明明是110°，如何会量成70°

文|强震球

【问题凝视】

教学完“角的度量”第1 课时，学生练习用量角器量角。把量角器的中心点对准角的顶点，角的一条边对准量角器的“内圈0 刻度线”，另一条边正好既对着内圈刻度110，又对着外圈刻度70，不少学生把这个角量成70°。

【成因透视】

“角的度量”这一内容，历来是小学数学教学的难点。通常，教师把这一内容的教学界定为“技能训练课”，在这个界定之下，教师往往先简单地介绍量角的单位“度”，然后组织学生认识量角器的各个部分，最后在学生熟记量角“对点、对边、读刻度”的三大步骤的前提下，组织学生进行大量的技能训练。虽然训练花了大量的时间，但是学生学习的结果却并不理想，问题主要集中在两个方面：一是量角器的摆放，二是利用内外圈的刻度正确读出角的度数。经过对难点的成因进行深入思考和分析，笔者认为造成学生学习困难的原因是两个“不明”：

一是学生对于量角器的本质不明。首先，从本质上说，量角器是测量单位的集合，是单位小角的集合。但是由于量角的基本单位“一度的角”实在太小，因此在量角器上难以反映，量角器的制作者一般都把量角器中的一度分割线去掉大部分，只留下沿着圆周的一些刻度。把量角器作为现成产品介绍给学生，教学时空上虽然通畅和快捷，但由于学生对量角器的结构特点不甚理解，学生认识量角器会显得比较突兀，学生不理解量角器上为什么会有那么多的小格，为什么要标里一圈外一圈的刻度。也就是学生很难理解“量角器就是单位小角的集合”。其次，学生已经学习的度量工具中有的没刻度，有的有刻度；有的只有单向刻度，有的有双向刻度，“尺”上只有单向刻度，是因为“尺”的摆放与读数比较容易；“方格纸”上没有刻度，是因为稍大一点的面积可以借助计算得到；用量角器量角时，如果只有单向刻度，量不同朝向的角的大小时不方便，因此不得不加上两圈刻度，学生对此也不理解。我们认为：量角器的高度简约化、高度智慧化、高度截面化和学生已有经验之间的矛盾使得学生对于量角器本质的理解产生了障碍。

二是学生对量角方法的本质不明。无论是长度、面积、体积、重量、角度的度量的本质都是用基本单位与当前所测量对象进行比较。例如，测量面积就是把被测量对象与单位面积进行比较，被测量对象中含有多少个面积单位它的面积就是多少；而量角的本质是看被测量的角中包含多少个单位角。正由于学生对于量角器的本质不明，所以学生对于量角方法的本质的理解也就造成了障碍。两个原因相比较，第一个原因是主要原因。

【出路审视】

一、从“揭示本源”入手，设计教学策略

量角器的本质是“单位小角”的集合，角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位小角”，促使学生对这两个本质充分而深刻地理解是上好这节课的逻辑基础。

1.明确量角的单位是“单位小角”。

笔者首先设计了“利用大小相同的小角，比较∠1、∠2 这两个角的大小”这个教学环节；在此基础上得出“利用大小相同的小角”的优越性：不仅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。这样设计事实上明确了量角的单位是“单位小角”，而且用量角器量角的方法的雏形已经悄然而出。

需要指出的是：本环节非常重要，但是用“1 度”小角来作为单位角在制作和操作上都非常不便，因此我们选择了“10 度”的角作为“单位小角”。

2.明确量角器是“单位小角”的集合。

在教学过程中笔者专门设计了一个把单位小角合并成为半圆的过程。通过这个过程，一个“简易量角器”就完全形成了，更重要的是突出了量角器与“单位小角”的内在联系。

3.强化用“简易量角器”量角的方法。

教学过程中笔者特意安排学生用“简易量角器”测量了三个角的大小。

“简易量角器”与“成品量角器”相比具有线条稀便于数、无刻度只能数、无缺省可以数的三个特点，正因为有此三个特点，所以用“简易量角器”学习量角就有了非常大的优势，一是方法容易学会，二是能够突出“量角器”和“量角方法”的本质，三是有效地化解了难点。

