数学素养培育视角下的解析几何教学

冉春莲

【摘要】数学核心素养的落地离不开教学实践.解析几何是高中数学教学中数学运算核心素养的重要载体，而双曲线在其中具有承上启下的作用：作为双焦点圆锥曲线，在学习中可将它与椭圆进行类比;而圆和椭圆都是封闭二次曲线，双曲线作为开口的二次曲线，与抛物线也有一定相似之处.双曲线的重要性由此可见一斑.而2021年课改地区高考试卷的数学试题第21题在某种程度上也体现了这一点.因此，立足解析几何学习，在核心素养视角下进行双曲线的标准方程教学设计可以说非常有必要，而结合教学实践对教学效果进行反思，真正让学生在核心素养上有所收获则更加关键.

【关键词】数学抽象;数学运算;数学建模;逻辑推理;类比推理

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，数学核心素养是一个比较大的词，涵盖的方面很多，而且学生数学核心素养的培育也绝非朝夕之功.但从另一个角度来说，九尺高台起于垒土，学生数学素养的提升来自学生在整个学习过程中的日积月累，这离不开每一节课中教师的精心设计和润物于无声的渗透.下面以笔者在开设公开课“双曲线及其标准方程”（教材版本为人教A版选择性必修第一册）的磨课过程中的两节课（课例1为磨课，课例2为公开课，下面案例分析的部分均按此表达），谈一点笔者的做法和不成熟的想法，以就正于方家.

教学案例分析

一、定义生成

[教学设计]课例1 这一环节分为两个部分：复习回顾和定义生成.

复习回顾：复习椭圆的定义及标准方程，已知F1，F2为平面内两个定点，则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹为椭圆，强调定义中2a>|F1F2|这一条件;椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（焦点为（±c，0））或y2a2+x2b2=1（焦点为（0，±c）），其中a，b，c之间的关系满足方程a2=b2+c2.

[设计意图]由椭圆到双曲线，笔者试图在降低思维难度的同时，使学生经历通过类比发现并提出新问题、学习新的数学知识的过程，积累数学学习活动经验，培养类比推理的数学思想和相应能力.

[课堂效果及反思改进]课堂反馈：很多学生对用PPT展示、教师板书的复习椭圆的环节感到无趣.首先是没有实际背景的复习，很容易陷入字母和数学符号的抽象怪圈，令学生心生抵触，再加上学生的预期是一节新课，心理落差之下，大多数学生虽然基本都会（后续教学中体现出来的），但对回答问题的兴趣不高.

根据学生的课堂反馈，笔者认识到，这种复习属于无效复习，在教学中需要慎重应用.为了让学生保持思维的活跃和知识联结的方便，在讲解双曲线定义讨论参数a的环节，教师调整了节奏，并改变提问的方式，让学生之间互问互答，以学优生带动学困生，在本环节有效达成了让不同学生都有收获的小目标.

定义生成：接下来笔者利用图钉将拉链固定在硬纸板上，让同桌之间合作进行拉链实验，画出双曲线，并总结双曲线的定义，引导学生注意双曲线定义的条件、绝对值，注意对0<2a<|F1F2|，2a=|F1F2|，2a>|F1F2|及2a=0等情况的讨论.

①在条件0<2a<|F1F2|下：

|PF1|-|PF2|=2a时为双曲线的一支（更靠近F2的一支）;

|PF1|-|PF2|=-2a时为双曲线的另一支（更靠近F1的一支）.此时，结合椭圆定义，确定两定点F1，F2叫作双曲线的焦点，|F1F2|叫作焦距.

②当2a=|F1F2|时，||PF1|-|PF2||=2a表示两条射线;

③当2a>|F1F2|时，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何图形;

④当2a=0时，||PF1|-|PF2||=2a表示线段F1F2的垂直平分线.

[设计意图]由于双曲线有两支，同桌操作时则两人都有动手的机会，也都有观察的机会.由拉链实验到双曲线定义，有助于培养学生的数学建模思想、数学抽象素养，对参数a的细致讨论，能使学生思维严密，提升学生的逻辑推理素养.

