从解决问题中培养数学应用意识

马林林

【摘要】数学应用意识的培养是新课标背景下高中数学教学的重要目标之一，数学来源于生活同样也要应用于生活.在实际应用的过程中不仅可以强化学生的数学应用意识还能对学生的数学素养提升起到检验和反哺的作用.因此，如何在解决实际问题的过程中培养学生的数学应用意识具有重要的研究意义.

【关键词】应用意识;高中数学;核心素养

数学作为一门重要的基础学科，是诸多科学研究和应用的基础.在信息科技迅速發展的时代，数学的应用更是无处不在，所以培养学生的数学应用意识至关重要.数学应用意识的培养应以应用为基础，在实际应用和问题解决的过程中，结合数学知识背景探析问题的本质以及数学知识的应用方式，加强学生的数学推理和数学建模能力，促进创新意识和数学应用价值的产生.

1 意义

1.1 培养学生数学思维

数学是一门较为抽象的学科，高中学生在学习过程中会遇到诸多困难，教师需要结合学生特点，为学生解疑释惑，疏导学生解决问题的思路，通过解决问题，加强学生的知识内化，促进学生数学思维的发展，使学生由旧知过渡到新知，逐渐丰富自身的数学知识逻辑体系.在不断解决问题与提高数学应用意识的基础上，学生会发现知识之间的逻辑关系，从而找到解决问题的思路，提升数学思维能力.

1.2 培养学生的问题意识

传统高中数学模式以讲解灌输为主，学生只要机械性地完成教师指定的学习任务，会做相应题目，就算完成了学习任务.实际上，学生在学习过程中，往往会产生认知的偏差，而导致在解决问题过程中经常出错.传统灌输模式下，学生没有主动学习的机会，对教师产生了强烈的依赖心理，遇到问题依靠教师解决，缺乏问题意识.而培养学生应用意识理念下的高中数学教学，学生可以在教师的引导下或者在自主学习环境中，发现数学问题，并且通过探究找出解决问题的思路，有效解决问题，达到巩固与内化知识的目标.

1.3 提高解决问题的能力

提升学生的数学应用能力是高中数学教学的重要目标，教师要通过数学问题的解决过

程，使学生学会找到解决问题思路的方法，并且运用所学数学知识有效解决问题，从而提高学生学以致用的能力.在学生应用知识的过程中，数学思路会得到有效拓展，学会运用多角度思维去寻求解决问题的方法，有效提升学生数学综合能力.

2 策略

2.1 提供知识背景，理解问题实质

数学知识来源于生活，而解决问题的过程又是数学知识在生活中的应用，所以理解数学知识背后的现实背景，是学生们理解问题实质的关键所在.因此，教师在课堂教学中要结合问题的讲解，渗透与之相关的数学知识背景，并帮助学生建立数学与生活之间的相互关联，在明晰背景的前提下，更好地把握问题本质.

例如 在讲解“条件概率”相关知识时，结合一道生活中的问题“三张抽奖券中有一张是带有奖项的，现有A、B、C三位同学依次抽奖，问C同学中奖的概率是多少？若已知A同学未中奖，则C同学有多大几率中奖？”计算第一问题时，同学们能轻易地想到根据古典概型的计算方法，用X、Y、Z分别代表三种奖券，之后依次列出有可能出现的情况，共有六种，其中C抽到奖券的有两种，从而可计算出C同学获奖的概率为1/3.但是对第二问则不知道如何计算，此时教师对该问题的数学知识背景进行阐述，对题干进行分析可以发现这道题目的本质是在考察条件概率的知识，已知A未中奖代表在A没有抽到奖券的前提下C抽到奖券的几率，此时同学们结合条件概率，计算C中奖的概率P=P（A未中奖并且C中奖）/P（A未中奖），根据古典概型可以分别计算出这两种概率分别为13和23，因此计算出P（C|A）=12.

