浅谈反例在小学数学教学中的应用

摘 要：在新时期教学背景下，教师不仅要关注学生是否“学会”，还要关注学生是否“会学”，是否具备举一反三、逆向推理的能力。特别是在小学数学教学中更应如此，教师要善于通过反例的“证伪”功能，证实数学定理公式的不可推翻性，以此加深学生对知识的认识，掌握逆向的思维思考方法。在本文中，笔者将就反例在小学数学教学中的应用做了简要的分析，希望能够为广大教师提供一些借鉴和帮助，仅供参考。

关键词：反例;小学数学;教学应用;数学概念

中图分类号：G62          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2022）20-0050-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.20.017

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确提出“要培养学生寻求证据、给出证明、举出反例的能力”，因此反例在小学数学教学中具有重要的价值。反例是鉴别假命题的常用工具，通过反例可以深化概念、纠正错误，还可以促使学生的创新思维能力得到有效培养。在今后的教学过程中，小学数学教师要善于运用反例教学，以此提高学生的思维能力。

一、反例在小学数学教学中的作用

长久以来，在小学数学教学中有很多教师只注重正向推导，却很少关注反例的运用。其实，反例在数学教学中具有重要的运用价值，主要体现在以下几个方面。首先，反例能够帮助学生深化知识概念。数学概念是数学结构的逻辑起点，同时也是学生学习新知识的前提和基础。对于数学概念的学习，若只是用证明的肯定例证，学生往往很难深刻地把握概念的本质，而反例具有“证伪”的功能，若是引入反例去帮助学生对数学概念的非本质属性进行“净化”，这一定可以促使学生对数学概念有更加深刻的认识。其次，帮助学生纠正错误，发现问题。数学是一门对学生逻辑思维能力有较高要求的学科，因此学生经常犯错，但又不明白自身犯错的原因，重復犯错。而反例在错误辨析上具有简单、明显、说服力强的优势，在教学过程中教师若是能够有效地列举反例，就能最大限度地帮助学生发现错误原因[1]。最后，有助于学生创新思维品质的培养。一直以来，在小学数学教学中，无论是教材的编制还是教师的讲解都是从正面的陈述出发，而这在不知不觉中使得学生养成了固定的思维模式，只会正向思考一些数学问题，而不会逆向寻求思路，而反例在小学数学教学中的应用打破了传统的思维定式，成为培养学生创造性思维品质的有效途径。

二、反例在小学数学教学中的应用

（一）把握有效运用反例的时机

反例在小学数学教学中具有重要的运用价值，但却并不是在所有的教学时刻都适用的，教师要想充分发挥反例的优势和价值，需要准确把握运用反例的时机，以此提高教学的效率。对此笔者提出了以下几个方面的建议。

第一，当学生不能全面感知知识时应用。在小学数学教学中，学生不可避免地会学习到一些内涵较为丰富的数学知识，而这对于抽象思维能力较差的小学生而言是存在一定困难的。常规的教学方法难以帮助学生全面感知知识内涵，此时就是教师列举反例的最佳时机，可以通过反例的运用帮助学生净化概念中非本质属性，从侧面凸显知识潜在的本质属性，以此实现对知识属性透彻分析，从而加深学生对知识概念的把握。首先，教师应该深度明确数学教学的动态化特性，同时学生对数学知识的体验深度和生成状态也具有较强的动态性。基于此，教师要想顺利启动学生数学探究思维的迸射闸门，就应该密切关注在数学教学流程推进过程中学生的生成表现。如果学生的生成状态较为活跃，能够在基础性数学知识中自主发现新问题，就代表学生对数学知识的输入效果较好，这时教师可以暂缓反例的运用;如果学生的生成状态较为僵硬，对教师启发引导教学的积极情绪反应不足，则代表学生在感知和输入数学概念知识时出现了思维阻滞，那么教师必须抓住时机，迅速跟进反例教学，提升学生数学建模能力和逆向思维能力的灵活性，消除学生对数学模型的非理性认识，从而实现教师在数学教学中对有效运用反例时机的科学把握。其次，在学生无法自主全面感知数学知识时，教师还应该善于借助反例为学生搭建思维跳板，引导学生借助反例分析梳理数学模型的来龙去脉。这样一则可以锤炼学生的迁移变式能力和逆向思维能力，二则也能顺利消除学生数学模型中的非本质属性，从而促进学生对数学概念理性理解能力的横向和纵向拓展，体现教师对反例运用时机的精准把握。

