“问题驱动,素养导向”下数学习题课教学

高小娟

【摘要】新课程标准强调以培养学生的数学学科素养为教学目标，而数学学科素养的落实很大程度体现在习题课上.笔者针对目前高中数学习题课普遍存在的问题，提出了“问题驱动，素养导向”的教学模式.通过立足“最近发展区”，激发学生兴趣;立足问题串导学，引发学生探究;立足头脑风暴，引领学生提问，真正做到以學生为主体的高效课堂.让学生不仅会解决问题，还会提出问题，不断提升学生的数学思维，最大程度地落实核心素养.

【关键词】问题驱动;数学核心素养;课堂教学

新课程标准强调以培养学生的数学学科素养为教学目标，该如何提高高中生的数学核心素养呢？笔者认为数学学科素养应落实到课堂教学上，而数学学习的根本任务则是运用数学知识来解决具体的数学问题，因此数学习题课的教学就摆在首当其冲的显要位置，有效的习题课教学不仅能拓宽学生的解题视角，同时还能提升学生的数学思维品质.

1 高中数学习题课存在的问题

但是在目前形势下，很多教师对习题课的认识不充分，高中数学习题课的教学上存在了很多问题，数学核心素养无法得到落实.首先、教师对习题课不够重视.很多教师认为习题课无非就是讲评练习，没有充分备课，或者只是简单地做了一下练习，导致习题课没有达到应有的效果;其次、习题课形式过于单一.很多习题课都是以教师讲授为主要方式，学生被动接受知识，没有留给学生时间理解消化和吸收，导致对于某一道题没有自主训练，无法形成自己的思维，所以知识只停留在表层，没有内化为自身的东西，即使遇到类似的题目，也可能还是不会做;再次、也存在部分老师缺乏教学经验，就题讲题，自然效果不理想.一味追求题量，让学生不断进行题海训练，单一方式的讲题让学生疲惫不堪，大大降低了课堂教学的效率，也无法锻炼学生的思维;最后，习题课上缺乏思维高度.方法是手段，思想是灵魂.很多教师注重解题，通过讲评习题，希望让学生掌握这一题该怎么解，就题讲题，学生无法做到会一题通一类，没有对方法进行总结，对思想进行拔高.

2 问题驱动理论的提出

著名心理学家皮亚杰提出：学生学习的知识是要通过自我建构得到的，而非依靠教师的一味讲授.问题驱动式教学是通过系列问题设置的形式，教师有效引导学生思考、同学间的相互合作等方式，逐步解决问题的探究式学习模式，既符合了皮亚杰提出的建构学习，又能更好地开发学生的潜力，实现高效课堂.

问题驱动型习题课是习题课中最常见的类型，问题驱动是通过设置一系列的问题，引导学生在课堂中分析、解决问题，进而学会提出问题的课堂教学模式.通过问题串的设计，有效地将某一块的核心内容分解成较为精细的几个小问题， 从学生的“最近发展区”出发，带着问题思考，根据所学过的知识先解决“小问题”，从而突破“大问题”，通过对一个个问题的解决， 完善数学知识的发展和形成过程.通过任务的导向，学生进一步明确研究的问题和思考的方向，而教师起到主导的作用，引导学生有效地开展探究活动，积极推进数学知识体系的建立，也锻炼了学生的思维.

3 问题驱动的实践探究

学生在学习完椭圆及其标准方程和椭圆的几何性质之后，需要安排习题课对所学知识进行巩固和运用，这样便能够及时发现和解决高中学生在学习中存在的问题，又加深了对椭圆概念的理解.焦点三角形是椭圆的一个基础内容，其实质是对椭圆定义的深化研究，同时也考查了余弦定理、三角形面积公式等，是解三角形与解析几何知识的交汇，所以系统地研究椭圆焦点三角形问题是很有必要的.此部分内容不仅能及时巩固学生所学的知识，也是对高中学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的培养.因此笔者安排了第一节习题课为对椭圆中焦点三角形问题的探究，希望通过问题是驱动，学生能灵活运用椭圆焦点三角形的定义和结论，巧妙简单地解决问题，从而降低椭圆的难度和运算量.

