数学课程标准修订与核心素养

【编者按】 2022年4月21日，教育部召开新闻发布会，正式发布2022年版义务教育课程方案和各学科课程标准。新的课程方案和课程标准，将对义务教育课程改革、学科教学以及评价产生重要影响。本期《关注》栏目聚焦《义务教育数学课程标准（2022年版）》，特邀课标修订组组长、核心成员等有关专家阐释并解读其中的基本理念和重要变化，以帮助大家更好地理解，为后续统筹规划、扎实推进其落地实施打下坚实的基础。

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》保留《义务教育数学课程标准（2011年版）》的合理内核，延续《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的核心素养。修订的要点包括：落实立德树人根本任务;实现“学科融合”的教育要求;更合理地划分学段;把“四基”“四能”与核心素养有机结合;调整课程结构与内容，增加代数推理，加强几何直观;在综合与实践领域融入跨学科知识和传统文化;体现数学的一致性，尤其是数的认识与运算的一致性。

关键词：数学课程标准;修订要点;核心素养

本文根据史宁中教授于2022年4月28日下午在中国数学会数学教育分会首届（2022年）学术年会（线上会议）上做的大会报告整理而成。略有改动，已经作者审核。2022年4月21日，教育部颁布了2022年版的义务教育课程方案和各学科课程标准。这里，我主要介绍这次数学课程标准修订的基本原则、一些想法和主要变化。当然，从2017年版的普通高中课程标准开始，我国的基础教育就强调了核心素养，所以，还想谈一下最近对数学核心素养的理解。我主要谈的是我和我们课标修订组（包括普通高中组和义务教育组）是如何想问题的。

一、 课标修订的背景与要点

21世纪，中国的基础教育发生了很大的变化。这个变化主要表现在：教学大纲改成了课程标准。因此，21世纪开始的基础教育改革，本质上就是课程标准的制订和落实。2001年，教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“2001年版课标”）;紧接着，几家出版社出版了相应的教材。2005年，教育部决定修订这个标准。当时，我没有接触过基础教育，但是，时任教育部部长周济和主管基础教育的副部长陈小娅责令我来主持修订工作，他们说：你是师范大学校长，又是学数学的，就由你来负责。于是，我就开始主持修订编制《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”），后来又主持修订编制《普通高中数学课程标准（2017年版）》后来又有《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》出台。（以下简称“2017年版课标”）、《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”），已经近20年时间了。

（一） 2011年版课标的重大变化

简单说，有三个方面的重大变化：

第一个变化是课程目标，也就是教学目标。过去传统的教学目标是“双基”，即基础知识和基本技能。“双基”在本质上是学苏联的，从1952年开始，到1963年形成文件。后来，发现只强调“双基”不够，就拓展到“四基”——加上了基本思想和基本活动经验。过去，强调分析问题和解决问题。到了2011年左右，我国已经提出要培养创新型人才，因此，只有分析问题和解决问题的能力是不够的，又拓展到“四能”，就是增加了发現问题和提出问题的能力。

第二个变化是课程内容。2001年版课标里，没有“几何”的概念了，是用“空间与图形”来表达的。后来，我们结合专家们的意见，把它改成了“图形与几何”，并且增加了若干个基本事实。这样的话，几何证明在教学中就更容易落实。我当时没有想到，可能在数学教育界一直存在这个问题，就是2011年版课标颁布之后，有几位中学数学教研员问我：是不是数学的证明只有几何证明，没有代数证明？我一下就愣住了：怎么会出现这个问题？——显然，代数的证明很多。后来，我想明白了：课程标准里，几何给了基本事实，代数没给基本事实。于是，在2022年版课标中，增加了两个基本事实：一个是等量的等量相等，也就是a=b，b=c，则a=c，这是无法证明的事情;还有一个就是等式的基本性质，即等号两边同时加或减同一个数，等式依然成立。

第三个变化就是核心词。2011年版课标把传统的三大能力（即运算能力、推理能力和空间想象能力）拓展为10个核心词，其中聚焦数学学科的是8个核心词（数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型思想、数据分析观念）。当然，这8个核心词有些在2001年版课标里已经提出了，只是不够明确。可以看到，除了保持三大能力之外，加上了数感、符号意识等与抽象有关的核心词。这是一个很重要的变化，因为传统的数学教育不强调抽象，但是对于数学来说，抽象是极为重要的。

