“异面直线的概念”教学片段

史修凤

【摘  要】空间两直线的位置关系是立体几何中点、线、面位置关系的起始课，对于本节课的教学，本文主要阐述了如何突破异面直线的概念这一难点，教学中借助生活中的大量现象和实例，利用直观感知、问题探究、小组合作、自主学习、交流分享的方式，通过思辨论证揭示数学本质，让学生理解异面直线概念的本质。

【关键词】异面直线;合作探究;观察发现;交流分享

空间两直线的位置关系是立体几何中点、线、面位置关系的起始课，上好本节课可以为学生打好学习立体几何的基础，开个好头。空间两直线的位置关系这节课中异面直线的概念是个难点，如何突破这个难点呢？笔者主要借助生活中的大量现象和实例，利用直观感知、问题探究、小组合作、自主学习、交流分享的方式，通过思辨论证揭示数学本质，让学生理解异面直线概念的本质。下面是笔者在教学中突破异面直线概念的教学片段。

一、问题探究，观察发现

研究空间位置关系很多时候可以从平面问题入手，我们研究空间两直线的位置关系也是从平面两直线的位置关系开始的。

问题1：请同学们回顾平面内两直线的位置关系有哪些？（投出幻灯片）

生1：两条直线没有公共点是平行，两条直线有一个公共点是相交。

师：完全正确！我们在初中研究平面内两直线的位置关系时，从公共点的个数这个角度去描述平行和相交，可得到如下结论：

相交直线（有一个公共点）

平行直线（无公共点）

师：我们学习了平面内两直线的位置关系，那么在空间中两直线又会有怎样的位置关系呢？为了弄清楚这个问题，我们可以先从大家熟悉的长方体的棱位置关系来研究。

问题2：请结合下面的长方体图形，回答下列问题：①有与AB平行的棱吗？请你找出来;②有与AB相交的棱吗？请你找出来;③还剩下哪些棱呢？请你也把它们找出来，并研究这些剩下的棱与AB是什么样的关系。（投出幻灯片）

设置3个小问题，既便于学生观察和回答，又便于突出主旨内容，学生更容易发现长方体12条棱中哪些棱与AB平行，哪些棱与AB相交，哪些棱与AB既不相交又不平行。对于最后一种情况，是平面中所没有的，激起了学生的学习兴趣，抓住了学生的注意力，同时更能突出主题，最后的这种位置关系是只有在空间中才有的位置关系。

生2：与AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1，与AB相交的棱有AA1、AD、BC、BB1，还剩下的棱是DD1、A1D1、B1C1、CC1。

师：长方体12条棱中，最后剩下的这4条棱DD1、A1D1、B1C1、CC1。

与AB相交吗？平行吗？

生：既不平行也不相交（齐声回答，虽然结论明显，也要让学生说出来）。

师：这种既不平行也不相交的两直线位置关系就是空间两直线的第三种位置关系，也是本节课研究和学习的内容。这种位置关系不仅在数学中大量存在，在我们的生活中也有很多。下面请大家观赏我们生活中这样的实例：

二、合作交流，讨论确认

师：通过上面大量的实例，我们可以知道数学来源于生活，我们要学会对生活的现象进行归纳抽象，抽象出数学本质。下面请各位同学思考它们都有什么共同点？

给学生足够时间，让他们分小组合作，自主学习，讨论交流，随后请各小组总结发言，试错中再调整，发展学生的理性思维，让他们学会有逻辑的思考。

生3：我们小组认为它们都是既不平行也不相交。

师：非常好，从图形的直观上看既不平行也不相交，抓住了它们的特点，还有没有其他想法？

生4：这些直线没有公共点，但是它们并不平行。

师：说得非常好！类比平面位置关系，从公共点个数来研究，但是在空间问题中仅从公共点的有无来判断，并不能帮助我们解决这个问题，那么还需要考察什么呢？

给学生留些思考的时间，同时老师给予启发。

师：构成空间图形的基本元素是点、线、面，研究空间“线线”位置关系，仅从是否有公共点这个角度思考显然不能解决问题，还可以加入哪个要素？

有学生恍然大悟。

生5：还可以考虑 “平面”这个要素，我们小组认为它们在两个不同的平面内。

师：很有创意的想法，加入了“平面”来进行研究，但思考不够深入，让我们共同优化一下这想法，使其更合理、严谨。

引导学生观察两个平面内的直线可能存在的位置关系，在巡视的过程中，发现有的有学生找出以下反例：

生6：通过上述图例可以说明，在两个不同平面内的两直线可能相交也可能平行，所以他们的说法并不正确。

师：虽然第三小组的结论不严谨，但是他们在考虑位置关系时，考虑了“面”这个要素，这是值得肯定的，我们不妨从这个角度出发，好好思考一下，如何表述得更严谨、合理。

留时间给学生思考，并引导学生，在两个平面内也不能说明一定是异面。

师：通过大家的讨论，空间中这些直线的共同点是：没有公共点，既不平行也不相交，不在同一平面内。请大家认真思考，如何理解不在同一平面内。

生7：我认为是没有一个平面能包含这两条直线。

师：非常棒的想法！我们不能简单地认为这两直线在两个不同的平面内，而是它们不同在任何一个平面内，这个条件更重要。我们把不同在任何一个平面内的直线叫作异面直线，同时请大家注意它的含义，异面直线不能简单地理解为它们在两个不同的平面内。

至此，我们得到异面直线的概念。这一过程让学生经历了数学的发现过程，在试错中调整再调整，通过老师的引导，学生自主发现数学本质，调动了学生学习数学的兴趣和积极性，同时培养了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，还渗透了数学的文化价值，体现了数学来源于生活。

三、课后反思

空间两直线的位置关系是空间点、线、面位置关系的起始，又是学习线线、面面位置关系的基础，可以说立体几何是从这里真正开始的，而其中对异面直线的概念学习，将使学生的思想认识从平面拓展到立体空间，这是一次质的飞跃。本文选取异面直线概念教学来阐述，问题虽小，但是其研究手段和方法还是非常典型的，极具代表性。现将这一过程的教学进行简单的反思总结。

首先，我们在学习时，经常会以旧知带新知，从熟悉的知识入手，而且空间问题平面化是立体几何中常用的思想方法。因此，引入问题时，设计从平面两直线位置关系开始，过渡自然、流畅，符合我们的学习规律。

其次，在形成概念的过程中，主要采用了自主学习、合作探究、小组交流的方式，并积极创造问题情境，抓住学生的注意力，引导学生积极参与学习活动，通過一系列的问题串，层层递进，启发学生多思考，调动学生学习的主动性和积极性，使学生经历了完整的数学发现过程，培养了学生的理性思维，教会他们有逻辑的思考，发展了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、分析问题和解决问题等数学核心素养。

最后，大量生活中的实例展示了数学来源于生活，引导学生感悟数学的审美价值和科学价值，渗透了数学的文化教育功能，而且让学生知道在学习的过程中可充分借助生活中的实例和模型，比如教室、书、笔等。

课后，让我觉得最大的不足之处是，异面直线概念形成中，由于课堂时间不足，对“不同在任何一个平面内”，没有给予学生足够的时间去论证。

这节课是发展学生数学核心素养以及渗透数学文化的一种尝试，抛砖引玉，希望能学习到更多老师的优秀案例。F0661F9A-705F-4F3E-8D73-D039745F8B62