第二，当学生认知活动受旧知识影响时应用。新知识与旧知识之间具有相互联系的特点。学生的新知是建立在旧知联系基础之上的，而且旧的知识是新知识学习的延伸和拓展点，这也是学生学习的一种规律特性。而也正是因为学习的这种特性，学生在学习新知识时很容易受到过往知识规律的影响，从而造成学生出现知识混淆。此时，教师就可以通过列举反例的方式，帮助学生澄清知识间的区别和联系，这样不仅可以避免学生的认知活动受旧知识影响，还可以使学生立足于旧知识，更好地感知新知识[2]。学生数学认知活动受旧知识影响主要有两种表现：一种是学生的认知能力局限在旧知识经验之内，在领会新知识的过程中遭遇思维屏障;二是学生在同时吸纳掌握新旧知识点之后，在拓展训练阶段混淆新旧知识的本质属性，这些思维矛盾如果得不到妥善解决，学生数学知识体系的构建以及理性思考能力的发展势必会受到不利影响。教师在针对以上情况运用反例时，应该着重开发反例教学的思维引领功能，借助反例使学生体验到数学概念的广泛性和开放性，帮助学生解除认知活动的限制，通过常规教学和反例引导促使学生自主明晰新旧知识之间的关联点以及异同之处。这样，学生的旧知识基础可以得到有力巩固，对于新知识的吸纳效率也不再受限，还能顺利领会类比、分类讨论、归纳推理等数学思想。这些都有助于反例教学功用最大限度地发挥出来。

第三，当学生受思维定式消极作用干扰时应用。学生的思维消极作用主要体现在问题发生变化时，学生不能发现新旧问题的区别，而是用自己惯性的思维去思考问题，从而导致学生陷入解题的瓶颈当中。而此时教师就可以通过运用反例的方式给学生的思维以冲击，以此引导学生从本质上看问题，突破原有的思维定式，这种反例运用时机的把握可以更好地提升学生思维的灵活性。

第四，当学生迷惑不解时应用。数学是一门对学生逻辑思维、理性思维有较高要求的学科。学生在学习的过程中不可避免地出现各种困惑不解的情况，处于一种似是而非、似懂非懂的状态，而此时也是教师运用反例的最佳时机。教师可以通过反例帮助学生排除错误知识，解决学生的思维困扰，促使学生的思维更加警觉、思路更加清晰，带领学生走出数学学习的困惑状态。

第五，当学生不能自觉预防、改正错误时应用。小学生由于思维认识不全面以及对知识的负移动，经常会出现各种各样的错误。但是这些错误通过正面检查的方式往往难以发现，而反例的运用可以帮助学生更好地预防错误并改正错误。如教师可以通过反例为学生提供更有说服力的预防错误的方法，让学生在反例当中对自身的错误有更加深刻的认识，从而有效地改正错误，避免再犯同样的错误。首先，教师在基于学生数学学习错误作为反例运用时机时，必须先优化自身对学生错误的认识，不要将学生的错误视作棘手的教学矛盾，而是将其看作一种高质量的教学资源，将错误资源和反例教学有机整合，具象直观地为学生呈现逻辑思维错误，使学生一针见血地明确错误根源，这样不但可以使学生的自主纠错、改错能力得到强效训练，也可以使反例在数学教学中运用的科学性和精准度得到大幅提高。其次，教师在学生不能自觉预防、改正错误时运用反例，还应该加强优化反例的运用流程。以往教师都是先点明、纠正学生的错误，再跟进反例解析，这个过程中学生的思维发散大部分还是依赖教师，自主探究意识并未得到充分激活，而在全新的反例运用模式下，教师不妨尝试先实施反例教学解析，鼓励学生利用在反例中收获的知识经验自主纠察数学探究中存在的错误问题。这样一则可以开采和激扬学生的智慧潜能，二来可以强化学生自主纠错、改错以及预防错误的意识和能力，从而激发学生的反思精神，借助有效的反例打破滞后的小学数学教学格局。

（二）掌握有效的反例构造方法

在小学数学教学中，有时反例的运用要比正例更加具有说服力，但运用反例需要扎实的数学基础和丰富的联想做支撑，若是不能做到这一点，不仅运用效果会大打折扣，甚至还会起到适得其反的作用。基于此，笔者对几种反例的有效构造方法做出了相关介绍研究，希望能夠为教师同仁提供一些建议。

第一，通过寻找恰当的特例构造反例。通过特例而构造反例，是小学数学教学中最常见的一种反例构造方式。如在讲解一些相似的知识概念时，学生往往很难辨别，而对于这种情况，教师就可以通过列举特例，通过一个最直接的差异特征构建反例，帮助学生了解知识之间的异同，促使学生对知识概念有更加深刻的辨别认识。