这里，特别谈一谈“双基”变“四基”。其实就是从单纯的结果性目标，变成结果性目标加过程性目标。2006年，有了这个想法之后，我拿不准，就请了北京大学的姜伯驹先生、复旦大学的李大潜先生、南开大学的侯自新先生、吉林大学的伍卓群先生等到东北师范大学来商谈。我说：课程目标从“双基”到“四基”，想征求一下你们数学家的意见。他们都挺支持的，特别是，对数学基本活动经验非常赞同。数学家知道，数学的结论是看出来的，不是证出来的。也就是说，数学结论的获取（问题的解决）需要凭借良好的直觉。而直觉的培养需要经验的积累。但是，姜先生当时问我：你说的数学基本思想是指什么？我当时没有认真地想，我说：我一时也答不上来，我写书来回答你的问题吧。后来直到2015年，我陆续完成了《数学思想概论》系列图书（分为5辑，主题依次为“数量与数量关系的抽象”“图形与图形关系的抽象”“数学中的演绎推理”“数学中的归纳推理”“自然界中的数学模型”）的写作与出版，并接着完成了其“精编版”《数学基本思想18讲》一书的写作与出版。当时开会的时候，我们还请了教育部主管基础教育的副部长陈小娅和基础教育司司长姜沛民一起参加研讨，在会上基本就确定了“四基”是可以的。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

那么，基本思想究竟是什么？学习数学一般都愿意给一个思维的原则，我想，数学基本思想就是数学的产生和发展必须依赖的思想，还有学习过数学的人应当具有的思维特征。具体是什么呢？想来想去，觉得应当是抽象、推理和模型。通过抽象，现实世界的事情到了数学内部。抽象的主要对象是现实生活中的数量与数量关系、图形与图形关系，抽象形成了数学的研究对象，用定义或符号表达。此外，数学自身的发展是通过推理得到的，数学结论（数学研究对象的性质、关系和规律）也是通过推理得到的。推理主要分两类：一类是归纳、类比，是得到结论;还有一类是演绎（值得一提的是，从算理到算法的计算，本质上也是演绎），是论证结论。我还写了一篇很长的文章史宁中.试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J].数学教育学报，2016（4）：116。，论证无论归纳、类比还是演绎推理，都是有逻辑的。我把具有传递性的那种推理形式叫作有逻辑的推理。这样的话，就论证了——归纳和类比都是有传递性的，演绎也是有传递性的。因此，数学之所以有严谨性，就是因为其无论是得到结论的过程还是论证结论的过程，都是有逻辑的。此外，通过模型用数学的语言讲述现实世界的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，让数学返回现实世界，用数学的概念、方法和结论认识、理解和表达现实世界。很多学科用数学语言来表示其研究领域的性质、关系和规律，模型很多是用其他学科的术语来命名的。因此，模型作为基本思想是非常重要的。

（二） 2022年版课标的修订要点

首先是所有学科共同的要点。一是落实立德树人根本任务。党的十八大提出，把立德树人作为教育的根本任务。对此，教育部2014年颁布的文件《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出，通过核心素养来落实立德树人根本任务。2017年版普通高中课程标准将核心素养作为课程目标，贯穿始终。因此，对2022年版义务教育课程标准提出了同样的要求，并强调做好义务教育与高中的衔接。二是实现“学科融合”的教育要求。这是一个世界潮流，不仅中国现在这样要求，很多发达国家都这样要求，主张在义务教育阶段，学科不要分得很细。数学需要与自然科学、社会学的一些学科有机融合。除了跨学科内容，还要把历史文化内容融入数学课程。

其次是数学学科特殊的要点。这次课标修订主要完成了五件事：

一是学段的划分。学段的划分是一件很难的事情。其实，编制2011年版课标时，就想到小学分三个学段。原来，小学是两个学段：一到三年级一个学段，四到六年级一个学段。其实，比较合理的是一、二年级一个学段，三、四年级一个学段，五、六年级一个学段。义务教育有一个基本的原则，就是该教什么教什么。小学一、二年级的孩子不太适应学数学，因为话都说不明白，不是数学懂不懂，而是话懂不懂。因此，一到三年级是一个学段，不是很合理。这是第一个。第二个，仔细调查一下就会发现，四、五年级的孩子在思维过程中有一个很大的分水岭，五年级的孩子似乎就对一些抽象的内容多多少少能够理解一些了。因此，小学分三个学段比两个学段合理，这是根据心理发展来定的。所以，一、二年级要重视幼小衔接教学，原则上没有作业、没有考试;五、六年级可以适当增加数学思维的训练。