4.“简易量角器”渐变为“成品量角器”。

在引出“成品量角器”的过程中，笔者不是一步到位，而是逐渐形成，经历了下面五个阶段。

每次“渐变”都赋予其“现实需要”，“渐变”和“现实需要”可以促使学生理解知识的来龙去脉，便于其知识和方法的自然迁移，不断调动学习的积极性，感受到当前学习的“现实价值”。

二、从“经历过程”入手，建构动态课堂

1.由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小。

（1）利用活动角的变化复习角的大小指的是角的两条边叉开的大小。

（2）利用活动角比较两个角的大小。

（3）利用单位小角比较两个角的大小。

（4）比较“利用活动角比较”和“利用单位小角比较”两种方法，指明后者的优势。

本环节激活了旧知——角的大小的含义和用活动角比较角的大小的方法，通过学生的讨论与操作，引出用小角来比较的方法，量角器的本质是单位角的集合，让学生悟出用小角测量的可行性与操作要点，为学生理解量角的原理打下坚实的基础。

2.由单位小角的使用的不便引出要把单位小角合并为半圆工具。

（1）设疑：我们能不能想个办法，既保留小角比得精确的优点，又改进操作麻烦的缺点，让这些小角用起来更方便呢？

（2）练习：用“简易量角器”测量三个角的大小。（其中第三个角测量不出整数结果，用以引出单位角还要细分）突出反映了量角器的本质——单位角的集合，强化了用“简易量角器”测量角的大小的方法。

