单调与奇偶齐飞,函数共性质一色

李 霞

(陕西省商州区高级中学)

函数的基本性质是高中数学的核心内容,主要包括函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性,在历年的高考中函数的基本性质占有非常重要的地位.特别地,函数的单调性和奇偶性两者之间关系密切、相辅相成,两者之间既有联系又有区别,可以用来处理与解决一些综合性问题,具有较好的选拔性与区分度,因此备受命题者关注.本文结合实例,对函数的单调性和奇偶性的应用进行初步探讨,剖析其在函数问题中的综合应用.

1 比较大小问题

例1 已知奇函数f(x)在R 上是增函数,函数g(x)＝xf(x).若a＝g(-2),b＝g(1),c＝g(3),则a,b,c的大小关系为( ).

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.b＜a＜c

D.b＜c＜a

由于函数f(x)在R上是奇函数,则

结合函数g(x)＝xf(x),可得

g(-x)＝-xf(-x)＝xf(x)＝g(x),

所以函数g(x)在R上为偶函数.又由于函数f(x)在R上单调递增,则知当x＞0时,f(x)＞f(0)＝0,又x＞0时,y＝f(x)＞0且为增函数,所以函数g(x)在(0,＋∞)上为增函数,结合函数g(x)为偶函数,则知c＝g(3)＞a＝g(-2)＝g(2)＞b＝g(1),故选C.

涉及函数值或参数的比较大小问题,求解的关键是通过代数运算、恒等变形转化、函数的基本性质以及一些基本比较方法来分析与处理.函数的奇偶性与单调性的综合应用,可以为进一步确定函数的基本特征奠定基础.

2 求参数的范围问题

例2 已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x＜

作出函数g(x)的图像,如图1所示,结合图像可知函数f(x)在R上为增函数.

图1

又f(2-m2)＞f(m),则有2-m2＞x,即m2＋m-2＜0,解得-2＜m＜1,故选D.

利用函数的奇偶性与单调性,构建含参数的不等式(组),是解决参数范围问题的关键.而函数的奇偶性与单调性可通过函数解析式、函数性质的定义以及函数的图像等求得.

3 解不等式问题

例3 设函数f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,若f(-2)＝0,则不等式xf(x)＜0的解集为( ).

A.(-1,0)∪(2,＋∞)

B.(-∞,-2)∪(0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,＋∞)

D.(-2,0)∪(0,2)

由于函数f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,又f(-2)＝0,则可画出符合条件的奇函数f(x)的图像(草图),如图2所示.

图2

通过抽象函数的奇偶性与单调性来确定函数的图像(草图)特征以及基本性质,为运用数形结合思想方法分析与解决相关的问题提供条件.本题借助函数图像(草图),合理分类讨论,从而巧妙解决抽象不等式问题,思维巧妙,直观形象,简捷有效.在求解不等式时,有效利用函数的单调性与奇偶性,并结合函数图像加以直接分析与判断,有时能快速求解问题.

4 确定最值问题

例4 已知函数f(x)为奇函数,当x＞0时,

则m＝1,n＝-5,故m＋n＝1-5＝-4.

图3

涉及参数的最值或函数值的最值的确定问题,求解关键是综合应用函数的奇偶性、单调性以及条件中给定的区间,结合函数的基本性质进行推理分析.

5 综合应用问题

例5 已知函数f(x)是R 上单调递减的奇函数,数列{an}为等差数列,若a2＞0,则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)的值( ).

A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒为0 D.可正可负

由于数列{an}为等差数列,则a1＋a3＝2a2,结合a2＞0,可得a1＋a3＞0,则a1,a3中至多有一个不是正数,不妨设a1＞0,则a1＞-a3.由于函数f(x)是R上单调递减的奇函数,则有f(0)＝0,f(a2)＜f(0)＝0,f(a1)＜f(-a3),即f(a1)＋f(a3)＜0,所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＜0,故选B.

函数与集合、数列、三角函数、平面解析几何等相关知识的交会与综合问题,具有较高的创新性与综合性,解题时要充分利用函数的单调性和奇偶性.

函数的单调性和奇偶性是函数中的两个重要的性质,通常用它们巧妙地解决一些综合性问题,这样可以检验学生对数学基本知识的理解与应用,以及创新应用等,充分展示精妙的解题思想和数学方法,全面提升数学能力以及培养数学核心素养.