初中数学习题二次开发与利用策略的研究

余亚明

【摘要】教学中，我们如果对数学习题只进行一次性使用，这样就不能最大化地发挥这些习题的作用，要发挥它们的全部作用就需要对它们进行二次开发.教材上的习题具有二次开发的价值，这些习题能够使得所学新知识得到综合性的运用.

【关键词】习题; 二次开发;思维拓展;变式教学

在“双减”背景下，通过大量的习题训练来培养学生的解题能力，这种增加学生负担、高耗低效的教学方式显然是行不通的，我们可以通过对教材上的习题进行二次开发来寻找一种低消耗、收益更高的方法.教师可采用一题多用、多题重组的方法，这样能充分唤起学生的好奇心和求知欲，调动他们积极参与到学习中来，化被动为主动，激发学生產生学习的兴趣和热情，使学生在对知识进行全面、深刻理解的同时进一步掌握知识，思维品质也获得更好的发展.

对数学习题的二次开发利用可以从以下几种不同的角度进行：

◆多题一法，培养学生的建模思想

建模是数学学习的重要内容之一，这就要求教师能利用建模思想，从教材中寻找典型的、具有代表性的题目进行研究、归纳和提升，使这种题型成为解决类似问题的模型.例如，在刚学“解二元一次方程组”时的思路是“消元”， 教材上提供了方程组x+y=10，2x+y=16，，教师先由实际问题引导学生了解y可以用10-x表示，这样第二个方程就可以表示为2x+10-x=16，这样二元一次方程就转化为了学生熟悉的一元一次方程，解出x，进而就能得出方程组的解，这样把未知数由多变少，逐个解决的思想就是“消元”的思想.再如，在“解分式方程”时的思路是“转化”，教材上提供的例题分别是：解方程2x-3=3x和xx-1-1=3（x-1）（x+2），显然，这里提供了最基本的两个方程作为例题，让学生通过去分母、去括号等方法完成从分式方程到整式方程的转化，这是解分式方程的主要思路.因此，我们在对教材进行二次开发时，应当秉承这一思路，即强调建模的思想，学生掌握了解决问题的模型，然后模仿进行编题，学生会编题了，那么解决这一类型的题就自然而然了.

◆一题多用，培养学生的思维能力

教材所选题目都是非常经典的，我们要善于对教材中的题目进行开发利用，可以从以下几个角度进行.

一、一题多解，让学生的思维更发散

不同的人思考问题的角度、途径不尽相同，学生在解决问题时有了一种方法，惯性使然，他不会再停下来去思考其他方法，因此，教师要引导学生从不同角度、用不同的论证方式去思考问题，探求不同的解决方案，这样就能拓宽学生的思路，多方向发展他们的思维，培养他们思维的发散性.

例如：引导学生观察方程组x+y=102x+y=16中，两个方程中y的系数有什么关系？利用这个关系，你能得到不同于前面的方法解这个方程组吗？这样学生就会不拘泥于一种方法解题了.

例如：四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F.

求证：EF=ED.

笔者做了一定的调查，发现多数学生都是习惯以下解法.解法1：如图2所示，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，利用正方形中AC平分SymbolPC@BCD得EP=EQ，再证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED.

这时教师适当引导学生思考：从EF⊥DE的角度出发还能想到什么？学生就会想到以下两个论证的方法：

解法2：联想“K”型全等，如图3所示，作EM⊥AD于点M，延长ME交BC于点N，利用正方形中NE=NC=MD，再证明Rt△EDM≌Rt△FEN，得到EF=ED.

解法3：由四边形内角和易得SymbolPC@EDC=SymbolPC@EFB，如图4所示，连接EB，利用正方形中SymbolPC@EDC=SymbolPC@EBC，从而得出EB=EF，再由正方形中EB=DE，得到EF=ED.

二、一题多变，让学生的思维更灵活

一题多变其实就是变式教学，一题多变可以将条件改变，结论保留;也可以将条件保留，结论改变;或者由于题目的需要将条件和结论同时改变;也可以将已知条件和结论进行对换.变式变换了习题的形式，而题目所蕴含的本质不变，所以变式教学更多的是要引导学生去探寻变化中的不变，从而揭示问题的本质，它需要学生在原有思考问题的方法上加以拓展进行思考才能解决.教师用这种方式进行教学，能使学生根据变化了的情况积极思考，想方设法寻找解决的办法，从而培养思维的灵活性.

例如：如图5所示，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.

若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长.

本题解法是：取BD的中点P，构造三角形的中位线，得到直角三角形PEF，以及两条直角边，从而得出EF的长.

教师若对此题多做一些变式，既能培养学生的探索精神，又能提高学生的创新能力.

探索一：将题目中的条件“∠ABD=30°，∠BDC=120°”去掉，关于EF的长你能得出什么结论？并给予证明.

探索二：延长BA、CD，分别于FE延长线交于点G、H，如图6所示，你能判断∠BGF与∠CHF的大小关系吗？

这样的变式教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维.

三、一题多思，让学生的思维更深远

牛顿说过：没有大胆的猜想就做不出伟大的发现.中学生具有非常丰富的想象力，因此，教师可以通过相关题目的特点，鼓励、引导学生大胆猜想，让学生的思维更深远.

例如：如图7所示，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.

求证：OE=OF.

进一步思考：直线EF是否将平行四边形ABCD的面积二等分？若是，请说明理由.

拓展应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图8所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点P，请你作图帮助张大爷把地分开.

引導学生思考：

1.在题目的解决过程中，解题的关键是什么？

2.通过上面的研究，如果要将平行四边形的面积二等分，直线需要满足什么条件？

3.通过这道题，我们获得了怎样的解题体验？

一题多思让学生的解题思路更深远，从而培养了他们遇到问题时的应变能力.

四、注意迁移，让学生的思维更全面

初中数学中有很多题目，表面上看起来形式不一，但仔细分析，我们可以发现，它们在本质上是一样的，或者说通过转化，它们的实质相同.所以教师可以把它们归结为用同一种方法解答，把这样的题放在一起让学生做比较，可以使学生透过现象看本质，让学生的思维更全面.

例如：（1）如图9所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：AF=BE.

（2）如图10所示，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等并说明理由.

以上两题从表面上看并不相同，但实际上它们的本质相同，教师引导学生经过对比可以发现：将图10做平移变化为图11，然后根据平行四边形的性质和（1）中的结论即可解答本题.所以教师在平时的教学中要引导学生善于捕捉题目中的有关信息，认真比对，对相通的知识形成体系，不要出现“只见树木不见森林”的现象.

◆反思升华 培养学生的数学素养

日本著名数学教育家米山国藏说过：学生对作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益.

数学的学习过程就是一个积累、运用和内化的过程，在学习过程中，反思尤为重要，它能让学生更深入理解和掌握学习内容，通过反思，学生才能真正启动思维，思想才能得到升华.作为组织者、引导者的教师要强化学生的反思性学习能力，要善于挖掘习题中的素材、意图，为学生创设反思的情境，这样学生就能主动反思，他们有了反思习惯，反思能力就会提高，对问题的理解就会深入，就能真正提高数学素养和能力.

总之，数学习题二次开发与利用能培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.

【参考文献】

[1]王子英.利用课本习题，助力初中数学教学[J].中学课程辅导，2014（4）：23，28.

[2] 张继海.初中数学教材中例题、习题的演变方法.中国数学教育，2012（12）：34-40.