[课堂效果及反思改进]按照预计，學生在复习了椭圆相关知识的基础上，能比较顺利地动手画出双曲线，并确定其定义，但事实并不如此.

问题主要在于作图的过程极其不顺利.大多数学生想当然地认为拉链实验会和画椭圆一样很容易进行.对做了充分准备的教师而言，硬纸板加上图钉固定焦点两端非常容易，马克笔的粗细也足以掩盖误差.于部分学生而言，薄薄的白纸上固定拉链两端有困难，运动过程中很容易移位;随着拉链的滑动，笔尖的运动也不是很容易控制，因为一般拉链很少能在紧绷的状态下进行拉开或是闭合;两点固定的太远且拉链不够长，画出的图形弧度不足……也有部分小组提前尝试时发现了这个问题，决定用将绳子打活结作图，但受限于摩擦力太大等问题仍不成功.

不问而知，师生双方都对这个环节印象深刻.教师在课后反思本环节要不要取消，因为该环节似乎对学生理解并抽象出双曲线的定义帮助不大，同时耗费的时间很多，并且有作秀的嫌疑.

而后续定义生成的过程不涉及数学抽象和数学建模素养，只能说是对照椭圆而进行的类比，并没有很深层次的思维过程.

课例2 这一环节分为两个部分：实例引入和定义生成.

[实例引入]你知道什么是劳兰海图吗？岸上两发射台A，B同时发射时间很短促的脉冲波，船上则有一台定位仪接收信号.当船与两发射台距离相等时，则两发射台的脉冲波会同时到达;如果船与两发射台的距离不相等，则脉冲波到达船上所需要的时间就不一样，就会出现一个时差，这时，就可以在专门的双曲线海图（又叫劳兰海图）上画出船位线确定船的位置.

问题1：劳兰海图为什么又叫双曲线海图？

问题2：将A，B，C视为三个点的话，它们满足什么样的关系？

[设计意图]吸取课例1的教训，结合教材例2的背景，选取了双曲线定位系统的一个案例进行引入，再通过两个问题培养学生的数学建模素养，引导学生认识数学的应用价值，同时，开门见山的引入有助于学生更好地进入新课.

[课堂效果及反思改进]学生很好地进入了学习状态，部分学生描述A，B，C三点间关系时选用的物理量是时间，经过讨论后统一为距离.这给了教师一个启发：此处教师没有必要设置问题，完全可以问学生对这段材料有什么疑问，这样能更好地培养学生的数学阅读能力，让学生主动提出问题并进行探索，从知识的接受者变成知识的发现者，从被老师考变成考官考查和提问老师与其他同学，这无论在心理上还是数学学习上都更有利于学生的发展.

定义生成：教师采用多媒体演示拉链实验的过程，考虑到学生水平差异，这里仍然采取小组合作的方式.与课例1相同的环节不再赘述.

[设计意图]引导学生结合引例和椭圆的定义抽象出双曲线的定义.

[课堂效果及反思改进]课堂上这一环节进行得很顺利.虽然没有复习椭圆，但是在相关环节教师采用简明扼要提问、学生口头回答的方式，使学生理解起来并不困难，教学效果较好.

但课后部分学生提出了自己在课堂上这一时刻的困惑：引例中船的位置应该是固定的，但这里变成了动点，一时之间难以理解.教师意识到这部分学生欠缺的刚好是数学抽象素养：从具体的情境问题中抽象出一般规律，并用数学语言予以表征.经此一问，教师意识到，引例中应该有这样一个问题：两发射台A，B固定时，船C可能会在什么位置？C的所有可能的位置构成什么图形？这样能更好地衔接引例和定义.

二、方程推导（课例1，2过程大致相同）

[教学设计]设|F1F2|=2c，让学生自由建立坐标系，化简并求出方程.F1（-c，0），F2（c，0），∴P={P||PF1|-|PF2}={±2a}，代入两点间距离公式即可得到方程：

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a，化简，得x2a2-y2b2=1，此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.同理可得焦点在y轴上，即焦点是F1（0，-c），F2（0，c）的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1，方程中均有c2=a2+b2.

