长度量感的表现维度与进阶路径——兼评《毫米和分米的认识》同课异构

文|宋煜阳（特级教师）

《数学课程标准（2022年版）》指出，量感是小学阶段数学核心素养具体表现的关键词之一。基于内涵理解，量感主要表现为三个维度：维度一，对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知。维度二，对度量意义的理解。度量意义的理解，主要反映在“能够理解统一度量单位的必要性”“会对真实的情境选择合适的度量单位进行度量”“会在同一度量方法下进行不同单位的换算”三方面。维度三，真实情境下的测量估计。在度量单位教学中，无论是量感的形成、丰富与发展等学习要求刻画还是学习进阶路径预设，都需要以量感的三个表现维度作为重要依据。

具体到“毫米和分米”长度的量感，主要反映为下述学习行为和表现水平：

1.知道“毫米”“分米”是用于刻画测量对象长度属性的度量单位，毫米是比厘米更为精细的长度单位，毫米的产生是为了满足实际测量精确程度的需求。

2.借助工具尺和常见参照物形成1 毫米、1 分米两个新长度单位表象，能用肢体比划1 毫米、1 分米的距离感，能对近似1 毫米、1 分米的身边物体长度（宽度或厚度）属性进行正确识辨或举例说明。

3.知道1 米、1 分米、1 厘米、1毫米等长度单位之间的进率，能在具体情境中对这些长度单位进行单位换算，能对同一个测量对象运用不同长度单位进行描述。

4.掌握度量方法，能借助工具尺正确读取几毫米、几分米，能对近似几毫米、几分米的身边物体的长度（宽度或厚度）属性进行估计。

5.能在真实情境中进行测量估计，选择合适的长度单位进行度量或进行推断。

在度量单位的发生和发展过程中，度量单位主要包括自选单位、标准单位和扩充单位三类。具体到长度单位体系中，毫米、分米隶属于扩充单位，即在米和厘米标准单位基础上衍生而来。为此，毫米和分米两个新长度单位的学习，需要纳入整个长度单位体系，建立新旧长度单位之间的联系并完成相关长度单位体系的梳理。相应地，毫米和分米量感的形成，需要在具体情境中经历旧知经验激活、新情境迁移、学习方法进阶的过程。两篇《毫米和分米的认识》教学设计（以下简称设计一和设计二）都能较好融入具体情境，抓住“毫米”“分米”量感的表现维度，构建适度的进阶路径，帮助学生实现长度单位的结构化学习，丰富和发展长度单位的量感。

进阶路径一：在测量情境中体验长度单位扩充的需求，让“毫米”“分米”从长度单位体系中长出来。

从学情来看，学生对毫米并不陌生，在工具尺上对毫米刻度线也有关注。但这些认知经验都是零散的，并未进入单位系统的视角。比如，为什么有了厘米还需要毫米？毫米是怎么产生的？如何以毫米为单位进行计数？这些问题指向了度量对象、度量单位和度量值三个核心元素。其中，毫米作为新的长度扩充单位，需要学生在测量情境中经历“更小长度单位产生的过程”。

在设计二中，提供了厘米尺读取毛毛虫长度的活动。当得出“2 厘米多、3 厘米不到”的度量结果时，引发学生讨论“要想知道这条毛毛虫准确的长度，有什么好办法”，这就把度量活动聚焦到了“更为精确的度量结果需要更为精细的度量单位进行计数”这一本质问题上来。当测量对象为短小物体时，原有长度单位“太大”，需要“更小的长度单位”，学生凭借经验还是容易建立这个观念的。为了防止学生陷入“毫米的产生就是为了度量短小的物体长度”这一思维定势，设计一、设计二不约而同都补充了汽车长宽高数据，围绕“像汽车这么大的物体为什么也用毫米作单位”展开讨论，对毫米作为长度扩充单位进行了全面溯源：测量比较短小的物体长度或者要求测量比较精确时，可以用毫米作单位。这些活动虽然花时不多却很有必要，能有效帮助学生认识到“毫米是用于刻画测量对象长度属性的度量单位”“毫米是比厘米更为精细的长度单位”“毫米的产生是为了满足实际测量精确程度的需求”，这一系列认知既是进入单位系统视角的重要标志，也是毫米量感表现维度的重要内容。

如果把长度单位扩充方式看作缩放的过程，1 毫米是从1 厘米均分10 份、缩小至它的得到的；1 分米则是通过1 厘米的叠加、放大至它的10 份得到等价的10 厘米。由于10 厘米作为重要的参照标准，曾在“认识厘米”学习中积累了一定的表象经验，所以分米作为长度单位的扩充可以简略、明快一些。两篇教学设计都是通过“10 个1 厘米”叠加得出1 分米，并放手让学生自主学习分米的相关知识，进而在“2 个5 分米叠加”“2 分米、3 分米、5 分米直条拼接”活动中，衍生出“10 个1 分米是1 米”，梳理完成毫米、厘米、分米、米等长度单位体系之间的十进关系。为了帮助学生进一步直观理解长度单位之间的结构性联系，两篇教学设计都把“相邻单位进率10”与“计数单位满十进一”巧妙联系起来，设计一还采用数位顺序表的形式展现已学长度单位之间的进率，促进知识迁移。两篇教学设计，比较重视毫米、分米的单位扩充活动设计，有效帮助学生在测量情境中体验新单位从单位体系中生长的过程。

进阶路径二：在具身体验中形成“1 毫米”“1 分米”的表象，让长度量感从“1”向“几”扩展开来。

1 毫米单位表象的形成，主要反映为定性识辨和定量刻画两方面。定性识辨主要行为表现是能辨认或列举周围物体长度、宽度或厚度近似1 毫米的参照物，如单层物体厚度的1 分硬币，也如5张厚度为1 毫米的电话卡等多层物体厚度。定量刻画主要行为表现是能借助工具尺正确读取、量画1 毫米线段，能用肢体比划出1毫米的距离。不管是定性识辨还是定量刻画都离不开深入、丰富的具身体验活动。

