两个特殊的三角形

欧利

例1 在△ABE中，AB=8，AE=7，BE=3，求△ABE的面积.

分析 因初中阶段还未学习正弦定理与余弦定理，所以不能用公式S△ABE=12AB×BE×sinB来求，只能采用传统面积求法

S△ABE=12×底×高.

解 过点A作AD⊥BE交BE延长线于点D，设ED=x，图2

在Rt△ADB中，∠D=90°，

则AD2=AB2-BD2，

在Rt△AED中，∠D=90°，

则AD2=AE2-ED2，

所以AB2-BD2=AE2-ED2，

因为AB=8，

BD=3+x，

AE=7，ED=x，

所以82-（3+x）2=72-x2，

所以x=1，

所以AD2=AE2-ED2=48，

所以AD=43，

所以S△ABE=12BE×AD

=12×3×43

=63.

例2 在△AEC中，AC=8，EC=5，AE=7，求△AEC的面積.

解 过点A作AG⊥EC交EC于点G，设EG=x，

在Rt△AGE中，∠AGE=90°，

则AG2=AE2-EG2，

在Rt△AGC中，

∠AGC=90°，

则AG2=AC2-GC2，

所以AE2-EG2=AC2-GC2，

因为AE=7，EG=x，

GC=5-x，AC=8，

所以72-x2=82-（5-x）2，

所以x=1，

所以AG2=AE2-EG2

=72-12

=48，

所以AG=43，

所以S△ABE=12EC×AG=12×5×43=103.

不光如此，我们还发现：

例1中，Rt△ADB，BD=4，AB=8，可知∠B=60°;

例2中，Rt△AGC，GC=4，AC=8，可知∠C=60°;

△ABE与△AEC的高相等，可以合并成一个边长为8的等边三角形，如图5.

由此不需要借助上述例题中冗长的证明过程，可以直接得到∠B=∠C=60°，即边长为3，8与边长为5，8的夹角都是60°.

即以后碰到三角形的边长是3，7，8和5，7，8时，可拼成一个大的等边三角形，高为43，面积分别为63，103，且边长为3，8的夹角与边长为5，8的夹角均为60°.