万变不离其“宗”

【摘要】前苏联教育家维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展. “教学应当是在发展的前面”，“教学创造着最近发展区”，这是设计变式追问的宗旨，也是维果茨基对教学与发展关系进行深入研究后所提出的最主要结论。

【关键词】数学教学;三角函数;理论分析

1 变式追问，让学生会“思”

着眼于认识概念到运用概念这一思维最近发展区，通过一些由易到难，由特殊到一般的變式问题，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，加深对概念的理解，激发学生的思维，引导学生积极探索。

案例1 等差数列概念教学

例题 若{an}是等差数列，则{a2n-1}是等差数列吗？

变式1 若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…是等差数列吗？

变式2 若{an}，{bn}是等差数列，则{an+bn}是等差数列吗？

变式3 若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是等差数列吗？

围绕等差数列的概念，从一个等差数列的所有奇数项，到所有下标成等差的项，从一个等差数列到两个等差数列的和，有浅入深，从特殊到一般，加深等差数列定义的理解与应用.

2 变式追问，让学生会“学”

通过寻找学生知识的最近发展区，建立新旧知识的联系，让学生产生强烈的探究新问题的解决方法，从而加大了知识本质的领悟，设计一些由浅入深，由窄到宽的变式问题深化基础知识，拓展学生的数学思维，不断地由已有水平向潜在水平持续转化.

案例2 平面向量中三点共线的判断

例题 在正六边形ABCDE中，点P是在直线BF上的一个动点，设AP=xAB+yAF则x+y=

变式1 在正六边形ABCDE中，点P是在直线CE上的一个动点，设AP=xAB+yAF则x+y=

变式2 在正六边形ABCDE中，点P是ΔCDE内（包括边界）的一个动点，设AP=xAB+yAF则x+y的取值范围（  ）

A. [1，2]      B. [2，3]

C. [2，4]  D. [3，4]

变式3 如图所示，

A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若OC=xOA+yOB，则（  ）

A.01

C.x+y<-1 D.-1

这些问题从三点共线“x+y=1”到“x+y=3”可以联想到“x+y=λ”是P的轨迹是“等和直线”，从P在线上延伸到P在某个区域上研究“x+y的取值范围”，再变换背景探究新题，不仅使知识本身得以延伸，而且使知识的适用范围不断延伸，让学生的数学思维不断开阔.

3 变式追问，让学生会“辨”

当发生思维冲突时，设计一系列的思辨性变式问题，不断重建最近发展区，帮助学生理清思路，辨析异同，逐步揭开迷雾， 找到正确的解题方法，提高学生析错辨错的能力，以培养学生坚毅的意志品质.

案例3 函数单调性的判断

例题 已知函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1，讨论f（x）的单调性.

变式1 若函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在区间（-1，1）上单调增，求实数a的范围.

变式2 若函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在区间（-1，1）上单调，求实数a的范围.

变式3 若函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

从一般含参问题单调性的讨论，到在某区间上单调，再到不单调，再到存在单调，通过对比思考，题意辨析，逆向思维，析错纠错，找到各个问题的切入口，使学生学会从多角度思考问题，辨别问题.

4 变式追问，让学生会“解”

“最近发展区”理论要求教学是一种合作活动，要求学生通过思考探究，建立起自己对知识的理解。教师不再是传授者，更重要的是起到“促进者”和“帮助者”的作用.设计一些循序渐进的变式问题，分步串联，依次展开，层层递进，将学生引向问题难点的探究理解，培养学生思维的深刻性.

案例4 三角函数的单调性

例题 求函数y=sin（2x+π6）在[0，π]单调增区间.

变式1 若函数y=sin（2x+π6）在[-π6，m]上单调递增，求实数m的取值范围.

变式2 若函数y=sin（ωx+π6）（ω>0）在[0，π6]上单调递增，求实数ω的取值范围.

变式3 若函数y=sin（ωx+π6）（ω>0）在[-π6，π6]上单调递增，求实数ω的取值范围.

创设“最近发展区”让学生学习知识，深化理解，巩固提高，设计一些同类问题，但又“跳一跳摘桃子”的问题，让学生从“知”——“懂”——“会”，使得知识运用能力的不断提高.

5 变式追问，让学生会“拓”

创设“最近发展区”让学生由此及彼地学习知识，联想、类比、归纳，从而抽象概括出本质特征，促进系统知识的理解。同时也让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的发散思维与创新意识.

案例5 圆锥曲线的一个统一性质

例题 已知椭圆C：x220+y25=1，过点P（4，1）的直线l：y=1与椭圆的另一个交点为Q，A、B是椭圆C上位于直线l两侧的动点，且满足直线AP与BP关于l对称.试探究直线AB的斜率是否为定值.

变式1 已知圆C： x2+y2=5，过点P（2，1）的直线l：y=1与圆的另一个交点为Q，A、B是圆C上位于直线l两侧的动点，且满足直线AP与BP关于l对称.试探究直线AB的斜率是否为定值.

变式2 已知抛物线C：x2=4y，过点P（2，1）的直线l：y=1与抛物线的另一个交点为Q，A、B是抛物线C上位于直线l两侧的动点，且满足直线AP与BP关于l对称.试探究直线AB的斜率是否为定值.

从椭圆中知识的探究出发联想到圆，抛物线，再推广到圆锥曲线，试探究直线AB的斜率是否为定值.让学生体会知识方法的迁移，更能激发学生探寻新知的欲望。

6 结语

数学教育家余文森先生指出：“只有针对最近发展区的教学，才能促进学生的发展。教学活动的本质就是通过抓住对学生最近发展区的不断重建这个宗旨，促进学生智力不断地由已有水平向潜在水平持续转化的过程激发学生的学习欲望，让学生的思维有方向，让学生的思维有动力.

参考文献：

[1]毛忠良. 一节“用教材教”观念下的课堂教学设计及思考[J].数学通讯，2011.01.

[2]李萌浩. 在学生思维的“最近发展区”设问[J].上海中学数学，2013.04.

[3]刘建国，谢弦.一课一例：在便是探究中对问题进行溯源——以一道模拟题为例[J].中学教研（数学），2021，11.