如何理解和把握作为核心素养的数学思维

摘要：当数学思维与数学眼光、数学语言一起以核心素养的面貌整体出现时，对数学思维的理解和把握，需要一个新的视角。相对于广义的数学思维活动，“三会”中的数学思维主要表现为推理。其最重要的一个意义是，让数学思维看得见也抓得住。推理的一般形式可以用符号语言表示为“P→Q”。推理过程中具体方法的运用决定了推理的具体形式。要从“思考现实世界”的需要出发，达成演绎推理与合情推理的相互协调。把统计推理纳入数学推理，是因为从育人出发，不同学科之间的界限没有那么重要。

关键词：核心素养;“三会”;数学思维;推理

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）相对于《义务教育数学课程标准（2011年版）》，最重要的变化是提出了“数学课程要培养的学生核心素养”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，统称“三会”（以下分别简称“数学眼光”“数学思维”“数学语言”）。其中，数学眼光和数学语言第一次在数学课程目标中直接出现——《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，“三会”只在课程性质、学业质量以及实施建议中出现。相比之下，数学思维一直都是数学课程关注的重点，是中小学数学教师熟悉的内容。而且，与数学思维有关的教学资源，包括文献和具体教学案例等，都比数学眼光和数学语言丰富得多。因此，当数学思维与数学眼光、数学语言一起以核心素养的面貌整体出现时，对数学思维的理解和把握，需要一个新的视角。这个新视角，不仅要有助于把以往关于数学思维的认识和经验引向“三会”中的数学思维，而且要有益于从整体上把握基于核心素养的数学课程目标体系。

为此，本文通过一些基础性的分析，在原有对数学思维理解的基础上，探讨“会用数学的思维思考现实世界”的新视角，并尝试厘清与之相关的主要问题。

一、 “三会”中的数学思维主要表现为推理

思维是包罗万象的人脑活动，通常所说的数学思维一般指广义的几乎也是包罗万象的数学思维活动。如，2001年以来，义务教育和普通高中各个版本的数学课程标准中提到过的数学思维活动就有：观察、猜想、直观想象、抽象概括、运算、推理、数据分析、验证、反思、描述、表达，等，几乎涵盖了抽象思维、形象思维、逻辑思维、直觉思维等所有基本的思维形式。

“三会”中的数学思维不是指这种广义的数学思维活动，这是由“三会”的特征决定的。

首先，“三会”是一个整体，三者之间互为支撑。例如，数学眼光的观察和数学语言的表达都离不开数学思维，同时，数学思维也要在“眼光”和“语言”拓展出来的空间中展开。这种互为支撑，意味着“三会”之间存在相互重叠的成分。正是这种“重叠”，反映了“三会”作为核心素养的整体性特征，使分别表述的“三会”体现出本质上是共通的育人要求。

同时，“三会”之间的重叠不是完全重合。正是重叠之外的部分的存在，反映了“三会”各自不可或缺的独特育人价值。数学课程要培育的学生核心素养，是“三会”，而不是“两会”或“一会”，就是由这些没有形成“相互重叠”的部分决定的。

“三会”的共通性和独特性是理解和把握“三会”的基础，也从结构上明确了“三会”中的数学思维不是泛指广义的数学思维活动。

根据2022年版课标中关于“三会”的表述，广义的数学思维活动中与“观察、直观想象、抽象概括”等相关的内容，已经主要对应于数学眼光;与“描述、表达”等相关的内容，已经主要对应于数学语言;而与“猜想、运算、推理、反思及数据分析”等相关的内容，才主要对应于数学思维，并且在本质上都属于推理的范畴。

事实上，虽然猜想看起来与“顿悟”有关，应该属于直觉思维，但是数学的猜想没有像“树上掉下苹果”发现万有引力那样的例子，诸如费马猜想（大定理）、四色猜想（定理）、“五次以上高次方程没有公式解”等著名的数学猜想，都不是源自天马行空的“顿悟”，而是有规律可循的，离不开持续、深入的推理及反思，表现为推理的结果。著名的数学猜想如此，数学课程涉及的猜想亦如此。而数据分析的意義，在于理解随机现象和用数据讲道理，本身就是统计推理。

由此，2022年版课标把“三会”中的数学思维表述为“主要表现为运算能力、推理意识或推理能力”中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：6。。其中，运算本质上就是演绎推理史宁中.数学思想概论（第3辑）：数学中的演绎推理[M].长春：东北师范大学出版社，2015：101。，而且，2022年版课标中也使用了“代数推理”的提法，所以，运算也可纳入“推理”的范畴。在这个意义上可以认为，“三会”中的数学思维主要表现为推理，推理集中反映了数学思维的共通育人要求和独特育人价值。

