吴建芳
【摘要】 本文利用完全立方公式(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)以及立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)来推导三项立方和以及两个相关的推论.介绍了三项立方和公式在因式分解、求代数式的值、数论方程的方面的解题思路,突出在应用公式过程中的建模思想,可以提高学生的思维灵活性.
【关键词】 代数恒等变形;三项立方和;因式分解
立方和与立方差公式是代数恒等变形的重要公式之一,在因式分解中有着举足轻重的地位.然而更为复杂的立方和差问题,需要我们将两项的立方和(差)进一步推广到三项的立方和(差),让我们的思维得到进一步的锤炼和提升,在解决更为复杂的问题时可以更高效、更灵活.
下面我们先利用完全立方公式(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)以及立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)来推导三项立方和:
a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
(运用完全立方公式)
=(a+b)3+c3-3ab(a+b)-3abc
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-
3ab(a+b+c)
(运用立方和公式)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab]
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ac-ab-bc),
所以a3+b3+c3-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ac-ab-bc),
可以得到下面两个推论:
(1)当a+b+c=0时,
a3+b3+c3-3abc=0,
a3+b3+c3=3abc.
(2)配方可得a3+b3+c3-3abc
=12(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].
例1 分解因式:
(2x-3y)3+(3x-2y)3-125(x-y)3.
解 -125(x-y)3=(-5x+5y)3,
令2x-3y=a,3x-2y=b,-5x+5y=c,則
a+b+c=0,
利用推论1得:
原式=3(2x-3y)(3x-2y)(-5x+5y)
=15(2x-3y)(3x-2y)(y-x).
例2 已知m3+n3+3mn=1,求m+n.
解 已知m3+n3-13-3mn(-1)=0,
由推论2得到
12(m+n-1)[(m+1)2+(n+1)2+(n-m)2]
=0,
(m+n-1)=0,
或(m+1)2+(n-1)2+(n-m)2=0,
则m+n=1或m=-1,n=-1时,
m+n=-2,
所以m+n=1或-2.
例3 已经x+y+z=3t,求(x-t)(y-t)(z-t)(x-t)3+(y-t)3+(z-t)3.
解 由已知得,
(x-t)+(y-t)+(z-t)=0,
由推论(1)知
(x-t)3+(y-t)3+(z-t)3
=3(x-t)(y-t)(z-t),
所以原式=13.
例4 求方程x3+y3+z3-3xyz=2003的正整数解.
解 依据结论得
(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz)=2003,
(x+y+z)是2003的因数,
依据推论(2)得
12(x+y+z)[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]
=2003,
(x+y+z)[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]
=4006,
由题意知x+y+z≥3,
且2003是质数,
因此,必有x+y+z=2003,
当x+y+z=2003时,(x-y)2,(y-z)2,(z-x)2的值必有一个为0,另外两个为1,
解方程组得x1=668,y1=668,z1=667,
根据轮换对称性
x2=668,y2=667,z2=668,x3=667,y3=668,z3=668.
此外,三项的立方和可以进一步推广可以得到三元均值不等式:当a,b,c≥0,a3+b3+c3≥3abc,
a3+b3+c33≥abc,
当且仅当a=b=c时取等.
它在不等式的证等式应用更加广泛.