培养学生函数与方程思想的有效途径

赵玲 王淳

【摘要】函数与方程思想就是将函数思想与方程思想进行融合，利用函数与方程的观点解决问题的思维方式，它是学生数学思维品质的组成成分.因此，在高中数学课堂教学中培养学生函数与方程思想就显得尤为重要.而课堂教学环节是教师培养学生函数与方程思想的主要途经，但是大部分教师只是在例题和练习环节中让学生自己体会函数与方程思想，忽略了在课堂教学的其他环节中帮助学生建构函数与方程思想，导致教师对函数与方程思想的渗透程度不够，学生缺乏函数与方程思想的思维能力.因此，本文以高中教材中的部分知识内容为载体，以课堂引入、概念的形成过程、课堂总结这三个教学环节为主要途经，提出渗透函数与方程思想的方法.增强教师对函数与方程思想的渗透程度，提高学生运用函数与方程思想的意识和能力.

【关键词】函数与方程;培养途经;课堂教学

1 概述

函数与方程思想就是将函数思想与方程思想进行融合，利用函数与方程的观点解决问题的思维方式.将函数与方程思想用于指导解题就是要善于利用函数和方程的观点去分析问题和解决问题，它是学生数学思维品质的组成成分.高中教材中方程的根与函数的零点、等差数列的通项公式和前n项和公式、求曲线的方程等内容都渗透着函数与方程思想.求方程的根、解决数列、不等式、三角函数、解析几何以及导数问题等诸多高考题中都体现着函数与方程思想的具体应用.因此，从提升学生数学思维品质、教材的编排以及高考题的考查情况这三个方面，都可以看出在高中阶段培养学生函数与方程思想的重要性.

2 当前存在的问题

高中数学课堂教学是教师培养学生函数与方程思想的主要途经，具体表现为通过教师在课堂教学中深入分析数学内容，提炼数学思想，进而使学生在认知结构中反复体验对数学思想的认识并将其领悟和运用.在教学过程中，虽然大部分教师都意识到了函数与方程思想对学生数学思维能力提升的重要性，但是他们仅将函数与方程思想作为解题手段而简要提及，以例题和练习环节为主要途经，通过大量题目的训练，使学生自己体会函数与方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.教师忽视了以课前引入、概念的形成过程、课堂总结这三个教学环节中为途径，挖掘函数与方程思想的重要性，导致教师对函数与方程思想的渗透程度不够，下面具体分析高中数学课堂教学环节中渗透函数与方程思想存在的问题.

2.1 忽视在课堂引入环节中对函数与方程思想的挖掘

课堂引入是教师将数学知识中所蕴含的数学思想贯穿于整个课堂，进而打开学生数学思维的关键环节.因此，在具体的教学中，教师应该以问题为驱动，以学生能够接受、可以理解的形式进行直观教学，对隐含在数学内容中的函数与方程思想进行深度挖掘.但是，在具体的教学时，很多教师却忽视了在课堂引入环节中对函数与方程思想的挖掘.

例如 在《方程的根与函数的零点》的课堂引入环节中，大部分教师采用让学生通过思考一元二次方程的根和二次函数图象的关系引入.虽然一元二次方程和二次函数是学生能够理解和接受的内容，但是学生普遍存在这样的疑惑：一元二次方程的根能用求根公式求解，对应的函数图形与x轴的交点可以画出来，为什么还要学习它们两者间的联系.出现这种现象的主要原因是教师没有将函数与方程思想蕴含在课堂引入环节中使其打开学生的数学思维.因此，学生在思维活动中体会不到函数与方程的联系.

2.2 忽视在概念的形成过程中对函数与方程思想的挖掘

函数与方程思想是从数学概念中提炼和再概括的产物，它具有高度的概括性和较强的指导性[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.但是在具体的教学中，很多教师只注重学生对数学概念的记忆，忽视对概念的形成过程进行深层次的挖掘，导致学生很难体会隐含在概念形成过程中的函数与方程思想.

例如 《双曲线的渐近线》的讲授过程，教师只是通过几何画板演示渐近线的存在，然后教授学生求双曲线方程渐近线的方法，忽略了渐近线概念的来源以及形成过程.使得学生产生为什么双曲线有渐近线，而椭圆没有渐近线的疑惑.出现这种现象的主要原因是高中教材中双曲线的渐近线概念是以结论的形式呈现，很多教师由于自身无法解释渐近线的本质，没有对渐近线的来源和形成结果进行深层次的挖掘，只是将教材上的结论灌输给学生，因此，学生很难体会隐含在渐近线概念的形成过程中产生的函数与方程思想.

2.3 忽视在课堂总结中对函数与方程思想的系统性建构

在课堂小结中，教师不仅要对基本知识和基本方法进行总结，还要对本节课蕴含的数学思想进行总结，使学生在认知结构中对蕴含的数学思想有更清晰的认识.在章节和单元复习课中，教师还要把体现函数与方程思想的分散知识点和问题搜集起来进行总结，使学生在认知结构中对函数与方程思想进行系统化的建构.但是，在具体的课堂总结中，教师只注重对基本知识和基本方法進行总结，并未对蕴含的函数与方程思想进行揭示.

