一元一次方程“解”的探索

张虎

【摘要】 一元一次方程是刻画现实世界数量关系的重要模型，根据实际背景建立方程关系，求解，并应用于实际的过程，是具体问题‘数学化的体现. 本文通过求解一元一次方程及“解”的探索活动，引导学生多角度，多策略思考问题;针对方程结构特点，灵活选择解方程的步骤，或采用不同的方法求解，提高学生思维的灵活性，感受分类讨论，换元等重要的数学思想方法的独特魅力.

【关键词】 分类讨论;整体思想;恒成立;新定义方程

著名荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：“与其说学习数学，倒不如说学习‘数学化”.方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型.

一元一次方程问题是我们进入初中学习的第一个方程问题，一元一次方程的结构和解的深入研究，不仅对学生的思维层次有较高的提升，而且会影响我们对数学抽象化过程的领悟更进一步.同时，数学中的转化方法和整体思想在解一元一次方程的过程中得到诠释.本文将对一元一次方程的解法，解的结构进行分析和探讨.

关于x的方程ax=b的解可分为三种情况：

（1）当a≠0时，x=ba;

（2）当a=0，b=0时，x为任意实数;

（3）当a=0，b≠0时，无解.

解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.

注意事项：隐藏括号，如：

2x-43-1+x6=1.

解 去分母得

2（2x-4）-（1+x）=6，

去括号得4x-8-1-x=6，

移项，合并同类项得

3x=15，

未知数的系数化为1，得

x=5.

一元一次方程常见解的类型

1 同解方程

例1 若x=3是关于x的方程2x-k+1=0的解，则k的值为（  ）

（A） -7. （B） 4. （C） 7. （D） 5.

解 直接代入法：将x=3带入方程

2x-k+1=0得，k=7.

故选（C）.

例2 已知关于y的方程4y+2n=3y+2和方程3y+2n=6y-1的解相同，则n=.

解 分别求解，建立方程：解方程

4y+2n=3y+2，得y=2-2n，

解方程3y+2n=6y-1，得y=2n+13，

由两方程的解相同，得

2-2n=2n+13，

解得n=58.

2 “特征”解类

例3 关于x的方程x-4m=-3x+4与m-2=x的解互为相反数.求m的值.

解 解方程x-4m=-3x+4，得

x=m+1，

解方程m-2+m+1=0，得 m=12.

例4 方程6-3（x-1）=0的解与关于x的方程k+x2=k-x的解互为倒数，求k的值.

解 解方程6-3（x-1）=0，得x=3.

解方程k+x2=k-x，得x=k3，

由两方程的解互为倒数，得

3×k3=1，

解得k=1.

例5 关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值为（  ）

（A） 2.     （B） 3.

（C） 1或2.（D） 2或3.

解 解關于x的方程ax+3=4x+1，得

x=24-a，

因为方程的解为正整数，所以4-a是2的正因数，可得

4-a=1或4-a=2，

解得a=3或a=2.

故选（D）.

例6 若a，b为定值，关于x的一元一次方程2kx+a3-x-bk6=1，无论k为何值时，它的解总是x=1，则2a+b=.

解 将x=1，代入方程2kx+a3-x-bk6=1，得（4+b）k=7-2a，因为无论k为何值时，x=1恒成立.

因此4+b=0且7-2a=0，

因此2a+b=3.

例7 若关于x的方程ax-3=2x+b的解为任意数，则a+2b=.

解 化简得（a-2）x=b+3，因为关于x的方程的解集为任意数，

所以a-2=0，b+3=0，

得a+2b=-4.

3 “整体思想，换元法”类

整体思想及换元法，是在代数学习体系中重要的思想和方法.

例8 已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=2，则k（x-2）+b=0的解为.

解 设y=x-2，则ky+b=0，

因为kx+b=0与ky+b=0为同解方程，

所以y=2，

解得x=4.

例9 已知关于x的一元一次方程x2020+3=2020x+m的解为x=2，那么关于y的一元一次方程1-y2020+3=2020（1-y）+m的解y=.

解 利用整体思想及换元法得x=1-y，得

y=-1.

改编 已知关于x的一元一次方程x2020+3=2020x+m的解为x=2，那么关于y的一元一次方程1-y2020-3=2020（1-y）-m的解y=.

解 根据等式的基本性质，方程1-y2020-3=2020（1-y）-m两边同时乘以（-1），得

y-12020+3=2020（y-1）+m，

可解得y=3.

4 新定義方程类

例10 我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b-a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为x=2，且2=4-2，则该方程2x=4是差解方程.

请根据上述规定解答下列问题：

（1）判断3x=45是否是“差解方程”;

（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是“差解方程”，求m的值.

解 （1）因为3x=45的解为x=15，且

45-3=15，

所以方程3x=45是“差解方程”.

（2）由题意得方程6x=m+2的解为x=（m+2）-6=m-4，代入得6（m-4）=m+2，

解得m=265.

5 可化为一元一次方程的特殊方程解问题

例11 方程|2x+1|=5，的解是（  ）

（A）x=-3.    （B）x=2.

（C）x=3或-2.（D）x=-3或2.

解 根据绝对值的意义可知，方程|2x+1|=5，等价于2x+1=5或2x+1=-5，

解得x=2或x=-3.

故选（D）.

练习

1.当整数a=时，关于x的方程x-46-ax-13=13有正整数解.

2.关于x的方程（m+2）x=6解为自然数，当m为整数时，则m的值为.

3.已知关于x的方程m+x3=4的解是关于x的方程x-m3-2x-44=x6-1的解的2倍，求m的值.

4.已知关于x的方程2x-a=1与方程2x-12=x+a3-a的解的和为114，求a的值.

5.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”.

（1）若关于x的方程5x+m=0与方程2x-4=x+1是“兄弟方程”，求m的值;

（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值;

（3）若关于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0是“兄弟方程”，求这两个方程的解.

答案

1.0.

2.-1或0或1或4.

3. 0.

4.-3.

5.（1）m=25;（2）n=4或n=-4;（3）-2和2.