为数学思考习惯的养成而教

冯中芹 展国培

【摘要】数学教学的本质是“教会学生思考”.要培养学生良好的数学思考习惯，需要我们尊重学生的认知差异，放慢教与学的节奏，给学生以充分的时间和空间进行探究分析;设计好贴近学生的认知水平和思维规律的问题探究和解决策略，让其更好地理解数学.

【关键词】思考习惯;数学思维;数学教学

1 问题的提出

叶圣陶先生说过，教师工作的最终目的，无非是培养学生具有各种良好的习惯.《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称新课标）指出，教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等.帮助学生养成“敢于质疑、善于思考、理解概念、把握本质、数形结合、明晰算理”等良好的数学学习习惯[1].学生学会思考了，就会发现问题和解决问题，进一步理解概念、把握数学问题的本质.

一种好的习惯是需要培养的，是一种潜移默化的过程，其变化是缓慢的、细微的、它需要时间的积淀.要培养学生良好的数学思考习惯，需要我们在课堂教学中做到“节奏慢下来，思维跟上去”.节奏慢下来，学生才有充分的时间去探究、思考辨析、体验方法、感悟思想，知识迁移才能顺应而生.因此，“教会学生数学地思考问题”、打通学生思维的“最后一公里”是我们数学教学中的重要任务.

最近在学校开展的“新时代如何践行叶圣陶教育思想”的研讨活动中，笔者开设了一节高二新授课，课题是“用导数研究函数的单调性（第1课时）”，所用教材是苏教版（2012版）选修2-2.下面结合本节课的教学实践谈一些对该问题的认识，供参考.

2 “用導数研究函数的单调性”的实践

2.1 学生基本情况

授课对象是苏州市吴中区的四星级普通高中的高二学生，学生的自主学习能力一般、独立发现、思考问题的习惯一般.

2.2 教学内容分析

“用导数研究函数的单调性”是在学习了导数的概念、运算及几何意义的基础上，学生进一步理解导数的概念及其应用的内容.本节课的教学内容不仅是导数学习的延续，更是为后面研究函数的极值和最值以及函数的其它性质打好基础.高一时，学生学过了利用函数的图象和定义判断单调性.通过对本节课的学习，应让学生体验到“导数法”判断函数单调性的广泛性和一般性.学生的认知障碍是函数的单调性与导数之间的必然联系.也就是说，从定义法和图象法如何过渡到导数法的？教学过程中，应注重从特殊到一般、从简单到复杂、数形结合等数学研究的一般性观念的渗透，掌握观察、比较、分析、综合等数学思考方法，逐步培养学生良好的数学思维品质.

2.3 教学目标

通过具体函数的单调性与图象的变化规律，培养学生直观想象的数学素养;通过从形到数的理性思辨，培养学生的逻辑推理的数学素养;通过初等方法与导数方法的比较，建立研究函数单调性的一种模型（导数法），培养学生数学建模的素养.

2.4 教学过程简录

2.4.1 投石问路，摸清认知基础

例1 请说出函数y=x2-2x的单调区间，并说明理由.

（设计意图 回顾旧知，引导学生从数和形两方面对问题进行解释.）

生 从图象可知，该函数的减区间是-∞，1，增区间是1，+∞.

师 除了从函数的图象的变化趋势可看出单调区间外，还有别的办法吗？

生 用定义判断.

师 请你到黑板上写出具体的判断过程.

（设计意图 函数单调性的定义是本节课的认知起点，必须让所有学生清楚定义的形式化表示.）

师（板书）函数单调性的定义.

一般地，设函数f（x）的定义域是I，区间DI

如果x1，x2∈D，当x1

如果x1，x2∈D，当x1fx2，那么就称函数f（x）在区间D上单调递减.

特别地，当函数f（x）在其定义域上单调递增（递减）时，就称函数f（x）是增（减）函数.

师生共同归纳 判断函数单调性的方法：（1）图象法;（2）定义法.

2.4.2 问题驱动， 引发认知冲突

例2 你能说出函数fx=13x3-x2+1的单调区间吗？为什么？

（设计意图 学生不知道图象怎么画，用单调性定义也不易判断.引发学生认知冲突，激发学生探究新知的欲望.另外，该函数的导数就是前面的引例.）

生 设x1，x2∈R，且x1>x2，

则fx1-fx2=x1-x213x12+x1x2+x22-x1+x2，接下去不会了.

师 你怎么想到用定义的？

生 图象不知道怎么画，只好从定义入手.

师 很好，我们在数学学习过程中，要养成从概念出发的思考习惯.当已有的知识无法解决当前问题时，我们应当思考，有没有新的方法呢？新方法从哪儿来呢？

师 数形结合是研究函数最常用的思想方法.函数的图象能直观地反映函数的变化趋势，而图象又是函数的单调性的几何表达，因此由图象入手是一个可行的方案.

有学生插嘴，问题是这个三次函数的图象不知道是什么鬼？其余学生大笑.

师 该同学说得好.在解决新问题时，不妨先退到知识的原点，退到我们熟悉的例子.

选择哪个函数的图象？

（设计意图 引导学生从函数单调性的几何意义上追根溯源，从熟悉的二次函数的图象开启探究之旅.）

2.4.3 特例分析，形成直观感知

师 导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系呢？我们能否用“导数”来解决这个问题呢？（板书课题 用导数研究函数的单调性）.

师 在抛物线y=x2-2x上任取一点A，你能画出点A处的切线吗？该切线的斜率是正数还是负数？并思考，当点A在抛物线上移动时，切线斜率的符号变化情况（几何画板演示）.