3.1 立足“最近发展区”，激发学生兴趣

最近发展区理论指出，高中课堂教学中应注重发展学生的思维能力，因此高中教师要充分了解学生的最近发展区，在学生已有的知识水平上进行设置问题，适当进行分层，逐步提高要求，帮助学生从最近发展区进入下一个发展区，完成阶段性教学任务.立足学生的“最近发展区”，学生对椭圆的定义、方程和几何性质有了一定的了解，笔者借助以下例题设置问题.

例1 设点P为椭圆C：x225+y216=1上一点，则点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形的周长（  ）

A、14        B、15

C、16     D、17

问题1 从问题出发，焦点三角形的周长表示为PF1+PF2+F1F2，解决这个问题，关键在于求出PF1+PF2，用到什么知识点？

预设 周长为2a+2c=16，

引导 在椭圆中，随着P点的运动，PF1、PF2的值也随着变化，但是PF1+PF2的值始终保持不变.

结论1 设点P为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上一点，设PF1=m，PF2=n，焦点三角形一边长为焦距，另两边的和为定值，故周长为定值2a+2c.

问题2 在例1的基础上，若延长PF1交椭圆于Q点，则P、Q与椭圆的另一个焦点F2构成的三角形的周长是多少？

预设 通过图形可以看出，此问题实质是研究两个焦点三角形，因此周长为4a=20

问题3 在问题2的基础上，若已知PF2+QF2的值，则PQ的值是多少？

预设 PQ=4a-（PF2+QF2），学生可以迅速解决这个问题.

设计意图 从学生的“最近发展区”出发设置问题，由椭圆的定义易得出结论，能够激发高中生学习的兴趣.借助例题的分析，从特殊到一般，层层深入，并强调其本质是利用椭圆的定义来探究，在此基础上进一步延伸和拓展;通过问题的设置，学生动手操练，更是对定义的巩固和深化，逻辑推理、数学运算的核心素养得到了提升，学生也能感受到获得知识的喜悦.

3.2 立足问题串导学，引发学生探究

随着新课程标准的深入实施，数学核心素养在课堂教学中也充分得到落实.“问题串”教学法是立足于学生的学习基础，将一个比较复杂的问题分解成几个小问题，问题由浅入深、层层递进，通过设计这样一系列相关联的问题来展开教学.当然，问题的设计要具有一定的启发性，能够带领高中生逐步思考、积极建构，从而锻炼学生的思维能力，达到高效的课堂教学的目的.

例2 若P是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的一点，焦点F1、F2在X轴上，且∠F1PF2=90°，求ΔF1PF2的面积.

问题4 根据已知条件，可以利用什么知识来解决？

预设 不妨设PF1=m，PF2=n，根据定义得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2，

综合以上两个式子得，m·n=2b2，因此面积S=12mn=b2.

问题5 在其他条件不变的情况下，把∠F1PF2=90°改为∠F1PF2=60°，又该如何求ΔF1PF2的面积，利用什么知识来解？

预设 根据定义m+n=2a，在ΔF1PF2中，根据余弦定理得

4c2=m2+n2-2mn·cos60°=m2+n2-mn=（m+n）2-3mn，因此4c2=4a2-3mn

综合以上两个式子得，m·n=43b2，因此面积S=12mn·sin60°=34mn=33b2

问题6 在其他条件不变的情况下，把∠F1PF2=90°改为∠F1PF2=θ，求ΔF1PF2的面积，是否也一样呢？

师生一起推导：根据定义得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根据余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·cosθ=（m+n）2-2mn·1+cosθ，

代入得，4c2=4a2-2mn·1+cosθ，得，mn=2b21+cosθ

因此面积S=12mn·sinθ=12·2b21+cosθ·sinθ=b22cos2θ2·2sinθ2cosθ2=b2tanθ2.