二是把“四基”“四能”与核心素养有机结合。这就涉及如何理解和表达核心素养，下文再详谈。

三是代数要增加代数推理，几何要加强几何直观，数学要提升核心素养，在这样的前提下，如何调整课程的结构与内容。这是一个大问题，也在下文详谈。

四是在综合与实践领域，如何融入跨学科知识和传统文化。这个也会在下文稍作说明。

五是如何体现数学的一致性。可能大家不太知道这个“一致性”是什么，我稍微阐述一下。

现在小学数学的一个问题是数的认识缺乏一致性。什么意思？就是通过现实背景来认识数，缺乏一个数学化的过程。整数怎么认识？强调数量。小数怎么认识？通过“圆、角、分”“米、分米、厘米”。分数则强调等分。这里没有一个共同的东西能把这三种数串联起来。在学习分数的时候，没有强调分数的单位。问题就会出在比较大小上：12比13大，道理是什么？是分子相等，所以分母大，分数小。事实上，对于分数来说，不应该存在这样的道理。合适的道理应该是，在同样的单位下才能比较大小。因此，12和13比较大小，必须转化到同样的单位下，那就是变成36和26，36比26大（这是道理），这样就可以得到12比13大（这是算法）。理和法不是一样的，这件事情很重要。

特别是，数的运算缺乏一致性。我举例说明，分数和小数的除法是小学数学教学的重点和难点，但是教学时，通过现实意义来说明，二者各讲各的理。分数除法用包含除的原理解释。比如，1包含3个13，所以1÷13=3。那么4÷13怎么办？变成4×1÷13，后面加上括号，1÷13=3，所以4÷13=4×3。事实上，这是很深的道理。因为我们可以很快地举个例子：4除以1也等于4，那么就变成了4÷1÷13，后面加上括号，就变成了4÷3。到底哪个对？为什么这么算是对的呢？这就讲不清了。小数除法用商不变的原理解释。比如，0.4÷0.02，0.4扩大100倍，0.02扩大100倍，商不变。为什么商不变就是对的？举例说明。但举的例子都是整数的例子，整数的例子为什么适用于小数？这是个问题。

因此，各讲各的理，使得学生认为数学分好多样：整数的数学、分数的数学、小数的数学。运算又分好多样：整数的运算、分数的运算、小数的运算。这样的话，不仅会把学生的思维搞乱，更重要的是为了讲这些理，耽误了很长时间。也就是说，把简单的问题讲复杂了。这导致学生费了很大劲学，而学的东西不一定是有用的。后来，我就写了一篇只有一页的文章——《关于除数是分数或者小数除法的一个注》史宁中.关于除数是分数或者小数除法的一个注[J].数学教育学报，2019（5）：1。——来谈这个事情。我的一个学生看见这篇文章后说：老师，弗赖登塔尔早就看出这个问题了。他给我找了文献。弗赖登塔尔这么說：“一味地依赖具体情境会使得除法问题变得更加复杂。由于教师与教科书编写者对于如何从直观的分数进展到算法的分数，最终又如何引出分数的规则，缺乏适当的观念，从而使情况更为恶化。”参见：弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995。因此，弗赖登塔尔提出了一个重要的观念，即数学化，具体方法是从内容出发到舍弃内容。但是，他只提出了问题，没有说如何解决这个问题。我的这篇文章如果有意义的话，就是解决了这个问题。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

总的来说，这次课标修订保持两个原则：保留2011年版课标的合理内核，延续2017年版课标的核心素养。

二、 核心素养的理解与表达

因为落实立德树人根本任务没有变，2022年版课标就要发展2017年版课标提出的数学核心素养。这样的话，数学核心素养便涉及小学、初中、高中。我想，很可能未来要涉及大学、研究生，还要涉及教师和研究者。

