数学实验：彰显数学学习魅力——《圆的周长》教学片断与赏析

文|汤 倩

《圆的周长》是苏教版五年级的教学内容。从测量方法上看，圆的周长属于间接测量，需要通过具体操作（数学实验）得到周长与直径的关系，再推导圆的周长计算公式。圆的周长在数学发展史上具有迷人的魅力，特别是周长与直径的比值π，至今还是数学研究的对象。数学教学怎样引导学生穿越千年的研究历史，让学生亲自参与探究圆的周长过程？数学实验是学生在教师指导下利用一定的工具（实物或软件），通过动手操作、观察思考、归纳抽象等过程，建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题的一种学习方式。将数学实验融入数学课堂，有利于培养学生的认知能力，发展学生的智慧，激发学生学习数学的情感。安徽丁元春老师执教的“圆的周长”一课，带领学生通过数学实验获得数学结论，展现数学学习的魅力。

【片断一】激活经验，直观感知

师：（板书：圆）上节课我们认识了圆。瞧，这里有三个大小不同的圆形车轮，想一想，如果它们各滚动一周，哪个车轮滚动的距离比较远呢？

生：半径最长的圆；直径最长的圆。

师：那到底是不是这样呢？我们一起来验证一下。

师：（课件动态演示）同学们对圆的感觉真好。其实车轮转动一周所行驶的距离就是车轮的？

生：（齐）周长。

师：（板书：周长）车轮的周长在哪里呢？谁愿意上来选择一个指一指？

生：（学生上台指）是这一条线段的长度，也是它一圈的长度，这两个长度一样。

师：车轮一周边线的长就是车轮的周长。这里三个车轮的大小不一样，周长也不一样，车轮的周长可能与什么有关？

生：我觉得它应该和半径、直径有关系。

师：圆的周长跟它的半径、直径到底有没有关系呢？如果有，又是什么样的关系呢？今天我们就一起来探索与圆周长有关的奥秘。

【片断二】对比猜测，定性描述

师：今天的探索不妨就从圆的周长与直径的关系开始。（板书：直径）

师：这是三个圆的直径和它们的周长，请同学们认真观察并比较，有什么发现？

生：直径越长，周长也就越长。

师：圆的周长和它的直径之间有什么关系呢？

生：它们之间可能是倍数关系。

师：如果是倍数关系，说明圆的周长和直径之间存在什么运算关系？什么是不变的？

生：说明圆的周长除以直径所得的商是不变的。

师：研究两个量之间的关系，除了可以看它们的商，还可以看什么？

生：还可以看它们的和、差、积。

师：同学们提出了四个不同的猜想，哪一个可能性更大，或者说更合理呢？

生：我觉得差不变和商不变可能性最大，因为直径越长，周长就越长，两个都增大不可能出现和不变或积不变的。

师：差不变和商不变相比，哪个可能性更大？

生：还是商不变的可能性最大。虽然直径越长，周长就越长，但直径增加一点，周长可能增加较多。

【片断三】动手实验，定量刻画

师：圆的周长与直径的商到底是不是一个确定的数呢？如果是，它们的商又是多少呢？（板书÷ =）四人小组在一起商量，制定研究方案。

生：可以多找几个圆，先量一量它们的周长和直径，再计算。

生：可以像三年级测量树叶周长那样，用一根细线沿着边线围一圈，然后把线拉直，再用直尺量出它的长度，测量圆的周长也可以这样做。

师：这个提醒很重要，测量圆的周长可以采用化曲为直的方法。

师：老师为每个小组准备了这样一个实验材料袋，里面有一些大小不同的圆片，还有一些测量的材料以及工具，同学们可以根据需要选择合适的材料去测量，并把测量的数据填写在《实验记录单》上，最后用计算器计算出周长与直径的商。

（学生分组实验，教师巡视、指导）

师：黑板上是各小组实验结果。请认真观察这些不同的圆的周长与直径的商，你有什么发现呢？

生：商的开头都是3。

生：它们好像都在3.14、3.15、3.16 徘徊。

师：也就是说，它们虽然都是三点几，但这些数一样吗？

生：不一样。

师：既然这些数不一样，那是不是说明我们刚才的猜想是错误的呢？

生：其实也不一定，有可能因为每个小组测量时出现误差，才使得实验结果出现波动。

师：合理的误差是一种正常现象。通过刚才的实验我们发现，周长都是直径的三倍多一点。到底多多少呢？为了减少误差对实验结果的影响，我们不妨借助现代技术工具帮助验证一下。

（课件动态演示测量、计算）

师：通过借助现代技术和工具进行测量、计算，你们有什么发现？

生：商不变的猜想是正确的。

师：根据刚才的实验，你们对差不变这个猜想怎么看？

生：我觉得差不变的猜想是不成立的。在第一个圆中，周长是十二点多，直径是四点多，它们的差大约是八；在第二个圆中，周长是十八点多，直径是六点多，它们的差大约是十二。从八到十二，变化太大，所以不正确。