生 当点A在抛物线的对称轴右侧部分移动时，切线斜率为正数;当点A在抛物线的对称轴左侧部分移动时，切线斜率为负数;当点A在抛物线的顶点处时，切线斜率等于0.

师 联系二次函数y=x2-2x的单调性，你发现了什么？

生 当点在增区间1，+∞内时，该点处的切线斜率是正数;当点在减区间-∞，1时，该点处的切线斜率是负数.

师 由导数的几何意义可知，函数fx图象上一点处的切线的斜率就是该點处的导函数的值.你认为，函数的单调性与导数具有怎样的关系？

师 回顾刚才的研究过程.

师生共同总结 （板书）

一般地，我们有下面的结论

对于函数y=fx，如果在某区间上f′x>0，那么fx为该区间上的增函数;如果在某区间上f′x<0，那么fx为该区间上的减函数.特别地，当在某区间上f′x=0，那么fx为该区间上的常数函数.

学生练习 让学生再列举几个熟悉的初等函数验证上述结论.

设计意图 通过学生熟悉的问题，体验刚习得的新知的准确性和广泛性.

2.4.4 理性思辨，打通新旧联系

师 上述结论是我们通过观察函数图象得到的.只是一个猜想，正确吗？

设计意图 观察的结论是否正确，最好的方法是证明;如不能证明，至少要让学生明白这种猜想的合理性.这是数学理性精神的需要，也是数学育人价值之所在.

师 华罗庚先生讲过，数缺形时少直觉，形缺数时难入微.我们应当从哪个方向切入思考？

生 从数的角度.联系单调性定义和导数的定义，寻找二者之间的联系.

学生展示.

如果函数fx在区间a，b上是增函数，那么对任意的x1，x2∈a，b，当x10，即ΔyΔx>0.

这表明，导数大于0与函数单调性密切相关.

2.4.5 逆向思维，完善认知结构

思考 如果函数fx在区间a，b上是增函数，那么在该区间上必有f′x>0吗？

师启发 要说明一个命题是假命题，我们只要列举出一个反例即可.

生 函数y=x3在R上单调递增，但f′x≥0.

学生练习 用导数法确定函数fx=x2-2x在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.

2.4.6 数学应用，形成解题策略

例1 求函数fx=2x3-6x2+2的单调区间.

例2 求函数fx=x-2sinxx∈0，2π的单调区间.

学生归纳用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数定义域;（2）求函数的导数;（3）解不等式f′x>0，得函数的递增区间;解不等式f′x<0，得函数的递减区间.

设计意图 两个例题逐层递进，学生通过比较与小结，体会导数在研究函数单调性中的一般性.例2对部分学生可能是一个挑战，因为三角函数的知识差不多都忘了，教学时要注意到这一点.

练习 求函数fx=13x3-x2+1的单调区间，并画出函数的草图.

课后思考 函数fx=13x3-x2+1与函数fx=x2-2x的图象之间具有怎样的关系.

（设计意图 将学习延伸到课外，为下面学习函数的极值作铺垫.）

3 教学反思

本节课内容看似“简单”，学生看看书就懂.笔者以往的教学经验表明，如果简单介绍一下用导数判断函数单调性的方法，再配上几道例题和大量的练习，学生考出的成绩也不会太差.然而，新课标要求我们在教学过程中，“既要关心学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.在学习的过程中掌握数学思想方法，解决实际问题，促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质.”[1]如何较好地落实该理念呢？笔者采用了“慢节奏”的教学方式，具体如下

3.1 尊重认知差异，放慢教学节奏

心理学研究表明，学生的认知差异主要表现在认知水平和认知方式两方面的差异.认知水平的差异又具体表现在一般认知能力的差异和起点能力的差异.一般认知能力的差异体现在学习者认知水平发展的早晚、高低、快慢之分以及认知策略的差异等，起点能力差异即学习者要获得某领域知识和技能前所应当具备的专门能力的差异，即学生的现有的发展水平的差异.认知方式的差异是指学习者在对信息进行组织和加工的过程中表现出来的个别差异，表现为人的知觉、记忆、思维以及解决问题能力的差异.由于学习个体的认知差异、人格差异、智力差异等因素，导致其在学习过程中表现出来的状态也有所不同，他们的学习方式、思考习惯、学习能力、学习意志等也各不相同.只有认清和尊重学生的个体差异，才能有效实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上获得不同的发展”的理念.本节课中，针对有些学生的认知起点的差异（如单调性定义不清楚、或不能形式化表达定义）、学生的认知方式和水平的差异（如数形沟通的能力不同、单调性定义的形式化表达过程中的等价变形等），在“函数单调性的定义”、“导数与单调性的联系”的探究、例2的教学等环节都放慢了教学的节奏，让学生去想、动手计算等.

3.2 选择合适路径，培养学生良好的思考习惯

本节课的另一个特点就是教学生怎样思考.哲学家胡塞尔认为，与其把科学定义为“事实的研究”，不如把科学定义为“理性的启示”.学生对数学新知的研究和学习，离不开教师的启发和诱导.教师应当围绕学生的最近发展区设计出一系列的问题，引领学生的思维;选择贴近学生的思维路径，提高学生自主探究的有效性.笔者通过“启发、设问、追问、讨论、辨析”等教学方式，让学生自主完成知识的建构.在问题解决的过程中，帮助学生养成如下的数学思考 习惯从概念出发、以退为进、从特殊到一般、联想比较、综合分析、实例验证、数形结合等.

4 结语

数学教学的本质是“教会学生思考”.教师要把数学知识的发展过程和思维进阶的合理性放在首位，改变重结论轻过程的教学陋习，为学生“良好的数学思考习惯的养成而教”.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].人民教育出版社，2018