[设计意图]学生类比椭圆标准方程的推导过程来完成双曲线的标准方程的推导，通过运算的相似性降低运算难度，提高成功率，提升学生的数学运算素养.

[课堂效果及反思改进]在课例1中，由于前一环节占用的时间较长，教师在本环节进行了调整，将原本的个人完全独立推导转化为个人独立建系设点列方程组，小组内先完成的同学帮助其他同学检查、协助学困生进行推导，由学生之间互相帮助、检查来攻克学生在运算上的弱点，同时让学生体会到解析几何中运算的魅力——由复杂到简单的过程，结果具有对称美.实践证明这个改动非常好，最大限度地减少了学困生迷茫和彷徨的时间——教师不可能对所有学困生进行单独指导，而集中讲解针对性又不强——解放了教师的同时，让一部分原本在数学运算上只能说水平一般的学生通过指导他人运算在数学运算素养上有了提升，同时增强了他们学习数学的信心.

教师意料之中的难点是：学生对于绝对值的处理.班级学生的计算大体分为三种：第一类学生左右直接平方，这在一定程度上增加了运算难度，但由于选择这种做法的几个学生都是数学素养较高的，只是为了回避可能复杂的分类讨论，而且他们对左右两侧代数式的结构把握比较到位，反而完成得比较顺利;第二类学生没有分类讨论，含糊略过，这一类大多是基础较差的学生，他们的主要目光集中在多项式的运算化简上，对运算的等价性关注不够;第三类学生是大多数，他们仿照椭圆标准方程的化简过程，先去掉绝对值符号，将一个根式移项到等号另一侧，然后进行分类讨论，但是有超过一半的学生在第二次左右同时平方时没能顾及等价性确定x的取值范围——因为椭圆中没有这一环节——反而是在应用题中才认识到这一问题的重要性.两个课例中均是如此.

教师意料之外的问题：学生对于引入新变量很犹豫，即要不要令c2-a2=b2.学生认为，为了更好地和椭圆区分，应该引入新的变量，由此引发了新一轮的讨论：椭圆和双曲線是否应该用同一组字母a，b，c？事实上，这也是学生后续学习过程中的易错点之一.对于该过程，学生进行了讨论，最后学习程度较高、预习较充分的学生说服了其他学生：同为双焦点曲线，用同一组字母a，b，c更有助于学生在学习过程中进行方法上的类比与区分.但对此结果仍有不少学生心存疑虑.教师适时抛出问题：在后续学习中请大家关注，椭圆和双曲线是否有共同的性质，是否可以使用同一组字母a，b，c来表示呢？事实上是有的，比如通径和第三定义表达式等，椭圆和双曲线可以在各自不同的定义下用同样的式子来表示，这对培养学生的数学抽象素养很有意义.通过引导学生从椭圆和双曲线两类曲线中抽象出一般性表达，培养学生思考问题一般性的习惯，抓住数学本质，以简驭繁.

但此处笔者仍有一个教学上的疑惑：有学生提出，可以在此处先设一个字母d，后面学习几何性质之后再将d替换为b，这样逻辑上会更加自然，学生还提出这个做法类似于证明三线共点问题中先寻找两两之间的交点、再证明交点重合的想法.笔者接纳学生，准备在下一届教学中进行实践.但无论如何，学生的独立思维能力在此处得到了锻炼.

三、巩固练习（此处课例1，2过程大致相同）

[教学设计]

例1 已知两定点为F1（-5，0），F2（5，0），曲线C上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求曲线C的标准方程.

练习1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.

（1）x24-y22=-1;（2）4y2-9x2=36.

[设计意图]学生通过例1和练习1，从正、反两个方面认识双曲线的标准方程，从而加深理解.