数学核心素养必须具备三个基本特征（我说的不一定对，供大家参考）。一是内涵的一致性。不能小学有小学的，初中有初中的，高中有高中的，数学核心素养应该有一以贯之的内涵，它是每一个学习过数学的人都应该具有的，但又是没有终极状态（永远达不到）的目标。二是表现的阶段性。不同的学习阶段应该有不同的表现，这与身心发展有关，与知识储备有关，与经验积累有关。因此，最关键的是，数学核心素养的表述应该有整体性，既有数学的特征，又有教育的特征。更具体地说，既表述学科思维，又表述认知心理。

这样的话，数学核心素养就定义为数学课程要培养的学生核心素养（或者说，通过数学教育学生获得的核心素养）——2022年版课标里没有写“数学（学科）核心素养”，只用了这样的定义来表达。数学核心素养是一种与人的行为（思维、做事）有关的数学教育的终极目标。它是在过程中养成的，是逐渐养成的，是经验的积累，是过程性目标的拓展，是“四基”的继承和发展。因此，学生本人参与到数学活动中非常重要。一个人会不会想问题是自己想积累的经验造成的，会不会做事情也是实践的结果。这些不是教师教出来的，而是自己悟出来的。

这样，我们就把数学核心素养表述为：会用數学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。这样的表述有数学本身的特征，也有数学教育所要描述的认知方面的、心理方面的特征。这是很重要的，因为现在的数学核心素养跟我曾经说的数学基本思想相比，更一般，包含的东西更多了。

我们具体来看一下。什么是数学的眼光？数学是如何观察现实世界的？数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。掌握了数学的这种观察方式，学生就能够直观地理解所学的数学知识及其现实背景，能够在生活实践和其他学科中发现用数学的方法能够研究的那些对象，并且能够表示出这些研究对象和它们的关系。具有这种视野的话，就能够在实际情境中发现、提出有意义的数学问题，引起数学探究;在情感、态度、价值观方面，能够发展好奇心、想象力和创新意识。在这个意义上，数学的眼光比数学抽象更加上位。

什么是数学的思维？数学是如何思考现实世界的？数学为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方式。这一点比推理就更加上位了。通过相应的学习，学生能够理解数学的基本概念和法则的发生与发展过程，知道数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系，能够合乎情理地解释或论证数学的基本结论，能够用数学的方法探究现实世界的规律，能够经历数学“再发现”的过程，能够发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，养成讲道理、有条理的思维习惯，培养理性精神。

什么是数学的语言？数学是如何表达现实世界的？数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。这一点比模型更加上位。掌握了数学的语言，学生就能够初步感悟数学与现实世界的交流方式，能够有意识地用数学的语言表达现实生活和其他学科中事物的性质、关系和规律，感悟数据的意义和价值。只有在这样的过程中，学生才能感悟数学语言（包括它的概念、它的表达）的简洁与优美，养成用数学语言表达和交流的习惯，增加跨学科的应用意识和实践能力。

我们进一步来分析。数学核心素养的数学特征是什么？数学的眼光虽然是数学提供给人们观察世界的一种方式，但是在本质上是数学的抽象。因为抽象，数学具有了一般性。数学的思维在本质上就是逻辑推理，就是我刚才说的具有传递性的推理。因此，说数学能够培养思维能力是不够准确的，应该细化：它不能培养所有的思维能力，比如形象思维能力和辩证思维能力就不一定能培养，它能培养的是逻辑思维能力。逻辑思维能力就是具有传递性的思维能力，如果符合的标准是从小到大，就是归纳、类比;如果是从大到小，就是演绎。因为这样的推理是有逻辑的，因此数学具有严谨性。还有，在现代社会，所有的学科要走向科学，就要尽可能多地使用数学的语言，构建数学的模型，这使得数学形成了一个新特征，就是应用的广泛性。很长时间以来，几代数学家对数学的观点可能会有所不同，但是关于数学一般性、严谨性和应用的广泛性的认知是一致的。因此，我们现在把数学核心素养与数学的思想、与数学的特征有机地结合起来了。

但是，数学核心素养的教育特征是什么？直到目前，我也没有想得特别清楚。也就是，我刚才说的认知和心理方面的特征，我没有非常好地描述出来。所以，我给大家留下了一个很大的作业。

关于数学核心素养的阶段性特征，大概这个是正确的，就是低年级（如小学）应该更多地基于感知，因此应该更具体、更侧重于意识，意识是基于感知的领悟;高年级（如中学）应该基于概念，因此应该更一般、更侧重于观念和能力，观念是基于概念的理解，能力是基于实践的掌握。

