初中数学因式分解的方法归纳

蒲建英

【摘要】因式分解是指把一个多项式在一个范围内分解，这种式子的变形即为因式分解，是初中数学中一个重点知识，同时也是一个难点问题，也是中考数学的常考知识点.一般来说，因式分解主要有提公因式法、分组分解法，十字相乘法，求根公式法等，但要想快速准确解答相关问题，还需要掌握一定的技巧，本文将通过举例的方式介绍几种常用的技巧，以提高同学们的解题能力，提升解题效率.

【关键词】因式分解;解法归纳;解题能力

1 裂项法

裂项法体现的是分类与组合的思想，指的是将式中的某些项进行分解，然后重新组合进而求解，当式子中自变量的指数是从高到低连续排列时，就可以利用裂项的手段分解因式.

具体步骤为：

①根据题目式子的特点，分析是否裂项，如何裂项;

②将裂项后的式子利用常见方法因式分解即可.

例1 分解因式：x3+9x2+26x+24.

剖析 本题直接分解因式较难，需要对原式进行转化，由观察可知，原式可分为三组，每组两项，进而利用提取公因式法、十字相乘法正确解答.

解 原式=x3+9x2+26x+24

=x3+2x2+7x2+14x+12x+24

=x2x+2+7xx+2+12x+2

=x+2x2+7x+12

=x+2x+3x+4.

2 添项拆项法

添项拆项法包括添项和拆项，拆项就是将多项式中的某一项拆分成两项或多项;而添项就是指在多项式中添加两个只与题目中的项相反的项.添项和拆项的目的都是使多项式能将原式利用分组分解法进行因式分解.

具体步骤为：

①分析原式特点，确定添项或拆项;

②直接将添项或拆项后的式子利用分组分解法分解因式即可.

例2 分解因式：x4+5x3+15x-9.

剖析 观察可知，原式缺少一个x2项，故使用添项法，且该项在中间，添加项和拆分项都一样，还必须保证前后成比例.

解 原式=（x4+5x3-3x2）+（3x2+15x-9）

=x2（x2+5x-3）+3（x2+5x-3）

=（x2+5x-3）（x2+3）.

3 整体思想法

当原式是结构较为复杂的多项式时，就可以利用整体思想法求解，将原式中的某一部分视为一个整体，实现明朗多项式结构，化繁为简的目的.

整体思想是数学中的常用思想，就是指从问题的整体性质出发，突出分析和改造问题的整体结构，发现问题的整体结构特征，对原式进行有目的，有意识的整体处理.

具体步骤为：

①分析多项式结构，确定整体结构;

②化简多项式，并利用相应的方法分解因式.

例3 分解因式：x2-4xy+4y2-x+2y-2.

剖析 根据本题多项式的结构可以发现，原式的前三项等价于x-2y2，故本题可视为整体的部分即为x-2y，将原式转化再求解.

解 原式=x-2y2-x-2y-2

=x-2y-2x-2y+1.

4 配方法

当多项式经过配方以后满足平方差的形式，且不仅没有公因式，也不能使用十字相乘法和公式法等常规方法分解因式时，就可以利用配方法进行求解.

具体步骤为：①观察多项式，在其中提取二次项系数并整理;

②将上式配方成为完全平方项，并转化为平方差或和的形式;

③利用完全平方差公式或完全平方和公式进行因式分解.

例4 分解因式：2x2y2-7xy+6.

剖析 本题就十分适合利用配方法进行求解，将原式整理，将整理后的式子配方并转化为完全平方差的形式，即可进行因式分解.

解 原式=2x2y2-72xy+4916+6-498

=2xy-742-18

=2xy-742-116

=2xy+74+14xy-74-14

=2xy-32xy-2

=2xy-3xy-2.

5 换元法

换元，包括整体换元，局部换元等方式，因式分解主要利用局部换元，利用辅助元代换原式中的某些相同且较复杂的部分，实现降次减项，化难为简的目的.

具体步骤为：

①分析多项式特点，假设辅助元进行代换;

②将换元后的式子进行因式分解;

③将辅助元代换为原结构即可.

例5 因式分解：（xy-1）2+（x+y-2）（x+y-2xy）.

剖析 分析本题结构可知，本题可以将x+y、xy这两部分进行换元，将原式因式分解之后解除换元.

解 令x+y=A、xy=B，

故原式=B-12+A-2A-2B

=B2-2B+1+A2-2A-2AB+4B

=B2+2B+1+A2-2A-2AB

=B+12-2AB+1+A2

=B+1-A2

=xy+1-x-y2.

6 待定系数法

当多项式分解为几个因式，但不能确定这几个因式中的某些系数时，就可以利用待定系数法求解.

具体步骤为：

①根据多项式特点进行因式分解;

②根据题意列方程或方程组求解系数;

③将系数代入分解的因式，即为所求式.

例6 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

剖析 观察可知，本题的x2+3xy+2y2=x+2yx+y，此時将原式进行因式分解，则存在两个一次项因式x+2y+m、x+y+n，利用待定系数法计算解得m、n的值，顺利求解.

解假设原式=（x+2y+m）（x+y+n）

=x2+3xy+2y2+m+nx+m+2ny+mn

将等式两边对应项的系数列式：m+n=4m+2n=5mn=3，

故得 m=3、n=1，

因此，原式=x+2y+3x+y+1.

7 结语

因式分解是初中数学计算题的重要内容，对培养学生的逻辑思维能力和计算能力有重要作用.

对于因式分解的题目，除了要掌握常规的分解方法外，还需要掌握相应的分解技巧，才能快速准确求解.