有限群的SS-半置换p-子群与p-幂零性①

李彬彬， 钟祥贵， 张博儒， 卢家宽

广西师范大学 数学与统计学院， 广西 桂林 541006

本文所涉及的群都是有限群． 在有限群论中， 利用具有某些性质的子群来研究有限群的结构是人们感兴趣的课题[1-4]． 而素数幂阶子群相对于其他子群而言， 结构简单、可控性强， 于是许多学者通过对p-子群的研究， 给出了有限群的p-幂零性的判别条件[5-9]， 例如Frobenius定理[10]． 从Frobenius定理出发， 人们希望运用较少的p-子群给出有限群的p-幂零性的判别条件， 例如Glauberman-Thompson定理[10]．

为了方便起见， 我们给出一些概念． 设H为群G的子群， 如果H与G的每个Sylow子群置换， 则称子群H为群G的S-置换子群[11]． 文献[11]引入S-置换的概念之后， 文献[12]进一步推广了S-置换性， 提出了SS-置换的概念： 设H为群G的子群， 如果G中存在子群B使得G=HB，H与B的每个Sylow子群都置换， 则称子群H在群G中SS-置换． 在此基础上， 文献[13]提出了SS-半置换的概念： 设H为群G的子群， 如果G中存在子群B使得G=HB，H与B的所有Sylowp-子群置换， 其中素数p满足(p， |H|)=1， 则称H是SS-半置换的． 本文主要通过研究较少的素数幂阶子群的SS-半置换性对有限群的结构的影响， 给出了有限群G是p-幂零群的两个充分条件．

引理1[13]设H是群G的SS-半置换子群， 则：

(i) 如果H≤K≤G， 则H是K的SS-半置换子群；

(ii) 如果N是G的正规子群，H是p-子群， 则HN/N是G/N的SS-半置换子群．

引理2[14]设有限群G是π-可分的． 如果Oπ′(G)=1， 则CG(Oπ(G))⊆Oπ(G)．

引理3[6]设A，B是有限群G的真子群． 如果G=AB， 则G=ABx，G≠AAx对任意x∈G成立．

引理4设N是G的初等交换正规p-子群． 如果N中存在一个子群D， 1<|D|<|N|， 使得N的所有|D|阶子群在N中SS-半置换， 则N中存在一个极大子群正规于G．

证令{M1，M2， …，Ms}是N在G中互不共轭的极大子群的集合． 由于N是初等交换p-群， 则Mi是N中一些|D|阶子群的乘积． 因为N的|D|阶子群都在G中SS-半置换， 则Mi在G中SS-半置换， 即存在B， 使得

G=MiBMiQ=QMi

其中Q是B的任一Sylowq-子群，q≠p． 由Mi是p-子群知Q∈Sylq(G)． 又由Mi

Mi=Op(G)∩MiQ

存在t∈{1， 2， …，s}使得ft=0． 从而Mt◁_G．

定理1设G是有限群，P是G的Sylowp-子群，p是奇素数． 如果P的每个极大子群P1在G中都是SS-半置换群， 且NG(P1)是p-幂零的， 则G是p-幂零的．

证假设G是极小阶反例， 则G是非p-幂零的．

步骤1Op′(G)=1．

步骤2如果P≤T

根据引理1(i)和NT(P1)≤NG(P1)， 我们容易看到T满足定理假设， 因此根据G的极小性知T是p-幂零的．

步骤3G/Op(G)是p-幂零的， 且CG(Op(G))≤Op(G)． 实际上，G是p-可解的．

设J(P)是P的Thompson子群， 容易看到P≤NG(Z(J(P)))．

如果NG(Z(J(P)))

进一步， 我们可知Op(G)≠1． 假设N为G的极小正规p-子群． 注意到N≤Op(G)≤P． 如果N=P， 则G/Op(G)=G/P是p-幂零的． 因此可设N

进一步我们假设|P∶N|≥p2， 根据引理1(ii)可知G/N满足定理假设条件， 再由G的极小性可知G/N是p-幂零的， 从而G/Op(G)是p-幂零的． 进一步可知，G是p-可解的． 再根据Op′(G)=1和引理2可知CG(Op(G))≤Op(G)．

步骤4G=PQ，Q∈Sylq(G)，p≠q．

设q≠p是|G|的素因子． 由于G是p-可解的， 因此根据文献[15]的定理6.3.5可知， 存在Q∈Sylq(G)使得PQ≤G． 如果PQ

Op(G)Q=Op(G)×Q

再根据步骤3可知

Q≤CG(Op(G))≤Op(G)

矛盾． 因此G=PQ．

步骤5G有唯一的极小正规子群N， 并且Φ(G)=1． 实际上，N=Op(G)．

如果Φ(G)≠1， 则N≤Φ(G)． 然而G/N是p-幂零的， 所以G/Φ(G)是p-幂零的． 进一步可知，G是p-幂零的， 矛盾． 因此Φ(G)=1． 再根据文献[16]的定理4.5可知Op(G)=N．