3.由这种半圆工具度量不准确引出要把单位小角分得更细些。

（1）设疑：第三个角测量不出整数结果，怎样才能知道比较确切的结果？

（2）教学1°。

（3）演示：把上面工具简单化。

（4）呼应：测量第三个角的准确结果。

4.由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度。

（1）左面这个角多少度？从哪边数起？从而引出要加第一圈刻度。（图略）

（2）右面这个角多少度？从哪边数起？从而引出要加第二圈刻度。（图略）

（3）完整认识量角器。

（4）读刻度的专项训练。（图略）

本教学环节特别重视用真实、强烈的问题情境引导学生感悟出必须加两圈刻度，到此时一个完整的量角器已经形成，顺势引导学生完整认识量角器，然后进行读刻度的练习。

5.完整总结量角方法，进行相应练习。

（1）学生自己量出一个角的大小。

（2）由学生总结测量方法。

（3）量角练习。

【片断重构】

片断一：探索角的度量方法，把握量角工具的基本特点

1.用同样大的小角（10°角）来比较两个角的大小，激发学生度量角的需求。

师：老师这儿还有一样材料，看，这是一个小角（手势，出示一个小角），用这么多大小一样的小角（出示一些小角），可以比出∠1 和∠2 哪个大吗？

生：能。

师：究竟怎样比呢？哪个小组的同学到台上来试一试？（指名一组演示）

师：同学们，你们想不想也来亲自动手比一比啊？

师：这些材料就装在每个小组的1 号信封袋里，赶快把它打开，在小组长的带领下开始活动。（学生小组合作活动，教师指导）

师：同学们，我们一起来看黑板，你们也是这样摆的吗？

生：是。

师：摆这些小角的时候要注意些什么呢？

生：小角的共同顶点要和∠1 和∠2 的顶点重合；（教师配手势）摆第一个小角的起始边要和∠1 和∠2的一条边重合。（小角和小角要靠紧）

师：这两个角谁大？

生：∠2 大。

师：你们又是怎么看出来的？

生：∠1 里面正好有3 个小角，∠2 里面正好有4个小角，∠2 比∠1 多了一个小角。所以∠2 大。

师：真好！同学们，前面的实践告诉我们，用活动角可以比出这两个角的大小，用这些大小一样的小角我们不仅可以比出∠2 比∠1 大，而且还发现了什么？

生：∠2 比∠1 大了一个小角。

师：这样就比得更加（停顿）精确了。如果用活动角来比，能一下子做到吗？

2.启发学生把单位小角拼成半圆，构造最简单的量角工具。

师：不过啊，用小角一个一个来比比较零散，操作起来也不方便。我们能不能想个办法，既保留小角比得精确的优点，又改进操作麻烦的缺点，让这些小角用起来方便些呢？

生：把小角拼起来。

师：把小角拼起来，这个办法好不好？（好）真妙！就听大家的意见，我们选择一些小角来拼一拼。同学们看，拼成了一个什么图形呀？（动画演示）

生：半圆形。

师：仔细数一数，这个半圆里有多少个一样大小的小角呢？

生：18 个。

师：我们用来拼的小角比较特别，用18 个这样大小一样的小角正好拼成了一个半圆。这儿有一个角，你能用这个18 等份的半圆工具来量一量吗？（投影一个50°的角）仔细看，这一点（教师指）就是这个半圆工具的中心点，中心点就是这18 个小角共同的顶点。谁来试一试？

3.用半圆工具度量角，初步把握量角要点。

师：用这个半圆工具量角时要怎么摆呢？

生：中心点要和角的顶点重合，这个半圆工具的一条边要和角的一条边重合。

师：这个角多大？

生：它有5 个小角。

师：对，它正好包含了5 个小角。

师：你想用这个工具来量几个角吗？练习一有3个角，请大家拿出2 号信封袋里这个工具来量一量。（学生活动）

片断二：优化量角工具，认识量角器

1.优化量角工具。

（1）细分半圆工具。

师：这多出来的一点点不满这么大的一个小角，（手势）到底是多少呢？同学们知道吗？

生：不知道。

师：有没有什么好办法让大家都知道呢？小组内一起商量商量。

生：（小组讨论）把小角分得更细一点。

（2）认识1°的角。

师：大家的意思，就是用这个小角来量还太大，要将每一个小角分得更加小一些是吗？多么有创造性的想法啊！同学们，为了更加精确地量出角的大小，我们就把半圆工具里的每一个小角再平均分成10 份，变成10 个小小角。请大家仔细观察，一个小角被平均分成10 个小小角，想一想，整个半圆被平均分成了多少个小小角呢？（动画演示）

生：180 个。

师：你是怎么知道的？

生：18×10=180。

师：我们将半圆平均分成了180 份，每一份是一个小小角，这每一个小小角的大小就是1 度。这是一个小小角，它的大小就是1 度。“度”是计量角的单位，用符号“°”表示，1 度记作1°。

师：伸出你的小手，我们一起来写1°。

师：这个角是1°，这个角呢？这个角还是1°。整个半圆工具上有多少个1°角啊？

生：180 个。

师：180 个啊，看上去密密麻麻的，为了让它更加简约美观，我们把它简化一下，变一变，再变一变（动画演示），现在清楚多了吧！

（3）认识几度的角。

2.认识内、外刻度线。

师：屏幕上的这个角，你能读出几度吗？（屏幕显示）

生：能。（自由数）

师：我们从哪边数起啊？谁能把数的方向来比划一下？

师：这样比划对吗？我们一起用手势来比划一下。（教师示范，学生学习）

师：数数看，是几度？

生：55°。

师：再来看一个角，从哪边数起？怎么数？我们也一起用手势来比划一下几度呢？

生：125°。

师：有没有什么好办法，让大家一眼就能读出一个角的度数呢？

生：给180 等份的工具标上刻度。

师：同学们听到了吗，觉得这个办法怎样？（好）太有智慧了，掌声送给他。让我们一起来给它标上刻度。

师：刚才我们是从哪里开始数的？（学生指）开始数起的地方就标上0°，这里标几度？（10°）接下来标几？……一直标到180°为止。

师：现在你能一眼就读出这个角是几度了吗？（显示50°的角）

生：50°。

师：多快！这个角呢？（反向显示30°角）

生1：150°。

生2：30°。

师：到底是150°还是30°呢？

生3：30°。

师：说说你的想法？

（学生说，课件涂色阴影显示）

师：刚才错读成150°的同学明白了吗？

师：那30°能从这圈刻度上直接读出来吗？

生：不行。

师：如果也能一下子就读出来多好，怎么办？

生：再标上一圈刻度。

师：你们认为呢？我们从哪里开始标起？

3.认识量角器。

师：同学们，屏幕上展现的就是我们现在专门用来量角的工具，叫作量角器。（教师完整介绍量角器，介绍中心点、零刻度线及内、外圈刻度）