“中点”联想，巧破几何

郭芳

【摘要】“中点”是初中几何的重要概念，线段的中点将所在线段分为长度相等的两条线段，是线段上最为特殊的点.在实际解题时要学会基于“中点”开展联想，构建解题思路.中点联想实际上也是一种重要的解题方法，本文举例探究.

【关键词】中点;初中几何;解题思路

1 构中线，可倍长

“构中线，可倍长”，即在三角形中出现中点时，可基于中点构造中线，通过延长或倍长中线来构造全等三角形或平行四边形，进而由特殊图形的性质来推导几何关系.

例1 （1）如图1所示，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，有∠BAC=∠EDC=90°，且点B、C、E在同一直线上，点P为线段BE的中点，试证明AP=DP.

（2）若将上述的“△ABC和△DCE均为等腰直角三角形”替换为“△ABC∽△DEC”，其他条件不变，再次证明AP=DP.

解析 上述求证三角形中的两线相等，条件存在关联性，点P为线段BE的中点，可采用倍长中线法.

（1）延长DP至点F，使得DP=PF，连接BF、AF和AD，如图2所示，易证△ABF≌△ACD，由全等性质可得∠BAF=∠DAC，所以∠FAD=90°，△FAD为直角三角形.又知点P为FD的中点，所以AP=DP，得证.

（2）同样延长DP至点F，使得DP=PF，连接BF、AF和AD，如图3所示.已知△ABC∽△DEC，则AB：AC=DE：DC，又知DE=BF，所以AB：AC=BF：DC.通过角度代换可得∠ACD=∠ABF，所以△ACD∽△ABF，可得∠BAF=∠CAD，所以∠FAD=90°，△FAD为直角三角形.同理可证AP=DP.

评析 上述问题突破时充分利用中线倍长法，把握线段中点，构造倍长线段，形成全等三角形，推导出等长线段，为后续的结论推导作铺垫.中线法有转移线段和几何角的作用，探究学习要领悟其中的构造思想.

2 斜边“中”，是一半

斜边“中”，是一半，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.因此解题时若出现直角三角形斜边三角形的中点，则可以把握该特性，联想斜边中线，由中点转换为斜边中线.

例2 如图4所示，BN和CM分别为△ABC的两条高，点D和E分别为BC和MN的中点，试证明DE⊥MN.

解析 本题目求证两线垂直，可先连接DM和DN，由直角三角形斜边上的中点联想中线，利用中线推导结论，具体如下.

连接DM和DN，已知BN和CM分别为△ABC的兩条高，则BN⊥AC，CM⊥AB，所以∠BMC=∠CNB=90°.

又知点D为BC的中点，则DM和DN分别为Rt△BMC和Rt△BNC对应斜边上的中线，则有DM=12BC，DN=12BC，所以DM=DN，从而可知△DMN为等腰三角形.

而点E为MN的中点，所以DE⊥MN.

评析 上述问题解析充分利用了直角三角形斜边中线的性质，由斜边中点展开联想，构造中线，推理线段关系，进而推导出等腰三角形，完成证明.解题探究中需充分理解定理特性，形成“直角三角形→斜边中点→三角形中线→线段关系”的系统解题思路.

3 等腰底，中垂分

“三线合一”是等腰三角形重要的性质定理，即等腰三角形底边上的高、中线和垂线重合.故问题中出现等腰三角形底边中点时，可过中点作垂线，构造垂直平行线，可在等腰三角形中实现性质结论转换.

例3如图5所示，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，且AD⊥BD于点D，交AC于点E，试证明BE=2AD.

解析 本题目要求证明线段关系，图形中存在众多的特性，BD平分∠ABC，则可以把握该特点，通过补形构造等腰三角形，利用特性逐步推导，过程如下.

延长AD和BC，设两线的交点为F，则△ABF为等腰三角形，如图5所示，由于BD⊥AD且BD平分∠ABC，由等腰三角形的三线合一可得AD=FD.

通过等角代换可得∠FAC=∠CBD，又知∠FCA=∠ECB=90°，AC=BC，可证△AFC≌△BEC，由全等特性可推知AF=BE，所以AD=12BE，即BE=2AD.

评析 上述问题突破时充分利用了等腰三角形的特性“三线合一”，充分把握图中的角平分，构造等腰三角形，基于底边“中点”展开联想，推导线段关系.解题探究时需要充分理解“三线合一”，把握其中的中点、垂足、平分点，形成等角、等边、垂直三者关系之间的互推.

4 结语

总之，把握几何“中点”，善于联想构图，可以高效解题.基于中点开展的构图及思路展开，核心是几何定理，如上述的斜边中线特性、“三线合一”、垂径定理，在初中几何中有着重要应用.因此开展中点联想探究，要立足几何定理，总结构图方法，形成有效的解题策略.