步骤6|N|=p， 且存在G的极大子群M， 使得P∩M是P的极大子群．

因为Φ(G)=1， 所以存在G的极大子群M1， 使得NM1． 故G=NM1． 设M′p为M1的Sylowp-子群， 则NM′p是G的Sylowp-子群． 根据Sylow定理可知， 存在g∈G使得

(NM′p)g=N(M′p)g=P

M=〈Mq|Mq∈Sylq(M)，q∈π(M)〉

由于P1是P的极大子群， 所以P1是SS-半置换的． 再根据SS-半置换的定义可知，P1Mq=MqP1对任意的素数q≠p成立． 因为Mp≤P， 所以P1M=MP1． 由M的极大性， 我们可知P1M=G或者P1≤M． 若P1M=G， 则

P=P∩P1M=P1(P∩M)=P1

矛盾． 故P1≤M． 因此我们可以得到|N|=p．

步骤7最后的矛盾．

因为G是p-可解的， 并且Op′(G)=1， 所以根据引理2及N的极小性可知

CG(Op(G))=Op(G)

又由于N=Op(G)是交换群， 因此N=CG(N)． 再根据文献[16]的定理5.7可得

又因为N是p阶循环群， 因此Aut(N)也是循环群． 进一步， 我们可知M也是循环群． 故

M≤NG(P∩M)

因为P∩M是P的极大子群， 所以

P∩M◁_PN≤NG(P∩M)

进一步， 根据题设可以得到G=NM≤NG(P∩M)是p-幂零的， 矛盾．

定理2设G是有限群，P是G的Sylowp-子群，p是奇素数． 如果P存在一子群D， 1<|D|<|P|， 使得P中所有|D|阶的子群H在P中SS-半置换， 且NG(H)是p-幂零的， 则G是p-幂零的．

证假设定理2不成立， 设G是极小阶反例．

步骤1Op′(G)=1．

步骤2P≤T

由于NT(H)≤NG(H)， 且NG(H)是p-幂零的， 因此NT(H)也是p-幂零的． 再根据引理1(i)可知T满足定理中的假设条件， 故由G的极小性可知T是p-幂零的．

步骤3G/Op(G)是p-幂零的， 且CG(Op(G))≤Op(G)．

步骤4G=PQ，Q∈Sylq(G)，p≠q．

设q≠p，q∈π(G)． 由于G是p-可解的， 因此根据文献[15]的定理6.3.5可知， 存在Q∈Sylq(G)使得PQ≤G． 如果PQ

Op(G)Q=Op(G)×Q

再根据步骤3可知

Q≤CG(Op(G))≤Op(G)

矛盾． 因此G=PQ．

步骤5G中存在唯一的极小正规子群N， 且G/N是p-幂零的． 实际上，Φ(G)=1，N=Op(G)．

因为G是p-可解的， 且Op′(G)=1， 所以N是初等交换p-群．

首先我们断言|N|<|D|． 如果|N|=|D|， 则根据定理假设可知G=NG(N)是p-幂零的， 与题设矛盾．

现在我们假设|N|>|D|， 则N的所有|D|阶子群在G中SS-半置换． 再根据引理4可知，N中存在的极大子群N2正规于G， 与N的极小性矛盾． 因此|N|<|D|．

如果|P∶D|=p， 则D是P的极大子群． 进一步根据定理1可得G是p-幂零的， 与题设矛盾． 因此|D|>p． 容易验证G/N满足定理假设， 则根据G的极小性可得G/N是p-幂零的．

步骤6最后的矛盾．

根据步骤4和Burnsidepaqb定理可得G可解． 进一步根据文献[16]Ⅲ的定理1.7可得，G中存在极大子群M， 使得M◁_G， 且|G∶M|是素数． 如果|G∶M|=q， 则P≤M． 再根据步骤2可知M是p-幂零的． 设M的正规p-补为K， 则KcharM◁_G， 由步骤1，K≤Op′(G)=1， 从而

P=M◁_GN=Op(G)=P

进一步， 根据引理4可得N中存在G的极大子群N2正规于G， 与N的极小性矛盾． 因此|G∶M|=p． 由于M◁_G， 那么根据文献[16]Ⅱ的命题2.3(6)可得P∩M∈Sylp(M)． 进一步可得P∩M是P的极大子群． 再根据引理1(i)可知P∩M的每个|D|阶子群H1在M中SS-半置换，NM(H1)≤NG(H1)是p-幂零的， 从而M满足定理假设， 由G的极小性知M是p-幂零的，M=(P∩M)×Op(M)， 其中

Op(M) charMM◁_G

从而Op(M)◁_G． 于是

G=PM=P(P∩M)Op(M)=POp(M)

故G是p-幂零的， 矛盾．