，3），故所求概率为1/5，

赏析本题以数学历史中的经典数学猜想为背景，考查古典概型以及数学运算、逻辑推理核心素养，自哥德巴赫猜想提出以来，吸引了许多数学家去研究，值得骄傲的是我国一些著名的数学家在证明该猜想过程中做出了出色成绩，足以体现了我国数学家们刻苦钻研、创新进取的精神，

例2（甘肃会宁2018届12月月考）如图1所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大的发现，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（

）．

赏析阿基米德发现了球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二，后人为纪念他便在其墓碑刻上球内切于圆柱的图形，本题以此背景，不仅考查圆柱与球的体积、表面积公式，渗透了数学历史，还展现了数学的人文情怀．

2融入中国传统文化中的数学元素，渗透数学精神

例3 （2020年高考全国I卷·理4）日晷是中国古代用來测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点彳且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（

）．

A．20°

B．40°

C．50°

D．90°

解析画出截面图如图3所示，其中CD是赤道所在平面的截线；，是点A处水平面的截线，AB是晷针所在的直线，m是晷面的截线．由题意知O上，，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，则m∥CD，AB⊥m，又∠AOC= 40°，所以∠OAG=∠AOC= 40°，由于OA⊥l，AB ⊥m，所以∠BAE=∠OAG= 40°，即晷针与点A处水平面所成角为40°，

赏析中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，古代名著《周髀算经》和《易经》中都有对二十四节气的晷影长的记录，通过实际测得晷影长可以判断出当时所处的节气．本题以中华民族的优秀传统文化日晷为背景，将数学、地理及天文学多学科的知识综合考查，不但考查了学生的数学基础知识，还潜移默化之中渗透了爱国主义教育，

例4鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图4，过正四棱柱体高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为____

（容器壁的厚度忽略不计）

赏析鲁班锁也叫孔明锁，起源于古代建筑中的榫卯结构，是我国民间广泛流传的智力玩具，鲁班锁种类繁多，本文以六柱孔明锁为背景考查了立体几何知识及极限思想．鲁班锁蕴含了我国古代劳动人民的智慧结晶，也彰显了古人的“工匠精神”．

3 融于生产、生活等实际应用，渗透数学应用

例5（湖南师范大学附属中学2019届高三数学课前模拟五）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人

赏析本题介绍了几何学两件宝中的一宝——“黄金分割”，以五星红旗中的五角星为命题背景，考查了相似和概率知识，我国国旗中的五角星图案优美，正是因为其对应边的比值为黄金分割，而黄金分割也充分体现了数学在美学以及生产生活中的应用．

赏析祖暅是我国南北朝时期数学家、天文学家，提出的著名的祖暅原理中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等．本题以国宝为素材，融合祖咂原理，考查双曲线以及圆柱体积，体现了我国注重传统文化在现实生活以及生产创造中的应用，同时也体现了我国的数学历史悠长久远，

赏析本题以当今形势的热点问题“新冠肺炎”以及数学模型Logistic为命题背景，考查学生对新定义概念的理解能力以及数学运算能力．Logistic模型作为常用数学模型之一，广泛运用于流行病学的研究，体现了数学在科学发展中的重要意义以及对人类社会的发展与进步所作出的巨大贡献．

参考文献

[1]普通高中数学课程标准[M]．北京：人民教育出版社，2017

[2]马锐，罗兆富，数学文化与数学欣赏[M].北京：科学出版社，2015

[3]顾沛．数学文化[M]．北京：高等教育出版社，2008