[课堂效果及反思改进]课例1考虑时间因素，由学优生作答，确实非常流畅，但这类题作为基础过关题，是检验班级解析几何学习较弱者的试金石，是学生课堂学习效果落地程度的标尺，教师必须保证全班学生都要过关，因此，笔者在课例2中调整为让学困生作答.

四、实际应用

课例1：例2 一炮弹在某处爆炸，在 A处听到爆炸声的时间比在 B处晚2 s.

（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知 A， B两地相距800 m，并且声速为340 m/s，求曲线的方程.

[设计意图] 本例即教材的例2，通过双曲线在解决实际问题中的应用，培养学生的数学建模素养.

[课堂效果及反思改进]这个例题在不同时间和空间的各个版本的高中数学教材中都出现过，教师事先预想不会有问题，但在比较活跃的课堂气氛中，学生提出了很多问题，有一些是无关紧要的，比如“人们怎么知道是炮弹爆炸而不是其他声音”，但也有一些是值得探究的，比如“如何最终确定爆炸点的位置”，这一问题，教师交给学生课后查阅资料或者自己设计方案来解决.又比如“A，B两地相距恰好800 m？即使这两个是观测站，建立之初就规划好距离为800 m，两地听到爆炸声的时间差会刚好是2 s吗？如此短的时间差是如何确定其精确度的”，这充分体现了学生严肃认真的科学研究态度，教师应当予以重视.针对学生提出的问题，事实上也是绝大部分数学模型应用于实际时的常见问题：数据并不一定非常适合学生笔算，教师应该提出并指导学生学会运用相应的信息技术手段来解决，使学生能运用数学抽象、逻辑推理建立一般化的数学模型，并将模型应用于具体问题，从而得到比较可靠的结果，并用来解释或解决实际问题.

课例2：例2 在本题的引例中，A，B两处发射的电磁波在空气中传播的速度为每一微秒300 m，船上的定位仪C接收到 A信号比B处信号晚2 μs.

（1）定位仪C所在的海船应在什么样的曲线上？

（2）已知 A，B两地相距800 m，求（1）中曲线的方程.

[设计意图]仿照教材的例2设置例题，一方面，说明船位线的由来，培养学生的数学应用意识和数学建模素养，另一方面，是对本节课前面内容的进一步学习，形成了前后呼应.

[课堂效果及反思改进]对于这个例题，学生仍然提出了问题，比如“船的体积较大，能否视为质点C”，由班级学生结合物理相关知识进行讨论，确定可以，这种有理有据的讨论有利于学科融合和学生建模素养的提升，课后可以更进一步完善问题.

五、结 语

曾经笔者一直以为教学的高效在于为学生铺平大路，引导他们最快地跑向终点，但遗憾的是，很多时候重来一次，学生甚至找不到起点.

相信学生自己能找到合适的路径，相信学生能在群体学习中汲取营养，是笔者进行教学设计的主要指导思想.“要相信学生”，对教师而言，这也是一句知易行难的话.但在后续的学习中，学生的反应更加确定了笔者的想法.课后，根据范希尔理论（该理论可以用来确定不同推理能力的学生所处的演绎几何思维水平）进行的测试中，学生的几何认知水平差异有比较明显的改善.课例1中，有学生告诉笔者他机械复习消减的学习兴趣在手动画图时爆发，在应用题部分又有一个小爆发，而且经过教训，学生在后续学习的预习环节认真了很多，动手操作的热情在抛物线的教学中明显加强，作图能力也有了明显提升.而课例2中由于没有学生自己画图的过程，他们作图并不顺利.这节课虽然出现了很多问题，但其中有很大一部分是学生自己深刻的体验和感受，无论是成功或是失敗，都给学生留下了明确的指路标.这正是核心素养或者说教学的本质所在：培养学生扎根于大脑深处的、可复制、更可创新的思维习惯.

【参考文献】

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：3-7.

[2]曹莉，王宇晓.基于范希尔理论的“椭圆及标准方程”教学设计[J].学习方法报·理综教学研究，2021（8）：6.