结论2 已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），两焦点分别为F1、F2，设焦点三角形ΔF1PF2中，∠F1PF2=θ，则SΔF1PF2=b2tanθ2.特别地，当θ=90°时，SΔF1PF2=b2.

设计意图 精心设计问题串，每个问题层层递进，由浅入深，不断拓展教学深度，激发学生的积极思考，学生的思维跟着老师预设的方向进行，对焦点三角形的有关知识的理解和运用有个切实的提高.通过推导直角焦点三角形的面积，推广到一般角度的三角形的面积，让学生体会焦点三角形的面积跟b以及∠F1PF2有关，并且得出结论2中的面积公式，此结论的给出对学生在选填题的解题效率上得到了提升，面積问题的设计体现了知识的综合性，以及由特殊到一般的数学思想.通过问题串的设置，可以有效地检查高中生对该知识的理解和掌握情况，当然要注重问题提出的广度和深度，才能有效提升高中生的思维能力.借助这一系列问题串的递进，高中学生的思维不断打开，让学生体会到解决问题的成就感.

例3 已知点P在椭圆C：x24+y23=1，F1、F2是椭圆的两个焦点，求∠F1PF2的最大值.

问题7 ∠F1PF2有最值吗，若有，何时取到最值？

预设：有最小值为0，根据对称性也有最大值.

追问 何时取到最大值？

教师可以借助画板软件动态展示随着P点的运动，∠F1PF2的变化情况.

预设 根据定义m+n=2a，在ΔF1PF2中，根据余弦定理得

cos∠F1PF2=m2+n2-4c22mn=

（m+n）2-2mn-4c22mn=6-mnmn=6mn-1

追问 要求∠F1PF2的最大值，只需要求mn的最小值，利用什么知识来解？

预设 已知和是定值，积有最大值，可以借助基本不等式来解，因此，mn≤m+n22=4，当且仅当m=n=2时等号成立.此时，cos∠F1PF2=6mn-1≥12，∠F1PF2≤60°.

结论3 在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.

问题8 在椭圆x29+y24=1上，是否存在点P，使得∠F1PF2=90°？

预设 根据结论3可知，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.因此只需知道此时的角∠F1PF2是锐角、直角还是钝角即可.

问题9 如何求出点P的纵坐标？

引导 点P的纵坐标的绝对值即为焦点三角形的高，故可借助三角形的面积来求.

问题10 点P为以F1、F2为焦点的椭圆x29+y24=1上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是多少？

引导 在问题9求出点P的纵坐标的基础上，进而得出P的横坐标，结合结论3，当点P越接近y轴时角度越大.

设计意图 巧妙设计问题串，让高中生合作探究动点的变化过程，进而得到最值的位置，培养学生的自主解决问题的能力，最大限度地提高课堂效率.在学生探究角度最大的位置，判定∠F1PF2是否是直角、提升到动点的坐标的问题，这些问题串的设计层层深入，充分调动学生的积极性.教学中采用信息技术辅助教学，让学生感受动点的变化和生成过程，进一步深化了数形结合、函数与方程的数学思想，渗透了直观想象和逻辑推理的数学核心素养.

4 结语

总之，问题驱动式教学在高中数学习题课中应用比较广泛，通过问题串，由“点”到“线”，再向“面”展开，可以将一节课的有关知识有机联系起来，形成学生的知识体系.通过课堂教学实践，证明这种方法是行之有效的.而问题的选取和设置也是至关重要的，精选例题、合理设置问题的关联和密度，能够帮助学生更好地掌握数学规律和本质，更大限度地提高课堂教学效果.

【基金项目：本文系福清市教育科学研究“十三五”规划2020年度课题“基于数学核心素养的习题课教学策略研究”（FQ2020GH024）的阶段性成果.】

参考文献：

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[3]刘爱林.关于高中数学习题课教学现状与教学策略的分析[J].基础教育论坛（上旬刊），2017（4）：42-43

[4]赖宁丰.以“问题串”为载体，实施高中数学课堂有效教学[J].福建中学数学，2013（06）：34-35