相对于广义的数学思维活动，“主要表现为推理”就是理解和把握作为核心素养的数学思维的新视角。

二、 与推理有关的基本概念辨析

“三会”中的数学思维侧重于推理，使关于推理意涵的理解显得重要起来。

虽然数学教育教学的运行离不开推理，但在应试导向的教学实践中，往往会倾向于如何“高效”地将学生塞进由具体策略、手段或方法构成的条条框框中，导致推理的教育意义很难在这种依赖被动接受的“条条框框”中生长。至少在基础教育阶段，类似把证明等同于推理等“只见树木，不见森林”的认知比较普遍。作为“三会”中的数学思维主要表现的推理，仍是一个听起来熟悉，实际上陌生的概念。

为此，有必要对推理的认知做一些基本的澄清，对推理有关的若干基本概念做一些简要的分析和说明。

（一） 关于推理的形式

推理是一种思维活动形式。在教学实践中，关注的焦点往往是具体的推理过程和方法，涉及的推理问题也都非常具体，而对一般意义上的推理形式问题关注不多。在“三会”中的数学思维主要表现为推理的视角下，具体的数学思维活动都应该在推理的框架下展开。因此，对推理形式的认知，以及对推理一般形式和具体形式之间关系的把握等，已经成为理解和把握“三会”中的数学思维的一个重要前提。

1. 推理的一般形式

在一般意义上，推理表现为“如果P，那么Q”或“因为P，所以Q”这样的关于前提与结论之间逻輯关系的思维活动。所有这样的具体思维活动，都可以用符号语言表示为“P→Q”（仍然读作“如果P，那么Q”）。其中，P表示前提，Q表示结论（或称P是前件，Q是后件）。P和Q的属性不限，可以是社会、经济、文化和生活中的事件，也可以是科学和数学领域的概念和命题;可以简单（不能再分解），也可以复杂（能进一步分解）。对它们的“硬性”要求只有一个，就是能判断真假。

如果P和Q是与数学有关的命题，P→Q就是“三会”中的数学思维所侧重的推理形式。这个简洁明了的形式概括了数学领域中所有的因果关系，数学思维活动就是围绕P→Q展开的。它是纷繁复杂的具体推理问题的本源，也是“会用数学的思维思考现实世界”的基础。认识P→Q的意义，意味着改变“只见树木，不见森林”认知局面的开始。

2. 推理的具体形式

P→Q是一般的推理形式，而P和Q之间是否存在因果关系需要通过相应的方法确认。推理过程中具体方法的运用决定了推理的具体形式。

对广义的P→Q，P和Q之间的因果关系是通过逻辑演算方法确认的，属于数理逻辑的范畴，义务教育阶段没有涉及。

义务教育阶段数学课程中的P和Q都是具体的命题，判断它们之间是否存在因果关系，需要通过与它们所在学段和学习领域相关联的具体方法确认。推理的具体形式就由这样的具体方法决定：如果是根据学生的直接经验，如较低学段从观察、实验等方法出发的“找规律”等，就称为经验推理;如果是从探究、论辩或论证出发的归纳，就称为归纳推理;如果运用的是演绎法，就称为演绎推理;等等。这几种推理形式的学科属性不强，数学课程的所有学习领域都可以用。而有些推理形式则有较强的学科属性：如果推理是通过运算进行的，就称为算数推理或代数推理;如果推理是借助图形直观展开的，就称为直观推理或空间推理;如果推理运用的是数据，就称为统计推理（或推断）;等等。

总之，以P→Q为基础，不同推理方法的运用产生了不同的推理形式，它们都沿着P→Q的方向，以言之有理并步步有据的方式推进。伴随着推理方法的多样性，推理在具体形式上是比较开放的。

由此可以看出，“证明等同于推理”的说法显然不能成立，因为无论对“证明”采取多么开放的态度，也代替不了与“找规律”有关的经验推理，更与借助空间直观、数据等进行的推理无关。证明只是众多推理方法中的一种，如果把证明等同于推理，实际上是大大地压缩了推理的思维空间，有可能影响甚至限制学生数学思维的健康发展。

关于推理形式方面的要求，其实是不直接见诸中小学教材内容的。之所以专门讨论这个问题，一方面是由于这个问题本身的意义，另一方面是当“三会”中的数学思维主要侧重于推理时，澄清与推理有关的概念，有助于拓展推理在数学课程中的空间，可以避免由“证明等同于推理”产生出如“数学思维侧重于证明”这样的认知。“三会”中的数学思维是从广义的数学思维活动向推理的聚焦，彰显了数学思维的共通育人要求和独特育人价值。这里的“主要表现”或“侧重”与单一、逼仄无关，而指向一片以P→Q为主题，充满探索、发现、严谨、求实，能促进学生大脑健全发育的丰富多彩园地。