这样，我们保留了2011年版课标中的10个核心词和2017年版课标中的6个表现，对数学核心素养的具体表现这样阐述：数学的眼光在高中阶段对应数学抽象，直观想象;在初中阶段对应抽象能力，空间观念、几何直观;在小学阶段对应符号意识、数感、量感（新增加的），空间观念、几何直观。这里，小学阶段所提的前三个表现也是抽象的具体体现。数学的思维在高中阶段对应逻辑推理、数学运算，在初中阶段对应推理能力、运算能力，在小学阶段对应推理意识、运算能力。这里，小学时只要有推理的意识就行，在初中强调一下推理能力，到高中就要明明白白地说推理的形式，形式推理就是具有传递性的推理;但是，小学阶段对运算还是有能力要求的。数学的语言在高中阶段对应数学建模、数据分析，在初中阶段对应模型观念、数据观念，在小学阶段对应模型意识、数据意识。此外，还有超越数学学科的应用意识和创新意识。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

为了使核心素养的说法能够成立，我们改变了课程性质的表述，改变了“数学是什么”的表述。

“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”这句话保留了，说的是数学的主要研究对象。

“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系。”这个跟数学的眼光是对应的。

“基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。”这个跟数学的眼光、思维、语言全面对应。并且特别指出，数学不是帮助人们认识、理解和表达现实世界的任何事情，而是帮助人们认识、理解和表达那些具有本质性的关系和规律。

“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”数学也是一种语言，这是很重要的。因为语言承载着思想和文化，那么数学也能够承载思想和文化。因此，数学是人类文明的重要组成部分。这样的对数学的理解，是从伽利略和牛顿那个时代开始的。伽利略曾经感慨：宇宙这本书是用数学的语言来写的;如果不懂得数学的语言，那么我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。爱德文·阿瑟·伯特.近代物理科学的形而上学基础[M].徐向东，译.北京：北京大学出版社，2003：56。爱因斯坦这样评价：由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，他才成为近代物理学之父，事实上也成为整个近代科学之父。爱因斯坦.爱因斯坦文集（第一卷）[M].许良英，范岱年，译.北京：商务印书馆：1976：313。现代科学的发展，是因为用数学的语言表达了现实世界的规律。

三、 课程内容的结构与调整

我們强调了抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。抽象结构是什么？它是近代数学发展的一个很基础的东西，就是我们不仅要知道研究对象是什么，更重要的是知道研究对象的性质是什么、关系是什么、运算是如何展开的。这个观点是极为重要的。这个观点最早是亚里士多德提出的。他在《形而上学》中这样阐述：“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西……线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在，而是作为关系。”也就是说，抽象的概念存不存在本身不重要，重要是它们的关系。这一件事被希尔伯特说到了极致。他说：“欧几里得关于点、线、面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它们称为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，最终推理得到的结论都是一样

的。”康斯坦丝·瑞德.希尔伯特——数学世界的亚历山大[M].袁向东，李文林，译.上海：上海科学技术出版社，2001：90。因此，仅就概念教概念的教法是有问题的，教概念的同时，应当教它的性质、关系或运算。这是非常重要的。因此，螺旋式上升我是同意的，但是一次或一段教学中，光说概念是不行的，说了这个概念，就要谈谈它的性质、关系或运算。

集合是现代数学的基本语言，集合论的ZF公理系统是现代数学的基础。在集合的基础上谈顺序，就构建了数，数的本质是大小关系。数是对数量的抽象，数量的本质是多与少，那么，数的本质一并抽象出来就是大与小。因此，从基础的整数空间发展得到的实数空间（构建函数的基本空间）的本质也是大小关系。比如，给出分数的定义后，要比较大小;给出角的定义后，也要比较大小。还有，在大学里，度量是非常重要的，定义距离空间，比如欧几里得距离、希尔伯特距离;定义测度，比如，概率论主要基于两种测度，一种是计数测度，另一种是勒贝格测度。度量的集合是很重要的。还有一个是运算的集合，在大学里属于近世代数的研究对象。对基础教育来说，运算也是很重要的，就是知道研究对象之后，一定要知道研究对象的运算。特别是，我们说的数域跟运算有直接的关系，就是要保证运算（主要是逆运算）的封闭性。这样的话，减法使得自然数扩充到整数，除法使得整数扩充到有理数。中学阶段虽然讲了有理数和无理数之间的区别，并把它们统称为实数，但是没有解决实数的问题：第一，没有解决实数的运算问题;第二，没有解决实数的连续性问题。实数问题的解决是在大学阶段，是通过极限的定义解决了实数的运算问题和连续性问题。

