用方程（组）解的定义解题举例

郑泉水

定义是数学的基础，运用定义解题是一种最基本的解题策略.因此，在解决与方程（组）的解有关的问题时，应用方程（组）解的定义解题就是自然选择了！

我们知道，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

由方程解的定义可知：

（1）若x=a是关于x的方程f（x）=0的解，则有f（a）=0;

（2）若有f（a）=0，则x=a是关于x的方程f（x）=0的一个解.

下面举例说明方程（组）解的定义在解题中的运用，供参考.

例1 已知方程组ax+by=1，2x-y=1和方程组ax-by=5，x+2y=3的解相同，求a与b的值.

解 因为方程组ax+by=1，2x-y=1和方程组ax+by=5，x+2y=3的解相同，

所以方程组x+2y=3，2x-y=1的解x=1，y=1是方程组ax+by=1，ax-by=5的解.

于是得到a+b=1，a-b=5.

解得a=3，b=-2.

例2 已知关于x，y的方程组ax-by+c=4，-13ax-by+c=2的解是x=3，y=1.则a-b+c=.

解 因为关于x，y的方程组ax-by+c=4，-13ax-by+c=2的解是x=3，y=1.

所以有3a-b+c=4，-a-b+c=2，①②

①+②，得2a-2b+2c=6，

即a-b+c=3.

例3 已知关于x，y的方程组ax+by=7.5，ax-by=10的解是x=-1，y=-2，则关于x1，y1的方程组a（x1+1）+b（y1-1）=7.5，a（x1+1）-b（y1-1）=10的解是.

解 由方程组解的定义知，（x1+1），（y1-1）是方程组ax+by=7.5，ax-by=10的解，

故有x1+1=-1，y1-1=-2，

所以x1=-2，y1=-1.

例4 若关于x，y方程组ax+by=c，dx+ey=f的解是x=6，y=2.求关于x′，y′的方程组3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f.的解.

解 将方程组3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f中每个方程的两边都除以7，得

37ax′+27by′=c，37dx′+22ey′=f.

即a37x′+b27y′=c，d37x′+e27y′=f.

根据方程组解的定义可知

x=37x′，y=27y′是方程组ax+by=c，dx+ey=f的解.

故有37x′=6，27y′=2，

解得x′=14，y′=7.

所以方程组3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f的解是x′=14，y′=7.

例5 已知关于x的方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，求这个公共根.

解 設两个方程的公共根为m，则根据方程解的定义可得

m2+am+b=0和m2+bm+a=0.

两式相减，得

（a-b）m+b-a=0.

因为原来的两个方程只有一个公共根，

故a≠b.

所以m=1.

例6 已知关于x的方程x2+3x+c=0的一个根的相反数恰是方程x2-3x-c=0的一个根，求方程x2+3x+c=0的根.

解 设方程x2+3x+c=0的一个根为m，方程x2-3x-c=0的一个根为-m，

则有m2+3m+c=0，

m2-3（-m）-c=0.

两式相减，得2c=0，

即c=0.

所以方程x2+3x+c=0的根是x1=0，x2=-3.

例7 求作一个一元二次方程，使其两个根分别是方程x2+2x-2=0两个根的

（1）相反数;

（2）倒数.

解 设求作的一个一元二次方程的一根为y，则

（1）-y是方程x2+2x-2=0的一个根.

将x=-y代人方程x2+2x-2=0，得

y2-2y-2=0.

（2）1y是方程x2+2x-2=0的一个根.

将x=1y代人方程x2+2x-2=0，得

1y2+2×1y-2=0.

整理，得-2y2+2y+1=0.

例8 已知实数a，b满足a≠b，且a2-a-2017=0，b2-b-2017=0.求下列代数式的值：

（1）a2+b2;

（2）a3+2018b-2017.

解 因为a2-a-2017=0，

b2-b-2017=0.

所以a2=a+2017，

b2=b+2017.

（1）a2+b2=（a+2017）+（b+2017）

=（a+b）+4034.

（2）a3+2018b-2017

=a（a+2017）+2018b-2017

=a2+2017a+2018b-2017

=（a+2017）+2017a+2018b-2017

=2018（a+b）.

因为实数a，b满足a≠b，

且a2-a-2017=0，

b2-b-2017=0，

由一元二次方程根的定义知：a，b是关于t的一元二次方程t2-t-2017的二根.

由一元二次方根与系数的关系知

a+b=1.

所以（1）a2+b2=4035;

（2）a3+2018b-2017=2018.