（二） 关于演绎推理与合情推理

与之前版本的课标相比，2022年版课标中关于推理的表述有变化，“演绎推理”和“合情推理”这两个词几乎没有出现，与之相关的场合都统一使用“推理”一词，没有刻意地区分。这个变化反映出，“三会”中的数学思维结合义务教育的学段特点，首先关注的是推理的普遍意义。为了理解这个普遍意义，要从分析演绎推理和合情推理的功能开始。

虽然推理形式比较开放和多样，但必须清楚的是，推理形式本身与推理结果是否成立之间一般没有必然的联系。因为无论何种推理形式，只有一种情况下的推理结果是必然成立的：对于一个推理形式P→Q，如果在讨论问题范围（论域）内，对每一个对象或元素，都有如果P成立，那么Q就一定成立，或者说如果P是真的，那么Q就一定是真的，则P→Q是一个必然性（或确定性，或可靠性）推理，其结论普遍成立。我们熟知的许多推理形式，如归纳、类比等，就不满足这样的要求。例如，当二次、三次、四次代数方程都找到了公式解法时，可以用归纳法推出“五次方程也有公式解法”。这里虽然合理地运用了归纳推理，但是结论并不成立。这一例子说明，形式上的合理并不能保证结果的可靠。这是关于推理问题的一个基本认知。

1. 演绎推理是必然性推理

运用演绎法的推理称为演绎推理。演绎法就是通常所说的“三段论”，也就是首先要证明A是成立的，接下来证明A→B是成立的，那么B就成立了。在教学中会把这种方法称为从一般到特殊的方法。三段论有许多等价形式，在教学中也会用不同的称谓来区分这些等价形式，如分析法、综合法等，这里就不一一列举了。

所有可能的数学推理形式中，只有演绎推理是必然性或确定性推理，即只有演绎推理的结果是一定成立的。其他任何形式的推理结果，都可能成立，也可能不成立，即推理结果是不确定的，或者说推理结果是或然的。因此，如果要确认一个结论是成立的，就只能用演绎推理。

为了有所区别，2001年以来，数学课程标准把演绎推理之外的推理形式统称为合情推理，即数学推理的整体结构为“演绎推理+合情推理”。这也是目前2022年版课标中“推理”一词的含义。

2. 演绎推理与合情推理的关系

比演绎推理与合情推理的内涵更重要的是它们之间的关系，可从两方面分析这种关系。

一方面，演绎推理虽然可靠，但只是根据已知命题，确认一个新命题成立的推理。虽然在推理过程中也可能产生提出新概念、开发新方法的需求，存在进一步发现问题和提出问题的可能，但仅就推理的结果而言，因为都是已知的，所以只是确认了一个已知命题的真伪，与发现新命题没有关系。合情推理虽然是或然性推理，但几乎都是为发现一个新事物（现象、事件）或提出一个新命题而发起的。虽然它们推出的结论是或然的，甚至可能推不出什么像样的结果，但数学和科学领域的开疆拓土、创新发现往往都与合情推理提出的猜想、假设有关。所以，数学课程标准已经把合情推理视为引导学生数学“再发现”所遵循的一个基本途径。

另一方面，合情推理遍布于基础教育的许多学科，不为数学课程所独有。也就是说，在数学课程之外，学生也多少会受到合情推理的熏陶，只不过机会没有数学多，程度也没有数学强烈。演绎推理在基础教育其他学科中只是零星地出现，系统的演绎推理在基础教育阶段仅存于数学课程。加之演绎推理在培育思维严谨性方面的显著作用，所以表现为推理不可替代的教育价值。

从以上两方面的分析可以看出：如果想给学生的思维插上发现的翅膀，合情推理必不可少;如果想让学生的思维严谨扎实，演绎推理不可或缺。演绎推理和合情推理在育人价值实现方面各有所长，缺一不可。如果没有合情推理，数学思维就会失去开放和灵活;如果没有演绎推理，数学思维就会失去自信和专注。如果想要两者兼得，就一定要赋予演绎推理和合情推理同等重要的思维教育使命。因此，2022年版课标没有刻意区分演绎推理和合情推理，而是注重平衡推理反映的开放、灵活与自信、专注之间的关系，并且在事实上给出了一个使两者相互协调、成为一体的标准——“思考现实世界”。在义务教育阶段，无论是演绎推理还是合情推理，无论是开放、灵活还是自信、专注，能否相互协调、熔入一炉，归根结底，要由“思考现实世界”的需要决定。如果现实需要探索发现，就一定要开放、灵活;如果现实需要求真务实，就一定要自信、专注。从“思考现实世界”的需要出发，达成演绎推理与合情推理的相互协调。

