基本不等式的应用思路分析

彭思锐

不等式是数学的重要内容之一，其内容广泛，方法多样，技巧性强，但基本不等式是不等式的基础，是课程标准中要求熟练掌握的内容，也是数学学习的重点，因此，熟练应用基本不等式及其变式，是掌握基本不等式的重要途径，为此，本文以2019年高考全国I卷中第23题中的第（2）问为例，对基本不等式应用中的思路作一分析，

证明思路分析1观察不等式（1）的结构，由三项组成，而已知条件为abc=1，因此可通过基本不等式将和转化为积，其具体路径有：先用三元基本不等式，再用二元基本不等式，这即是标准答案中给出的证法.显然也可以先用二元基本不等式，再用三元基本不等式.于是有如下的证法：

证明思路分析2不等式（I）的左端的项为多项式，但不是单项式，给直接利用基本不等式制造了视觉障碍，因此将不等式（1）的左端展开后，再利用三元基本不等式，从而有：

证明思路分析3在基本不等式的应用中，对多项式的项进行适当拆分与组合，是思维的敏捷性的具体体现，也是基本不等式应用中应掌握的基本技能，为此可根据题目的结构做出探究.如对不等式（1）的左端，每两项组合有：

以下解法同证法6.

在上述证明过程中可以发现，由于已知条件是积的形式，而所证不等式是和的形式，因此通过基本不等式恰好就能建立起已知条件和所证明的不等式之间的联系，从而完成证明，当然，在基本不等式的应用过程中，應充分注意基本不等式的应用条件，特别是取等号的条件，才能通过适当的分解、组合、凑配来应用基本不等式.