两篇教学设计在“认识1 毫米”环节中，通过画1 毫米、找1毫米和比划1 毫米，将定性识辨和定量刻画巧妙结合起来。画1毫米活动，达成了量感的三个表现维度目标：一是借助尺子画1毫米的线段，把1 毫米是一段距离这一本质属性进行了反映；二是借助尺子在1 厘米中可以找到10 个1 毫米，落实1 厘米=10 毫米的进率；三是借助尺子找出其他1 毫米并自由画，把1 毫米作为独立长度单位进行计数。在找1毫米活动里，教师精心选取了单层、多层物体厚度为1 毫米的参照物，提供了1 分硬币、直径是1cm 厚1mm 的钮扣、5 张厚度正好1mm 的学生电话卡等物品。在参照物寻找、证实的过程中，既是度量活动，也是单位表象强化的过程。比划1 毫米的活动，是学生1 毫米表象校准和稳固的过程，通过肢体比划想象、参照物比对调整，帮助学生脱离实物形成量感。

正如前文所述，由于1 分米与10 厘米等价以及先前具有10厘米叠加的活动经验，两节课在1分米单位表象建立的活动上花时不多，相反10 分米叠加为1 米的活动更为充分一些。活动意图一是强化以分米为单位进行计数的度量本质，二是继续巩固1 米的表象。值得肯定的是，在形成10分米=1 米的叠加过程里，始终提供2 分米、3 分米、5 分米的纸条等直观材料予以估计想象、拼接感知和米尺验证，将“满十进一”和单位长度的表象有机整合，长度单位量感的多个维度得以融合与发展。

从1 毫米到几毫米、从1 分米到几分米，简称从“1 到几”，这个过程是新度量单位进行计数和等价单位转换的核心，也是长度单位量感形成的关键。在感知几毫米活动中，两篇教学设计有一个共性特点——重视5 毫米作为扩充单位的应用。设计一是通过画7 毫米长的线段，感知5 毫米作为扩充单位的应用价值；设计二专门安排了5 毫米的叠加，体现了1 毫米单位计数的过程，并通过想一想、记一记、画一画等活动强化5 毫米作为扩充单位的表象。在等价单位转换中，设计一更为充分、细腻，先后通过“原先3毫米处接着画7 毫米得到10 毫米”“电话卡从一张一张累加到10张，再从10 张10 张累加到100张”等活动，得出“10 毫米=1 厘米”“100 毫米=10 厘米=1 分米”等长度单位等价关系。从1 分米到几分米，主要通过学习方法的迁移、估计验证等更为自主开放的方式展开学习。“从1 到几”的活动体验，一方面帮助学生稳固1毫米、1 分米的单位长度表象，另一方面帮助学生把长度单位的量感从“1”向“几”扩展开来。

进阶路径三：在估测活动中积累选择合适长度单位的经验，让估计策略在实际情境中得到迁移。

前文就“毫米和分米”量感学习行为和表现水平具体化做了简析，其中“能在真实情境中进行测量估计，选择合适的长度单位进行度量或进行推断”应该成为量感的高级表现形式。那么如何设计估测活动并使其增值？两篇教学设计都精心安排了新长度单位的参照物估测、利用参照物选择合适单位等活动，体现了估测活动的丰富性和层次性。

在1 毫米、1 分米两个新长度单位教学中，始终把单位标准的参照物选择、估测和验证交织融合，在形式上有先量后估、先估后量，在材料上有单层厚度的卡片、多层叠加的A4 纸，在手段上有肢体比划、纸上估画线段、找身边周围的物体等，活动丰富且目标指向明确。需要指出的是，新长度单位参照物的估测活动，既是长度单位表象建立的过程，又是长度单位计数的过程，同时也是估计策略多元化的过程。比如，以下的教学活动显得非常典型且富有意义：依次出示2 分米、3 分米、5 分米的纸条让学生估计，说理由，说清以什么为标准进行估计，教师相机小结估计方法。最后把三张纸条连在一起，提问“现在有多长了”，引出1 米=10 分米，用米尺验证。在这个片断里，不论是2 分米、3 分米、5 分米单张纸条长度的估计，还是三张直条合拼后长度的估计，都可以采用1 分米叠加计数的策略来估计。当然也可以借助1 米（10 分米）的折半、均分来估计，初步形成缩、放的两种估计策略。

利用参照物选择合适单位的活动设计，主要分为两个层次：第一层次是给定参照物进行计数推断，如“把200 个纽扣竖着叠在一起大约有多高”“把200 个纽扣横着排成一排大约有多长”的练习，主要调用“一粒纽扣厚度约1 毫米、宽度约1 厘米”的量感经验进行计数、单位转化和结果推断。第二层次是学生自己选用参照物进行推断，如“教室很脏，我要去找一块（ ）宽的抹布来打扫。选项：3厘米 3 分米 3 米”“教室后面的墙上要挂一个钟，我要找一根（ ）长的钉子。选项：4 毫米 4 厘米 4分米”“教室里有一些散乱的书，我要找一条（ ）长的绳子把它们捆成一叠。选项：2 厘米 2 分米 2米”。这些活动来自学生熟悉的现实情境，在选择合适单位时存有“估计实物长度来选择最接近的单位”“根据不同单位的结果来比对实物进行排除”等多种策略。

估测活动中，除了积极调用长度单位参照物进行计数外，还需要善于总结、归纳估计策略，帮助学生学会在真实情境中选择合适度量单位，促进长度量感的水平进阶。