（三） 关于统计推理

虽然统计推理的说法在教学实践和研究领域已经被广泛使用，但是统计推理与前面提到的演绎推理、合情推理其实是不一样的推理。“不一样”主要表现在三个方面：

一是对象不一样。数学的推理，一般是对命题之间的逻辑关系而言的，对象是命题。而统计的推理是就数据的获取与分析而言的，对象是数据。

二是目标不一样。数学推理的目标是为了确认或提出一个事实。而统计推理的目标是对一个未知事件发生的可能性作出预测。

三是结果不一样。数学推理的结果是一个命题的成立与否，是一个纯客观的结果。统计推理的结果是对一个事件发生可能性大小的估计，是一个相对主观的结果。在专业的统计科学领域里，称这种结果为推断。这个“断”字，在汉语里反映的就是人的主观性。

显然，这个“不一样”几乎是完全不一样。

虽然在学科领域里，统计和数学的研究对象和方法论都不太一样，但它们又同时在方方面面深度地相互融合与借鉴。这一点在中小学数学课程领域尤为明显。以百分数为例，百分数既是一个有理数，又是一个“率”，还是一个作为统计推理依据的统计量。百分数反映的这种数学和统计你中有我、我中有你、紧紧“抱”在一起的状态，就是基础教育阶段把数学和统计放在一起的重要原因。特别地，在“三会”中的数学思维侧重于推理的框架下，它们都是在现实世界从已知探索未知的过程中，有条理、合规矩、言之有理且步步有据的思考。把统计推理纳入数学推理，虽然在学科意义上不够严格，但在核心素养的共通育人要求和独特育人价值面前，不同学科之间的界限真的没有那么重要。

三、 “三会”中的数学思维主要表现为推理的现实意义

对“三会”中的数学思维主要表现为推理的理解和把握，在数学教材建设、教学实践、学习方式、评价策略等方面都有广泛的现实意义。每一个方面都值得专门论及。限于篇幅，本文仅指出笔者认为最重要的一个意义：让数学思维看得见也抓得住。

数学思维，不仅提法为大家所熟悉，而且被关注的持续时间长，讨论的范围也相当广泛。正因为熟悉和广泛，所以中小学与数学思维有关的话题难免有些五花八门，包括一些来源并不清楚、依据也不扎实的某某思维、某某思想等内容不胜枚举。其实，无论教师还是学生，对这些思维、思想大多是懵懵懂懂的。这种随意性很容易造成数学思维听起来熟悉、实际上陌生的结果。如果在不清楚的情况下，盲目地照抄照搬，很可能就只剩下“对、快、准”是硬道理了。

所以，把握“三会”中的数学思维的新视角，有助于在思考数学思维问题时，有意识地聚焦推理，把教学过程中涉及的数学思维活动，包括运算和数据分析等，都放在推理的框架下，与现实世界的需要联系在一起，有条理并言之有据地展开思考和实践。那些来源并不清楚的某某思维、某某思想等令人眼花缭乱的说法，也有可能在这样的过程中被过滤掉。由于推理形式的丰富性，推理的表现仍然有可能五花八门，但“五花八门”中的数学思维能被看见也被抓住。能“看见”和“抓住”的推理才能作为一种思维方式，逐步伴随学生走进未来的职业和生活，提高他们作为未来公民的理性思维水平。

之所以仅指出这一个意义，是因为笔者认为这个意义对数学教师以“三会”为目标开展教学实践是最重要的。对课程改革的理念和目标，相信教师是普遍“看得见”的。但对课程改革的具体要求，可能“抓不住”的现象就会多一些。广义的数学思维本身确实有些难以“抓住”，不过“三会”中的数学思维侧重于推理，这个相对具体的聚焦增加了“抓住”的可能。如果能进一步对推理的形式及不同推理形式之间的关系有所了解，对推理的共同要求和独特价值有所把握，就逐步在自己“抓住”的基礎上具备了指导学生“抓住”的可能。例如，当学生在推理过程中遇到挑战时，如果教师能够意识到原因可能并不在于他们专注与否，而在于这个对象或内容与他们的现实生活没什么关系……并随之在教学引领方面作出调整等，就是“让数学思维看得见也抓得住”所希望的样态。这样的教学实践，一定能转化为培育学生核心素养的营养。

总之，本文的目的是分析和探讨如何理解和把握“三会”中的数学思维方面。其中，与推理相关的文字表述本来在数学领域里应该是要求最严格的，本文采用的简明表述方式恐有失周延。好在确切的表达可以在许多文献中查到，希望不至有大的纰漏。（孙晓天，中央民族大学，二级教授。北京师范大学中国创新教育研究院数学学科首席专家，国家教材委专家工作委员会委员。义务教育数学课程标准修订组核心成员。）