一阶微分方程的初等解法及应用

周灵睿

摘 要： 随着常微分方程在实际生活中变得越来越重要，因此研究常微分方程的解题方法变得十分必要.本文主要介绍一阶微分方程的初等解法及其某些实际应用，初等积分法是一阶常微分方程最基本的解法，它主要在于把求解问题向积分问题转化，求解的表达式由初等函数或者超越函数表示，而能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.本文就一般的可积方程进行归纳，由抽象到一般，总结出具体规律.

关键词： 一阶常微分方程 初等解法 教学应用

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：dy/dx+P（x）y=Q（x）（因为它对于未知函数及其导数均为一次的）.

如果Q（x）恒等于零，则方程称为齐次的；

如果Q（x）不恒等于零，则方程称为非齐次的.

一阶微分方程的解法技巧性很强，下面我将介绍一些简单的方法和其应用，如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.

一、分离变量法

如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：

五、伯努利方程

像+P（x）y=Q（x）y这样的方程我们称之为伯努利微分方程，令u=y，有du=（1-n）ydy，代入得到+（1-n）P（x）u=（1-n）Q（x），下面的解法就与齐次微分方程一样了.

六、结语

一阶常微分方程的解法就是把微分方程的求解问题转化成为积分问题.然而对于给定的常微分方程，未必都恰好是本文所介绍过的几种类型，因此，在解一阶常微分方程时，不仅要准确判断它属于哪种类型，还需要注意解题技巧，再根据方程本身的特点，引出变换，将方程转化为我们所能求的类型.

参考文献：

[1]伍卓群，李勇编.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

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