由此可见，在解决问题的过程中针对问题的题干描述，提供相应的数学知识背景，可以帮助同学们更迅速地理解问题隐含的数学知识本质，找到解题的关键思路，同时在过程中还可以让同学们对数学的应用性质有更深刻地理解，建立数学知识与实际应用之间的桥梁，为培养数学应用意识打好基础.

2.2 鼓励合理猜想，引导推理验证

数学知识的形成是通过观察生活现象并提出相应的数学猜想，最后加以数学推理和证明的过程，其中对现象的观察和猜想是数学应用意识的重要体现.在解决问题时同样要参考这一流程，首先对问题进行合理地猜想，之后应用所学的数学知识加以推理和验证，从而充分地锻炼了学生的数学应用能力.

例如 在讲解“函数的单调性与导数”这一小节的内容时，有问题如下：“分析函数y=x2-2x-3的单调区间”，在解决这一问题时，首先引导学生们建立直角坐标系并绘制图像，通过观察图形对该函数的单调区间进行合理地猜想，比如有同学绘制了x=-1、0、1、2四个点的位置，发现当x从-1变到1的区间里函数值减小，而从1到2函数值增大，所以提出猜想该函数的单调递减区间为（-∞，1），递增区间为（1，+∞）.接下来则是对猜想的验证过程，同学们首先联想到二次函数的性质将该函数转换为y=（x-1）2-4，根据二次函数的性质可以分析得到该函数沿x=1对称，抛物线开口向上，因此在x=1左侧函数递减，在x=1右侧函数递增，从而证明了上述猜想.之后引导学生结合导数的知识进行推理，对原函数求导可以得到y′=2x-2，当x=1时y′=0，当x<1时y′<0，而当x>1时y′>0，根据导数的几何性质可以推理得出原函数的单调区间与猜想的结论一致.

由此可见，解决数学问题的过程是渗透数学应用意识的最佳阶段，在解决问题的过程中合理地应用所学的数学知识不仅可以强化对这些理论知识的理解，还能够通过实践体会到数学的应用价值.因此，教师要结合典型案例，引导学生对数学问题合理地猜想，并利用自己已有的数学基础展开推理验证，提升应用数学知识解决问题的能力.

2.3 经历建模过程，发展抽象思维

应用数学知识解决实际问题的一大难点是如何对实际问题进行数学建模，对实际问题进行抽象概括，将其迁移到数学知识的框架内.因此，教师不能忽略这一重要的步骤，在解题的过程中要指导学生对问题进行抽象的方法以及抽象之后数学建模的过程，让学生在自己动手建模的过程中得到抽象思维的发展以及应用意识的提高.

例如 在求解问题“在投影仪正前方墙面有一矩形屏幕AB，上下边距离投影仪水平面分别为a和b（a>b）求解投影仪距离墙面多远时其对于屏幕的上下视角θ最大（此时图形清晰度最佳）？”求解这类问题时首先要对问题进行抽象描述，需要求解的是一个距离，那么可以把这个距离设为x，限定这个距离的条件为上下视角θ，所以要用设的距离未知量x来表示这个限定的条件.

為了更好地抽象描述对该问题数学建模，画出原理图形，根据给出的条件可以发现视角θ可以用顶点视线与水平面夹角减去地面视线与水平面夹角表示为θ=α-β，而顶点视线恰好和墙面以及水平面构成直角三角形，根据正切的定义可以表示tan（α）=ax，tan（β）=bx，θ的取值范围可以确定为0-90°，在这一范围内tan（θ）单调递增，所以最大的tan（θ）可以确定θ的最大值，进而实现了数学建模得到tan（θ）=tan（α-β），之后将两角差正切公式代入可以求得当x=ab时tan（θ）有最大值（a-b）/2ab.

可见，在解决问题的过程中引导学生亲自参与问题的抽象过程，体验到将实际问题描述与数学知识抽象的关联性，之后利用数学知识对其求解进行数学建模对于提高学生解决问题的能力以及数学应用意识有着十分重要的作用，并且还能够实现模型的建构，让学生在遇到同类问题时能够利用已有模型迅速求解.

