新课改背景下的高中数学建模教学实例分析

黄丽丽

摘要：随着高中新课程的不断深化，对学生进行数学建模的研究也越来越多。2003年，我国在中学数学建模方面引进了数学模型，但经过十余年的实践，其效果并不明显。本文根据以往的研究，对中学数学模型的教学策略进行了分析和讨论。

关键词：数学建模;数学模型;数学建模教学

1高中期间进行数学建模教育的必要性

1.1有助于激发高中生的学习兴趣，增强他们学习数学的自主性

以往的数学学习采取的是“背公式、套公式、答题、对答案”等老路，该种简单的、枯燥的、机械的学习形式，极易扼杀高中生学习数学的積极性。而数学建模是结合实际问题寻求答题的办法，属于活生生的事例，高中生在学习过程处于主体地位，可以更好调动高中生的自觉性、积极性，让学习过程变成老师指导下的“创造”过程，可以调动高中生学习数学的热情。

1.2有助于增强高中生的应用意识，提升高中生处理实际问题的水平

数学建模的目的是处理生活中的现实问题，不再是按照各类已知条件，经过计算，获得一个确切答案。数学建模使高中生自主提问、采集素材、判断真假、处理问题，高中生面对的也许是与自己生活紧密关联的像家庭理财事例，或是和每日出行有关的公交站台建设等问题。高中生真切面对社会以及现实生活，可以体验到实际生活的复杂与多姿多彩，在应用数学知识时提升高中生处理现实问题的能力。

2高中数学建模需遵循的基本原则

2.1遵守问题挑选的原则

数学建模的重点之一即“问题”，针对课题的挑选必须遵守如下几点原则：（1）问题性———数学建模过程所包含的问题应当是源自高中生的实际生活、现实社会与其他课程等各个方面，所包含的数学思想、方法要和高中数学学科内容有关系。（2）价值性———问题应具备现实意义，兼具合理性与创新性。（3）可操作性———选取的问题应符合高中生的知识水平与技能及有关的物质环境。

2.2要高中生参与整个过程的实行

数学建模的重点之二即“过程”。数学建模属于一个整体的学习过程，需要“问题的发现与提出”要是高中生自觉参与探究的结果，所以在建模时需要高中生参与对问题背景的调研过程、对问题最初信息的处置分析过程、问题化解后的延伸探讨过程。

3新课程环境下高中数学建模分析

数学建模是基于现实问题，忽视次要因素，依靠数学思维、方法将重要内容抽象概括得出有关数学模型，借助数学知识求出数学模量，然后将解代入实际问题中来验证并结合实际状况加以完善的过程。数学模型的建立通常要经历如下几个步骤：

3.1模型准备

经观察了解与把握实际问题的具体资料及信息，推断与分析事物的特点、相互关联与变动规律。（具体背景）

3.2模型假设

基于现实问题的特定联系与基本要求，依靠数学理论挑选重要变量与常量，知道主要矛盾与本质特点，对问题进行理想化与简单化的解决。（提问）

3.3模型建立

这属于数学抽象问题，借助数学概念、符号以及式子等基本工具描述变量之间的联系，创建相关的数学框架。（数学模型）

3.4模型求解与分析

依靠方程、图解、逻辑推导、理论验证以及稳定性探讨等数学知识进行模型求解，且对求解结果展开数学分析。

3.5模型检验和修改

把数学模型的分析内容反映至实际对象，进一步修正模型的科学性与适用性，直至获取满足客观情况的数学模型。

例1某个旅行社开展20到80人的旅游团。当游客是20人时，每个游客收费是200元;当游客数量超出20人时，能够适当减少游客的费用，比如每增多1位游客少收2元。旅行社进行一次旅游的固定成本是4000元，再提供给每个游客30元的食物。旅行社希望了解：旅行社的收益和游客数量的关系，何时收获的利润最多，什么时候亏本？

【模型假设】

分析：在该问题中，有的条件是不明确的，比如：当游客超出20人时，每增多1位游客少收2元，还是指增多的那1位游客少收2元？由此做出以下假设。假设1：当游客超出20人时，每增多1位游客少收2元，表示第21位游客交198元，第22位游客交196元，由此类推（若指每位游客少收2元，要另解）。假设2：游客按照收费状况均摊费用。

【模型建立】

设游客有x人，则20≤x≤80，设y代表旅行社进行一次旅游所获取的利润。由此得知，当仅有20位游客时，因为每个游客仅收200元，20位游客总共收4000元，刚好是旅行社开展以此旅游的固定费用。这时，旅行社还要为每人提供30元的食物，所以会损失600元。当x>20时，旅行社的收益：y=198+196+……+

【模型分析】

借助等差数列求和式子得出：

因此y的最值点为x=104。5时，所以最值点不在[20，80]内。但是其在[20，80]上是增函数，所以x=80时获取最高收益。当游客数量不足24名时旅行社会亏本，由于这时y=198+196+194-23×30<0。以上几个步骤能够结合实际状况灵活应用，针对复杂题目，一般采取边分析边摸索数学模型的办法。

例2最早的扫地机器人装了防震的橡胶原料，在室内可以活动，当碰撞到阻碍物时变回随机调换方向（见图1），直到清理完成。该种最早的扫地机器人从开启的房门“离家出去”的概率为（）。解：该种状况扫地机器人的方位选取属于随机的，它会在设定时间内清理好房子的各个部位（除了被家具等遮挡的位置），即扫地机器人到达室内任何一个无阻碍物的地方的概率为1，所以运动至门口的概率为1，而门口没有阻碍物阻挡，因此将直接走出去，也就是扫地机器人离家出去的概率为1。

参考文献：

[1]邹勇泉.“互联网+”下的高中数学建模教学[J].高考，2021（31）：37-38.

[2]李凯.高中数学建模教学：现实困境与突围路径[J].中学数学月刊，2021（10）：7-9+19.