基于抽象结构的思想，虽然课程内容的领域没有变，但是主题发生了很大的变化。在小学阶段，把数与代数领域的6个主题合并成2个主题（“数的认识”“数的运算”合并成“数与运算”，“探索规律”“式”“正比例”合并成“数量关系”——“常见的量”“负数”移到综合与实践领域，“方程”“反比例”移到初中），把图形与几何领域的4个主题合并成2个主题（“图形的认识”与“测量”合并成“图形的认识与测量”，“图形的运动”“图形与位置”合并成“图形的位置与运动”）。

所以，我们在2022年版课标里提倡“整体设计、分步实施”的教学规划，包括全年级的整体设计、全学段的整体设计、全校教师的整体设计，每一个教师都应当知道自己教学的位置，知道前后内容的联系。对应于核心素养的整体性、一致性和阶段性，要体现日常教学的整体性、一致性和阶段性。日常教学中的整体性，是指数学知识体系与相应的核心素养的整体性把握;一致性，是指从最初概念提出到最后实际应用的一致性教学;阶段性，就是要研究数学的知识是如何进阶的、核心素养是如何进阶的。最后，分步实施。这里只是提出一个想法，具体要研究的问题可能还很多，不详细讲。

现在，综合与实践领域增加了内容，主要是跨学科的内容，并强调小学以主题学习为主，初中尝试项目式学习。特别是，把“常见的量”“负数”内容以主题活动的形式设计在综合与实践领域。比如，“欢乐购物街”主题活动认识元、角、分;“时间在哪里”主题活动认识时、分、秒;“我的教室”主题活动认识上、下、左、右、前、后，认识东、南、西、北;“如何表达具有相反意义的量”主题活动初步认识负数。综合与实践领域还强调了传统文化，如“曹冲称象的故事”“度量衡的故事”“圆周率的故事”等主题活动。数学教学讲传统文化与其他学科教学讲传统文化是不一样的，要讲数学。比如，数学教学讲“曹冲称象的故事”，除了认识重量单位之外，还要讲“等量的等量相等”的道理、“总量等于分量和”的道理。这是曹冲称象的故事所蕴含的数学。在教学中，教师应该认真地思考这件事情。当然，其他领域也要重视传统文化，尤其是数学文化。比如，初中教学“方程”时，可以引入《九章算术》中很多好的问题。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

再讲一讲，在内容整合的基础上，要强调代数推理和几何直观。代数推理就是通过简单的归纳、类比得到初步的结论后，通过法则的运用，感悟从一般到特殊的推理过程。我在想，在小学能不能稍微加强说理？我一直关心这个事情，希望教材编写者认真思考。比如，我们讲了两位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘一位数，那么，三位数乘两位数的计算方法是不是可以让学生自己得到，让学生能归纳出一个算法。要进行这样的归纳，教材编写就应该注意了，过去只写竖式不写横式是不行的——上次我很认真地谈了这件事情，北师大版改过来了。横式是算理，竖式是算法。光讲算法不讲算理是不行的。比如，123×12這个乘法竖式的算理是这样的：123×12=123×（2+10）=123×2+123×10=246+1230=1476。12要按数位分解，因此，要用到分配律，能感悟化未知为已知的化归思想。算律决定算理，算理决定算法，这个思想非常重要。再如，在初中（甚至小学高年级）可以让学生尝试证明3的倍数的特征，感悟代数运算中的逻辑推理。

强调几何直观，就要增加尺规作图，以建立图形的直观感觉，培养空间想象能力。几何抽象的本质是什么？我想，应该是把三维的物体用二维图形表现出来。因此，几何的本质是二维和三维之间的关系。可见，在小学阶段进行尺规作图是必要的，能让学生感悟到抽象物体的存在。比如，同样长的线段除了能用刻度尺量出，也能用圆规量出。再如，给一条线段作出等边三角形，知道用圆规可以画出两条线段的交点。此外，在初中，要明晰尺规作图的教学思路——构思图形、设计流程、作图验证，强调执果索因的探索性思维。还可以通过尺规作图，在充分感悟的基础上，猜想三角形全等的条件。

