有效解答高中数学不等式习题

耿海龙

【摘要】不等式是高中数学的重要知识点，是高考的常考题型.本文结合例题探讨运用函数性质、导数法、换元法、数形结合法以及放缩法解答不等式习题.认为不等式习题情境复杂多变，解题时应具体问题具体分析，灵活运用解题方法，才能提高解题效率.

【关键词】高中数学;习题解答;解题方法

不等式习题类型复杂多变，解题方法灵活多样.为更好的掌握不等式习题的解题思路与解题技巧，应做好相关题型的汇总，并针对不同的题型做好解题思路的探究与总结，把握相关解题细节.

1 借助函数性质解答不等式习题

例1   已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=2x，若对任意的x∈[0，2t+1]均有f（x+t）≥[f（x）]3，则实数t的最大值为（  ）

A.-49       B.-13

C.0     D.16

因为当x≥0时，f（x）=2x，由指数函数性质可知，其在该区间为增函数，即，2t+1>0，则t>-12.又因为[f（x）]3=23x=f（3x），f（x+t）≥[f（x）]3，所以f（x+t）≥f（3x）.因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以|x+t|≥|3x|，整理得到：8x2-2tx-t2≤0，即，其在x∈[0，2t+1]上恒成立.令g（x）=8x2-2tx-t2，要想满足题意g（0）≤0，g（2t+1）≤0，解得-23≤t≤-49，所以t的最大值为-49，选择A项.

思路点评 运用函数的单调性、奇偶性将函数的对应法则去掉转化为恒成立问题，结合函数图象，找到对应的不等式关系，求解不等式即可.

2 借助导数法解决不等式问题

例2   已知f′（x）是函数f（x）的导函数，对于任意实数x满足f′（x）=ex（2x-1）+f（x），f（0）=-1，则不等式f（x）>5ex的解集为（  ）

A.（-∞，-2）∪（3，+∞）

B.（-∞，-3）∪（2，+∞）

C.（-2，3）

D.（-3，2）

因为f′（x）=ex（2x-1）+f（x），则构造出函数g（x）=f（x）ex，则g′（x）=f′（x）·ex-exf（x）ex·ex=2x-1，所以g（x）=f（x）ex=x2-x+m，即，f（x）=ex（x2-x+m），又因为f（0）=-1，所以m=-1，f（x）=ex（x2-x-1），由不等式f（x）>5ex，得到ex（x2-x-1）>5ex，即，x2-x-1>5，x2-x-6>0，解得x的取值范围为（-∞，-2）∪（3，+∞），选择A项.

思路点评  结合给出的导函数f′（x）表达式构造出新的函数，借助求导的逆运算求出函数f（x）的表达式，将问题转化为求解一元二次不等式问题.

3 借助换元法解决不等式问题

例3 已知a>0，b>0，a≤2b≤2a+b，则2aba2+2b2的取值范围为.

因为a>0，b>0，a≤2b≤2a+b，所以1≤2·ba≤2+ba，所以12≤ba≤2

令t=ba∈[12，2]，而2aba2+2b2=2·ba2·（ba）2+1=2t2t2+1=22t+1t=1t+12t

令f（t）=t+12t，由对勾函数性质可知f（x）在[12，22]是减函数，在[22，2]上是增函数，则f（t）min=f（22）=2，而f（2）=2+14=94，f（1）=12+1=32，所以f（t）的最大值为94，2≤f（t）≤94，所以49≤1f（t）≤22，所以其取值范圍为[49，22].

思路点评 对已知条件以及要求解的问题进行转化，采用换元法减少参数的个数，运用对勾函数的性质，求出对应函数的取值范围，借助函数基本性质得出最终答案.

4 应用数形结合法解决不等式问题

例4 已知定义在R的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），当且x∈[0，2]时，f（x）=ex-1，0≤x≤1x2-4x+4，1

因为f（2-x）=f（2+x），又因为f（x）为偶函数，所以f（2-x）=f（x-2），所以f（2+x）=f（x-2），令x=x+2，得到f（x）=f（x+4），则函数f（x）的周期为4.在同一直角坐标系中分别画出y=f（x）和y=m|x|的图象，如图1所示：

图1

由图可知要想满足题意应有7m≤e-1，9m>e-1，解得m的取值范围为（e-19，e-17].

思路点评：结合函数性质画出函数f（x）的图象，将问题转化为函数y=f（x）图象在函数y=m|x|图象之上时的横坐标有9个整数.通过数形结合思想构建不等关系，求出m的范围.

5 应用放缩法解决不等式问题

例5   已知数列{an}的各项均为正数，且a1+a2+a3…+an=n2+3n（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式;（2）求证：1a1+1a2+1a3…+1an<316;

问题（1），因为a1+a2+a3…+an=n2+3n①，所以a1+a2+a3…+an-1=（n-1）2+3（n-1）②，①-②整理得到：an=2n+2，所以数列{an}的通项公式为an=4（n+1）2;问题（2），因为an=4（n+1）2，当n=1时，1a1=14×4=116<316，成立;当n≥2时，1an=14（n+1）2<14（n+1）n=14（1n-1n+1），所以1a2+1a3…+1an=14（12-13+13-14+…+1n-1n+1）=14（12-1n+1）=18-14（n+1）<18，则1a1+1a2+1a3…+1an<116+18=316，得证.

思路点评  结合数列通项公式先证明n=1时不等式成立.当n≥2时进行放缩，通过列项相消求出对应的和，而后将1a1考虑在内，即可得证.

6 总结

运用函数性质、导数法、换元法、数形结合法、放缩法均能求解不等式问题.为更好的掌握这些方法，实现解题能力的进一步提升，既要认真研究相关习题的解题过程，又要做好专题的训练，在训练中不断的深化理解，把握解题的细节，真正的做到融会贯通，举一反三.

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