抛物线中特殊图形的存在问题

王益玲 李先兵

抛物线中特殊图形的存在问题是初中毕业生学业考试的常考题型.由于此类题型着重考查学生画图、析图能力，兼顾考查学生的计算能力，所以每每遇此类试题，都会让考生产生畏惧心理.本文以同一个例题下的多种问题为例，阐述抛物线中特殊图形存在问题的解题策略.

已知，如图1，抛物线y=x2+2x-3分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于點C.

问题1 是否同时存在抛物线上一点P和x轴上一点D，使以A，C，P，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求点P坐标.若不存在，请说明理由.

分析 如图2，将图2

ABCD放置于平面直角坐标系中，设

A（xA，yA），B（xB，yB），

C（xC，yC），D（xD，yD），

根据中点坐标公式可得AC的中点坐标为

xA+xC2，yA+yC2，

BD的中点为xB+xD2，yB+yD2，由于平行四边形的对角线互相平分，故可得AC中点与BD中点重合，进而可得

xA+xC2=xB+xD2，yA+yC2=yB+yD2，

整理可得xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

根据题意，得

A（-3，0），C（0，-3），

设P（m，m2+2m-3），D（n，0）.

若AC为平行四边形的对角线，则有

-3+0=m+n，0-3=m2+2m-3+0，

解得m1=0，n1=-3，m2=-2，n2=-1，

当m=0时，平行四边形不存在，故舍去，

所以P（-2，-3），D（-1，0）.

若AP为平行四边形的对角线，则有

-3+m=0+n，0+m2+2m-3=-3+0，

解得m1=0，n1=-3，m2=-2，n2=-5，

当m=0时，平行四边形不存在，故舍去，

所以P（-2，-3），D（-5，0）.

若AD为平行四边形的对角线，则有

-3+n=0+m，0+0=-3+m2+2m-3，

解得m1=-1+7，n1=2+7，m2=-1-7，n2=2-7，

所以P（-1+7，3），D（2+7，0）

或P（-1-7，3），D（2-7，0）.

综上所述，P点的坐标为（-2，-3）或P（-1+7，3）或P（-1-7，3）.

归纳 平行四边形放置于平面直角坐标系中，利用“对角线两端点的横纵坐标和分别相等”得到方程组，再解出方程组即可得所求点坐标.

问题2 在对称轴上是否存在点P，使得△CBP为等腰三角形.若存在，试求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

分析 △CBP为等腰三角形包含两种情形，BC为腰或BC为底.

情形一，如图3，BC为腰，则P必在以B，C为圆心，以BC为半径的两个圆上（B，C，P共线除外），两圆与该抛物线对称轴交点依次为P1（-1，6），P2（-1，0），P3（-1，-6），P4（-1，-6），显然P4（-1，-6）与B，C共线，不符合题意，应舍去.

情形二，BC为底，则P在BC的中垂线上，过上述两圆的两个交点的直线即为BC中垂线，与该抛物线对称轴交点P5（-1，-1）.

综上所述，P点的坐标为（-1，6）或（-1，0）或（-1，-6）或（-1，-1）.

归纳 已知两定点求作第三点，使得以三点为顶点的三角形是等腰三角形的方法为，分别以这两点为圆心，以这两点的距离为半径作圆，并画该线段的中垂线，简言之“两圆一线”与所求点满足的条件的交点即为所求点，并检验是否符合题意.

问题3 在抛物线对称轴上找一点P，在平面上找一点Q，使以P，Q，C，B为顶点的四边形为菱形.求出符合条件的P点坐标.

分析 以P，Q，C，B为顶点的四边形为菱形，则△BCP必为等腰三角形.故此问题中点P的求解同上述问题2.若需求点Q的坐标，根据问题一中所得结论即可求得.

归纳 已知两定点，求另外两点，使得以此四点为顶点的四边形为菱形，只需选择合适的三点为顶点的三角形是等腰三角形，然后再利用问题2中归纳的结论求解.

问题4 在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△BCP为直角三角形.若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

分析 △BCP为直角三角形包含两种情形，BC为直角边或BC为斜边.

情形一，如图4，以BC为直角边，过B，C两点分别作BC的垂线，与抛物线对称轴的交点即为所求，可求得，P1-1，23，P2-1，-83.

情形二，以BC为斜边，则根据“直径所对的圆周角为直角”可得，点P在以BC为直径的圆上.故以BC为直径画圆与抛物线对称轴的交点即为所求，可求得P3（-1，-1），P4（-1，-2）.

综上所述，P点的坐标为-1，23或

-1，-83或（-1，-1）或（-1，-2）.

归纳 已知两定点求作第三点，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形的方法为，分别过这两点作其垂线，和以这两点为端点的线段为直径的圆，简言之“两线一圆”与所求点满足的条件的交点即为所求点，并进行检验是否符合题意.

问题5 在抛物线对称轴上找一点P，在平面上是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为矩形.若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由.

分析 以P，Q，C，B为顶点的四边形为矩形，则△BCP必为直角三角形.故此问题中点P的求解同上述问题4.若需求点Q的坐标，根据问题1中所得结论即可求得.

归纳 已知两定点，求另外两点，使得以此四点为顶点的四边形为矩形，只需选择合适的三点为顶点的三角形是直角三角形，然后再利用问题4中归纳的结论求解.