第二，利用极端情况去构造反例。在小学数学教学中，教师还可以利用一些极端情况去构造反例，如分母为零、三角形中的直角三角形等等。这些极端而又具有特殊性的反例能够使学生对数学概念和定理有更加深刻的记忆。

第三，通过直观几何图形构造反例。小学数学教学中，教师还应该树立数形结合的教学观念，通过直观的图形与抽象的定理之间的有效结合，促使学生对知识产生更加深刻的认识，而这也是教师构建反例的一种有效方式。如教师可以通过画图的方式将反例直观清晰地表现出来，以此更好地提升反例的清晰直观性，并助力学生形成数形结合的思想。

第四，通过分析命题中的隐含条件构造反例。以往在学生解题过程中，常常有很多隐藏的条件容易被学生所忽略，并因此而造成解题思路判断上的错误[3]。对此在列举反例的小学数学教学中，教师就可以通过分析挖掘题目当中的隐含条件带领学生列举反例，并做出正确的判断，以此更好地培养学生的审题能力，并促使学生的解题能力得到更好的提升。

第五，在逐步逼近中构造反例。这种反例构造方法主要是指在带领学生分析数学命题时先找出反例的所在范围，通过将范围逐渐缩小、逼近，直至最终靠近目标，从而构建出最佳的反例。这种反例教学方式可以帮助学生化解直接接受反例的困难，促使学生更有效的接受知识。

第六，通过析取法的运用构造反例。析取法主要是指在理解基础知识的前提下，通过抓住数学定理、公式、法则成立的前提条件以及其正确命题中容易忽视的隐藏条件，以此来构造反例。即挖掘定理中的一些“假命题”来实现反例的构建，以此加深学生对公式定理的认识，提升学生数学学习的深刻性。

（三）明确反例教学应注意问题

在小学数学教学过程中，教师若是能够有效地运用好反例，就能实现事半功倍的教学效果，但反例的运用也是一项极其深奥的教学艺术。在实际运用的过程中有很多事项需要注意，教师只有明确反例教学应注意的问题，有效规避运用反例的误区，才能更好地为学生的数学学习提供动力。对此本文做出以下研究探讨。

第一，不能过早进行反例教学，避免主次颠倒。在教学的过程中，小学数学教师必须认识到反例虽然在教学当中具有重要的应用价值，但是反例不能够代替正例教学，仍应以正例教学为主，要在正确解题的训练当中适当地运用反例，避免反例与正例的运用主次颠倒。若是先给学生错误的示范，然后再为学生讲解正确的解题方法，这很容易导致学生发生认知错乱，分不清哪个是正确的、哪个是错误的，反而会对学生的学习造成干扰。因此，在教学过程中不能够过早使用反例进行教学，这是教师必须把握的注意事项。

第二，不能过于强调使用反例，避免为学生造成心理压力负担。在运用反例的小学数学教学中，教师还应该认识到学生之间是存在个体差异的，不同学生的素质能力、接受能力各有不同，因此对于新知的接受和体会也存在着很大的差异。如部分接受能力比较差的学生在运用反例时就很容易受到错误命题的干扰，而淡化对之前所学判定定理的认识。因此在实际教学过程当中，教师不能够一味地要求所有的学生都使用反例、接受反例，这样会使学生产生较大的心理压力，学习情绪变得烦躁不安，导致教学效果适得其反。教师只有结合学生的实际情况恰当地运用反例，才能够更好地保证反例的有效性。这也是在今后小学数学教学中，教师运用反例需要注意的问题。

三、结语

反例作为鉴别假命题的常用工具，具有“证伪”的功能，在小学数学教学过程中具有重要的作用价值。本文笔者从运用反例的时机、反例的构造方法以及反例的注意事项几个方面出发，探讨了反例在小学数学教学中的应用，希望能够帮助教师更好地提高运用反例的教学能力，以此更好地助力学生数学学习效果的提升。

参考文献

[1] 黎珍.反例教学在小学数学课堂的巧妙应用[J].学苑教育，2020（10）：56.

[2] 成义森.浅谈小学数学教学中反例的应用[J].内蒙古教育，2019（36）：58.

[3] 罗静晓.“反例教学”在小学数学课堂中的运用[J].基础教育课程，2017（20）：54.

作者简介：章顺才（1980.4— ），男，汉族，甘肃民乐人，一级教师，研究方向：小学数学教学。