师：是的。借助数学实验，我们在验证一个猜想正确的同时，发现另一个猜想是错误的。

师：在数学中，我们把圆的周长与直径的商叫做圆周率。（板书：圆周率）圆周率实际上是一个无限不循环小数，通常用字母π 来表示。为了方便计算，π通常取两位小数，也就是说，π≈3.14。把你们的实验数据和π 比较一下，有什么想说的？

生：我们组的实验结果和3.14 相差只有零点一几。

师：还有小组的实验结果就是3.14。实际上，人类关于圆的周长与直径关系的探索，经历了一个很漫长的过程。在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中，就有关于圆的周长与直径的关系的记载（板书：周三径一），意思周长是直径的3 倍。后来，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》做注解时发现，所谓的“周三径一”，只是圆内接正六边形的周长和圆直径的关系。（见右图）

借助几何直观，引导学生解释正六边形的周长是圆直径的3 倍，圆的周长比直径的3 倍多一些。

师：刘徽用这种方法发现周三径一有余。（板书：有余）后来，另外一位大数学家祖冲之在刘徽研究的基础上又有新的发现，祖冲之把圆周率改进为3.1415926 到3.1415927 之间，是世界上第一个算到小数点后七位的人，他的这个发现，在当时比欧洲等西方国家早大约1000 多年。同学们，回望中华民族五千年文明史，我们中国人在很多领域为人类的发展进步都做出过突出贡献，我们每一个人都应该为自己是一个中国人而感到骄傲。

【片断四】借助结论，推导公式

师：现在我们回过头看看刚才探索的过程，想一想，我们是怎样一步一步发现圆的周长与直径关系的？

生：我们是先提出一个猜想，然后通过实验验证猜想。（板书：猜想验证）

师：验证的过程要科学、严谨。只有经历大胆猜想、小心求证的过程，才能得到科学的结论。（板书：结论）我们就是用这种方法得到了圆的周长与直径之间的关系。如果圆的周长用大写字母C 表示，直径用小写字母d 表示，它们之间的关系可以怎样表示？

生：C÷d=π。（板书：C÷d=π）

推导圆周长公式：C=πd（板书）

师：我们根据周长与直径的关系，推导出周长与半径的关系，数学知识就是这么相互联系着。

师：回顾这节课的学习内容，你都有哪些收获？我们今天学习了圆周长的有关知识，关于圆还有很多奥秘值得我们进一步探索和研究，期待同学们在以后的学习中有更多的发现。

【赏析】

纵观整节课，丁老师以“圆的周长”内容为载体，以动手做数学为主要方式，注重渗透对数学思想方法的感悟、对数学特有思维方式的把握和对数学精神（理性精神和探究精神）的追求，使学生切实体会到数学学习的魅力。

1.实验价值：知识与素养聚合。

数学实验是数学学习的一种有效方式。丁老师设计数学实验任务，不仅仅是满足于趣味的“动手做”，还特别注重“实验”后的数学抽象和逻辑推理、“思考”后的归纳概括与素养形成。在实验探究过程中，教师先放手让学生动手做，得到真实的实验数据，借助思维参与，对“商不变”结论由质疑到肯定。之后，教师通过精选数学史料，将数学文化相机渗透于课堂学习之中，激发学生数学学习兴趣和民族自豪感，涵养数学探索精神。最后，组织学生根据实验结论，自主推导圆的周长公式，得出科学的数学结论。丁老师充分展开公式的探究发现过程，在过程中达成知识与素养的聚合。

2.实验工具：传统与现代融合。

数学实验是学生运用有关工具，通过动手操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种探索数学、理解知识、解决问题的思维活动。丁老师在教学中选择大小不同的圆片、毛线绳、长纸条、三角板、直尺等传统实验器材，让学生动手操作、体验、探索、领悟，在“做数学”的过程中，积累数学活动经验。除外，教师还充分利用现代信息技术，通过直观展示、动静结合，扩大课堂信息容量，优化课堂教学效果。在学生通过数学实验得到的数据整数部分是3 但小数部分不同时，教师相机借助现代信息技术工具模拟实验，揭示数学真相，让学生体会数学结论的确定性。丁老师将传统工具与现代工具有机融合，既促进学生数学理解，又彰显了数学的科学与严谨。

3.实验过程：主导与主体结合。

数学实验是在教师引导下，学生通过动手动脑，以“做”为支架的教与学的活动方式。本节课丁老师为学生定制“直观感知——定性描述——定量刻画”的探究线索，课始展示不同大小的车轮，让学生直观感知周长与直径、半径有关系，接着提出关键性问题“圆的周长到底与直径有怎样的关系呢？”鼓励学生大胆猜想，定性描述圆周长与直径之间可能存在商不变关系，还可能存在和不变、差不变、积不变的关系，教师继而提出辅助性问题“你觉得哪个可能性更大？”引导学生进行有理有据地筛选，优化猜想，在此基础上，通过数学实验定量刻画、验证猜想。整个探究过程学生始终是学习的主体，他们通过动手操作、动脑思考，自探、自得，体验做数学的快乐。

总之，整节课丁老师以“圆周率”为核心，充分借力数学实验，引领学生经历观察、操作、猜想、验证、推理等过程，促进深度学习。学生不仅获得了数学结论，而且发展了数学思维，渗透了数学文化，培育了数学素养，感受了数学学习的魅力。