等距素数对再探

河南封丘 魏一凡

一、几个定义

定义5：若a˙被相对应的连续素数连续作用后，存在一个非作用对象N，使得a-N=1，a+N＜2a为素数，那么N叫a˙的素数黑洞（其中a≥2）。

定义6：若自然数a≥3 被素数p≥3 除，余数为b（b=1，2，…，p-1），自然数x且0 ＜x＜a被p除也余b，且a-x=p与a+x皆为素数，那么x叫a与p的素数同余差，简称同余差。

定义7：若a≥2 为素数，被相应的素数p作用后删去，那么a叫p的弃素数，简称弃素数。易知，所有的素数均为弃素数。

定义8：任给自然数a≥2，若存在自然数x且0 ≤x＜a，使得a-x与a+x同为素数，则称a-x与a+x是a的等距素数对，记作（a，±x），只有a是素数时，x才等于0。

二、大筛法公式的产生

这个公式存在如下几个问题：

①φr的整数部分是否全部是非作用对象。

②若φr中的非作用对象就一个素数黑洞怎么办？所以φr的整数部分一定要大于等于2。

③非作用对象被a减或加，其差与和是否同时为素数。

所以就有了以下的几个定理。

三、几个定理

定理1：a˙≥2 被连续素数p1，p2，…，pr连续作用的结果与作用顺序无关（其中p1=2）。

与①同理，φ（a˙，r）的整数部分没有pi的作用对象。

故，a˙在连续素数p1，p2，…，pr连续作用下，φ（a˙，r）的整数部分完全是非作用对象。

定理4：若0 ＜x＜a是φ（a˙，r）中整数部分的任一个，且x不是素数黑洞， ＜2a＜ ，那么a-x与a+x同为素数。

证明：因为0 ＜x＜a是φ（a˙，r）中整数部分的任一个，所以由定理3 知，x为连续素数p1=2，p2，…，pr的非作用对象，而a为作用对象，所以易知a-x与a+x都不能被p1，p2，…，pr整除。假 设a+x是 合 数，所 以a+x=pq，所 以p≥pr+1，q≥pr+1，所 以a+x=pq≥ 。因为0 ＜x＜a，所以a+x＜2a。因为2a＜ ，所以a+x＜ ，这与a+x≥ 矛盾，故a+x是素数。因为x不是素数黑洞，同理，a-x是素数。

定理5：当a≥2 为自然数时，每一个a都至少存在一对等距素数对。