2.4 加强学科融合，激活创新精神

数学作为运算工具，是许多其他学科科学运算和数据分析的基础，加强学科融合观念，体验数学在多元学科融合中的作用对于培养学生的数学应用意识有着十分积极的作用.因此，教师在课堂教学中要引领学生用数学的眼光去发现数学与其他学科之间的相互关联，并尝试利用数学知识解决多学科问题，提升学科创新应用意识.

例如 在讲解“平面向量”相关内容时，鼓励同学们融合物理学中学过的知识进行问题求解.有问题如下：“一条河两岸平行，相距500m，船从一侧岸边出发驶向正对岸处，已知船的航行速度|v1|=10km/h，水的流速为|v2|=2km/h，求行驶距离最短时，所用时间为多少？”这道题考查的是平面向量的合成，水流的方向是固定的，而船的行驶方向则可以调整，需要考虑船驶向哪个方向时可以沿垂直岸边的直线驶向对面，根据这一条件可以得出最终的方向向量v=v1+v2，并且v与v2垂直，所以可以列出式子v ·v2=0，可以求出|v|= |v1|2-|v2|2=96km/h.如果从物理学的角度分析，则船共有两个速度，两速度合成之后指向岸对面时才能使行驶距离最短，根据速度分解的原理可以知道将船的行驶速度分为水平和垂直两个方向，在水平方向的分速度恰好和水流速度方向相反大小相等抵消，只剩下垂直岸边的速度=96km/h，进而可以求得行驶时间为500/96=3.1分钟.

可见，在解决数学问题的过程中调动学科融合思维，不仅可以寻求一种更直观迅速的创新解题思路，还可以体会到数学学科在其它领域中的实际运用场景，体会数学的应用魅力.因此，教师在讲授的过程中要有针对性地引导学生使用学科融合的思想思考问题，在寻求新解题方案的同时强化学生的数学意识.

2.5 参与社会实践，感悟具体价值

培养数学应用意识最直接的方法是让学生亲自到实际生活中感受数学知识的应用场景和方法，这样才能让同学有最直观的数学应用价值的感悟.所以数学应用意识的培养离不开社会实践活动的参与，教师要结合教学条件开展社会实践活动，让同学们在活动中应用所学的数学知识，感悟数学应用的价值.

例如 在讲解“统计案例”相关知识时，开展社会实践活动，让同学们对A市的发展环境进行评价，并对男女学生各抽样十名进行调查（满分100），对学生的看法进行分析.统计之后得出结果中男生打分为：53，55，62，65，70，71，73，74，81，86;女生打分为：68，69，70，75，76，78，79，82，87，96.之后利用所学的统计分析知识，讨论该校男女生对A市发展环境的看法差异以及在所有学生中认为A市发展环境在70-80分的比例.

对上述打分情况绘制茎叶图便于观察分析，可以发现女生打分明显比较集中，大多分散于60-89的范围内，并且计算两方的均值之后可以得出女生打分均值明显高于男生.之后利用样本估计总体的方法可以计算在抽样的20名学生中打分在70-80的比例为9/20，所以可以推算出该学校有45%的学生认为A市的发展环境评分为70-80.

可见，开展实践活动让学生在活动中亲自动手利用数学知识解决实际问题或者分析生活现象，不仅可以通过实践提升学生的数学应用能力，还能够让学生在实践过程中体会到数学知识在实际生活中的应用价值，强化数学应用意识.

3 结语

数学应用意识和能力的培养是新时代下数学学科教学的重点之一，教师要在解决问题的过程中加强数学应用意识的渗透，让同学们感受到数学在日常生活以及科研活动中巨大的应用价值，能够从应用的思维角度出发提升自己的数学应用意识和能力.

参考文献：

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