例如 在《数列》的章节总结中，教师只总结数列的通项公式、求和公式以及解题技巧和解题方法，没有引导学生去理清函数、数列与不同知识之间的内在联系，对函数与方程思想进行系统性的梳理.导致这种现象的主要原因是教师本身对数列章节的内容缺少深层次的学习和思考，自身对数列的章节知识没有形成较为完整的知识体系.因此，教师就不能指导学生将蕴含着函数与方程思想的分散知识点和问题进行合理的重建和系统化的储存.

3 培养学生函数与方程思想的途经

上述分析了教师在课堂教学环节中渗透函数与方程思想存在的问题以及原因，下面以高中教材中的部分知识内容为载体，以课堂引入、概念的形成过程、课堂总结这三个教学环节为主要途经，提出渗透函数与方程思想的方法.使教师能够在课堂教学中帮助学生构建函数与方程思想体系，提高学生的数学思维能力.

3.1 注重在课堂中对函数与方程思想的挖掘

在课堂引入环节中，教师应该有目的、有计划地利用有关资源创设教学情境，将函数与方程思想蕴含其中，以问题为驱动，以学生能够接受、可以理解的形式进行直观教学.

例如 在《方程的根与函数的零点》教学过程中采用这样的方式引入：首先提出问题（1）：求方程x2-2x-3=0的实数根;再提问题（2）：求方程x5-2x-3=0的实数根.

这种引入方式引出学生不能用公式求解的高于四次的方程，必然会引发学生思考，这时需要教师再顺势引导学生寻求新角度来解决方程问题，推动问题的进一步探究[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.这种引入方式既解决了学生上述出现的疑惑，又点明了本课的学习目标，使函数与方程思想贯穿在整节课的学习过程中.

3.2 注重在概念中对函数与方程思想的挖掘

在数学概念的形成过程中，教师要结合实际，以课堂探究的形式把数学概念的形成过程模拟演示给学生，让学生体验知识的再发现过程，进而汲取函数与方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 《双曲线的渐近线》的讲授过程：教师以x2a2-y2b2=1为例，通过变形可以得到方程x2a2=y2b2+1以及y2b2=x2a2-1≥-1，进一步得到x∈-∞，-a∪a，+∞和y∈R.这就可以看出双曲线上的点x，y位于某个平面区域.如何描述这个区域呢？请同学们思考.

同学们可以先画出双曲线的图象，然后研究第一象限内的图象性质.可以发现在第一象限内，方程x2a2-y2b2=1可以转化为函数y=bax2-a2x>a，这个函数具有这些性质：（1）函数单调递增，即函数图象在第一象限内从左到右逐渐上升.（2）图象上的任何一点都位于直线y=bax的下方.

教师解释如下 图象上任意一点M与原点的连线的斜率k=ba1-a2x2

通过上述对渐近线的来源和形成结果进行深层次挖掘的教学方式，不仅使学生弄清了双曲线渐近线的本质，解决了学生上述出现的疑惑，还使学生体会到隐含在渐近线概念形成过程中的函数与方程思想.

3.3 注重在课堂总结中系统性建构

课堂小结是揭示内在规律，提炼函数与方程思想的关键环节.这就要求教师在课堂小结中既要总结知识又要总结所用的思想，对内在的数学思想进行提炼.

例如 在《方程的根与函数的零点》中“零点的概念”的课堂小结，教师既要总结出零点是连接函数与方程的结点、求函数零点的方法，还要揭示贯穿本节课的函数与方程思想.将解方程的问题看成求函数的零点问题，求方程的根转化为求函数图象与x轴的交点问题.

3.4 注重在章节总结中的建构

由于函数与方程思想具有层次性和分散性的特征，这就要求教师需要遵循循序渐进，螺旋上升的教学原则，定期地把每个单元或章节中所涉及的函数与方程思想做系统的梳理，引导学生把体现函数与方程思想的分散知识点和问题搜集起来，并加以归纳、进行合理的重建和系统化的储存，形成比较完善的认知结构[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 在《数列》的章节总结中，教师既要总结数列的相关知识点，又要让学生观察等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，将数列问题转化为函数问题进行求解，从而将数列看作特殊的函数.使学生明白函数、方程与不同知识之间的内在联系.

4 结语

本文提出了一种以课堂引入、概念的形成过程、课堂总结这三个教学环节为主要途经渗透函数与方程思想的方法.首先，教师应该在课堂引入过程中挖掘其背后蕴含的函数与方程思想，适当地创设情境，以学生可以理解的形式进行直观教学;其次，教师应该在概念的形成过程中，以课堂探究的形式把数学概念的形成和定理的推导过程模拟演示给学生，让学生体验知识的再发现过程，从中汲取函數与方程思想.最后，教师应该在课堂总结的过程中有目的、有意识地结合本节课的相关知识揭示函数与方程思想，同时还要把每个单元或章节中所涉及的函数与方程思想内容做系统的梳理，使学生将函数、方程以及其他知识进行相互融合，在认知结构中对函数与方程思想进行系统性的建构.这种方法不仅帮助教师优化教学策略，提高相关课程的教学效率;而且帮助学生完善对函数与方程思想的整体认知结构，提高学生运用函数与方程思想的意识和能力，有利于学生数学思维品质的发展.

参考文献：

[1]董昱洁. 普通高中数学函数与方程思想方法教学现状及教学策略研究[D].西北师范大学，2018.

[2]涂钊榕. 高中数学中函数与方程思想的研究[D].福建师范大学，2012.

[3]钱佩玲.中学数学思想方法（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2010.