如何求角的取值范围

乔勇 谭雪飞

求角的取值范围问题是目前各级各类考试中出现的一种新题型，虽然比其他求范围问题的难度要大一些，但只要把握其特点，即只要抓住角的一条边或两条边来思考和解答问题，一样能化难为易，快速解答，下面举例说明其解法.

例1 已知∠AOB=50°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.

（1）如图1，OD在∠AOB的内部，∠AOD=36°，∠BOD=14°时，求∠EOF的度数;

（2）如图2，OD在∠AOB的外部，请在图中先补全图形，再求∠EOF的度数;

（3）如图3，∠AOC=90°，射线OE，OF能否同时在∠BOC的内部？若不能，请说明理由;若能，请说明理由，并求∠BOD的取值范围.

解 （1）如图1，已知

∠AOD=36°，∠BOD=14°，

因为射线OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD=12×36°=18°，

因为OF平分∠DOB

所以∠DOF=12∠DOB=12×13°=7°，

所以∠EOF=∠EOD+∠DOF

=18°+7°=25°.

（2）在图2中画出射线OE，OF，变为图4，图4

因为射线OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD，

因为OF平分∠DOB，

所以∠DOF=12∠DOB，

因为∠AOB=50°，

所以∠EOF=∠EOD-∠DOF

=12∠AOD-12∠DOB

=12（∠AOD-∠DOB）

=12∠AOB

=12×50°

=25°.

（3）射线OE，OF能同时存在于∠BOC的内部.

理由：由（1）和（2）结论猜想得∠EOF=25°，容易证明：不论OD是在∠AOB的内部还是外部，∠EOF=25°=定值.

因为∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°，

又因为25°<40°，

所以∠EOF<∠BOC，

所以射线OE，OF能够同时在∠BOC的内部，

當OE与OB重合时，在图3中补全图形变为图5，

所以∠BOD=∠AOB=50°，

当OF与OC重合时，在图3图6

中补全图形变为图6，

因为∠EOF=25°，

所以 ∠BOE

=40°-25°=15°，

因为∠AOB=50°，

所以∠AOE=∠AOB+∠BOE

=50°+15°

=65°，

所以∠DOE=65°，

所以∠BOD=∠DOE+∠BOE

=65°+15°

=80°，

所以∠BOD的取值范围为

50°<∠BOD<80°.

注 从以上解答过程可以看出，我们先从∠EOF靠近OB的这条边考虑∠BOD的最小值，再从∠EOF靠近OC的这条边考虑∠BOD的最大值，进而得到∠BOD的取值范围.

例2 如图7，已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°，点F在射线OB上.

（1）若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0

（2）若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0

解 （1）∠FOE和∠EOC的数量关系为

∠EOF=2∠EOC，

①当∠DOE在∠AOC内部时，如图8，

令∠AOD=x°，则

∠DOF=2x°，

所以∠EOF=80°-2x°

=2（40°-x°），

∠EOC=120°-（x°+2x°+80°-2x°）

=40°-x°，图9

所以∠EOF=2∠EOC.

②当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，如图9，

令∠AOD=x°，则

∠DOF=2x°，

∠DOC=120°—x°，

∠EOF=2x°-80°=2（x°-40°），

∠EOC=80°-（120°-x°）=x°-40°，

所以∠EOF=2∠EOC，

综上可证∠EOF=2∠EOC.

0

（2）①当∠DOE在∠AOC内部时，如图10.

令∠AOD=x°，则

∠AOF=2x°，

∠EOC=120°-x°-80°

=40°-x°，

∠EOH=12（40°-x°）.

所以∠HOF=12（40°-x°）+80°+x°+2x°

=120°，

解得x=8，

则∠BOF=180°-2x°=180°-16°=164°.

1

②当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，如图11.

令∠AOD=x°，则

∠AOF=2x°，

∠COD=120-x°，

∠EOC=80°-（120°-x°）

=x°-40°，

∠EOH=12（ x°-40°），

∠EOB=100°-x°，

∠BOF=180°-2x°，

所以∠HOF=12（x°-40°）+100°-x°+180-2x°

=120°，

解得x=56，

则∠BOF=180°-2x°=180°-112°=68°.

综上所得：∠BOF的取值为68°或164°.

注 本题第（2）小题的第①种情况，是依据∠DOE的两条边都在∠AOC内部而求值的，而第②种情况则是依据∠DOE的一条边在∠AOC内部、另一条边在∠AOC外面求得答案的.可见，依据角的边的位置分情况讨论是解决角的范围问题主要依据和主要方法.读者不妨在今后的解题中试一试.