最后再谈三件事情。

一是关于数学化的事情。2022年版课标明确要求：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识;感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：18。怎么实现数的概念的一致性和数的运算的一致性？也就是，怎么实现前面提到的弗赖登塔尔所希望的数学化？2022年版课标增加了一个计数单位的概念。计数单位是一种特殊的计量单位，是个数和顺序的计量单位，把它作为数学化（一致性）的抓手。怎么作为抓手？数的认识，不管是整数、小数还是分数，都是“多少个计数单位”的表达：对十进制的整数和小数，每个计数单位上的多少个要小于等于9个;对分数，如4/3是4个1/3，1/3是计数单位，这样的话，就解决了假分数的问题，要不然假分数永远说不清楚。比较大小和运算也是这样。比较大小应在同样的计数单位上进行，加、减运算也应在同样的计数单位上进行。因此，分数通分的道理是要得到同样的计数单位。这样的话，在算理上就一致了：无论整数运算、小数运算还是分数运算，都是这样的。乘、除运算是个数与个数运算得到新的个数，计数单位与计数单位运算得到新的计数单位。这一点可能需要较长时间的体会，这里不细讲了。

二是“方程”移到了初中。主要是两个原因。第一个是过去的小学数学教学讲方程没有涉及方程的本质：字母表示数的内容（课时）很少，因此学习简易方程时，容易认为只能用字母表示未知数，其实，表示未知数不是问题的本质。从算术变成代数是从韦达开始的，是从用字母表示方程中的系数，而不是未知数开始的——表示未知数古希腊就有。因此，用字母来表达性质、关系和规律是非常重要的。过去，“字母表示数”只有半节课——人教版教材最多，也不到一节课。现在则要求6节课、8节课，让学生感知通过字母得到的结论具有一般性，感悟数学抽象的层次性。第二个是过去引入的是简单方程，如5-x=2这样的方程，其实这样的方式是非常不合适的，因为没有让学生体会到学习方程的必要性。现在有一个基本原则，可能是未来教材编写、教师讲课必须遵循的，就是所有新的概念的引入和新的方法的引入，必须让学生体会到必要性，不是我教你，你就得学，而是我教你的是很有用的，所以你要学，要让学生有学习兴趣，就要让他们学习更有用的内容。因此，方程必须在用四则运算解起来非常困难的情况下（比如“鸡兔同笼”问题）才能够引入，从而让学生体会到引入方程的必要性。还有，这样的方程引入是不可以的，就是传统说的“含有未知数的等式叫作方程”这个定义是不成立的。因为数学定义必须是充分必要的，而2x-x=x这个表达是含有未知数的等式，但它不是方程，而是计算的结果，是传递性的结果。方程必须讲两个故事（或更多的故事），这两个故事中的量相等，因此，方程中的等号表示等量关系，而不是传递性。这样，才能让学生感悟模型思想。

三是“百分数”移到了统计与概率领域。这是适应信息时代、大数据的要求，引导学生建立数据意识、数字素养，因为百分数在大数据的处理中越来越重要。这样，传统的教学中，一个饮料中果汁含量的确定性的百分数，就要过渡到随机性的数据，比如投篮的命中率。而百分数的引入，有助于随机现象的决策。在现实生活中，随机现象的决策比确定性的决策应用更为广泛。因此，在小学阶段，学生多多少少要感悟一下对于随机现象怎么决策。具体如，要制订四年级学生跳绳的标准，怎么办？让学生跳，记下来，之后从少到多排队（对于数就是从小到大排队），通过准则制订标准：如果希望大多数学生短时间内都能达到，就可以定在25%或者50%（中位数）;如果希望大多数学生经过一段时间的努力才能达到，就可以定在75%。实际上，我国的“蓝天计划”就是这么制订的。此外，在初中阶段，引入了数据的分类。数据太大了怎么办？一个最简单的方法就是分类。这个思想在小学阶段就有渗透，到了初中再讲分类的原则和常用方法。

（史宁中，东北师范大学原校长，荣誉教授，博士生导师。义务教育数学课程标准修订组组长。）B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991