“数学思考”的教学：教什么、怎么教

摘  要：数学教学中“教思考”是培育学生数学核心素养的重要途径，是实现课程育人目标的重要载体和落脚点. 数学课堂教学中必须教学生“数学思考”，即要将数学思考置于课的高度加以实施. 通过“平面向量的概念”的课例分析，提出“数学思考”的教学应该教章节体系建构的整体脉络、教概念定理生成的来龙去脉、教数学思想方法的迁移应用. 为了更有效地开展“数学思考”的教学，教师还需要在以下三个方面做出努力：以教材研究丰富思考素材；以教师示范引领学生思考方向；以民主师生关系营造思考环境.

关键词：数学思考；核心素养；大观念；数学思想方法

一、引言

在我国全面深化课程改革的今天，学生数学核心素养的培养与发展是亟待开展的重要议题. 数学核心素养是数学学科育人价值的集中体现，是学生通过数学学习逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，高中数学教学以发展学生的数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 可见，数学教学的起点是有效的问题情境，目标则是把握数学内容的本质和内涵，而数学思考在其中起着媒介的作用.《标准》进一步指出，数学教育的目标是培养学生学会用数学的眼光观察现实世界、学会用数学的思维思考现实世界、学会用数学的语言表达现实世界（以下统称“三会”）.“三会”目标中的数学眼光、数学思维、数学语言与数学思考都有着紧密的联系. 可以说，数学思考是落实数学核心素养培育、实现课程育人目标的重要载体和落脚点. 文献［2］提出了在数学教学中教思考、教体验、教表达（以下统称“三教”）的教育理念. 其中，“教思考”放在“三教”的首位，足以看出它的价值与地位. 基于以上认识，为了充分发挥数学思考的教学与育人价值和功能，必须将数学思考置于课的高度加以实施，即在数学课堂教学中应该教学生“数学思考”. 近年来，笔者通过自身的教育教学，对“数学思考”的教学进行了不断实践. 现结合笔者开设的“平面向量的概念”一课来展示长期以来的实践与思考.

二、教学课例

“平面向量的概念”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）第六章的章节起始课. 向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景. 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁. 平面向量是进一步学习和研究其他数学分支问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要的作用. 因此，本章的学习不仅可以帮助学生理解平面向量的概念、运算体系和结构，还可以引导学生利用平面向量的知识解决现实生活、数学和物理中的相关问题，进一步发展学生的数学核心素养，促进学生“数学思考”能力的提升. 限于篇幅，以下课堂实录舍去了例题分析部分.

师：看到“平面向量及其应用”这个新课题，你想提出哪些问题？

生1：什么是向量？

生2：为什么要学习向量？

生3：研究向量主要研究哪些基本内容？

师：很好！同学们要养成一个好习惯，对于一个新的章节标题，学会提出一些问题. 刚才几名同学说得非常好！我再补充两点：但凡研究一个新的学科分支，我们还应该思考其与我们先前学过的内容是否有关联；科学研究都讲究方法，我们还应该考虑可以利用哪些方法进行研究. 这样就构成了五个基本问题.

师：在学习新课之前，大家是否关注过每册教材中都设有“本册导引”栏目，每一章前面都有一段话？我们不妨先来看看这两部分内容，能否从中获得启发.

【设计意图】平面向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通几何与代数的桥梁. 在“平面向量及其应用”中，学生将在了解向量实际背景的基础上学习关于平面向量及其运算的一些基础知识，用向量方法解决一些平面几何问题和物理问题，探索三角形的边长与角度之间的关系. 在这个过程中，学生可以感受到向量这一工具的强大力量.

生4：我注意到了本章将要研究的对象是平面向量及其应用.

生5：本章将要研究的内容包括向量的实际背景、向量的运算和向量方法的应用三部分.

师：生4和生5说得非常好！从本册导引不难明确以下几个问题：本章的研究对象是平面向量；本章的研究内容是平面向量的背景与概念、平面向量及其运算、平面向量的应用（几何问题、物理问题）. 我们进一步来看本章开头的一段话，看看能否有进一步的收获.

生6：向量和数量有关系，数量只有大小没有方向，而向量是既有大小又有方向的量. 物理中的很多量都是向量，如力、位移、速度和加速度等.

师：说得很好！其他同学还有别的想法吗？

学生沉默，教师继续引导.

师：同学们是否注意到了本章所采用的数学思想方法？

生7：有类比. 类比数的运算来研究向量的运算及其性质，建立向量的运算体系.

师：实际上，大家有没有注意到教材中有两处提及了类比. 本册导引第一段中，类比数量得出向量这个全新的概念，还有生7刚才所说的类比数量的运算来研究向量的运算性质与体系. 除此以外，第二段中提到“向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁”，告诉我们向量是数形结合的重要模型，在研究过程中应该自觉使用数形结合的方法来研究向量. 因此，通过对本册导引和章节开头的起始语的学习，我们可以达成如下共识：本章的研究对象是平面向量（既有大小又有方向的量就是向量）；本章的研究內容是向量的背景与概念、向量的运算性质和运算体系、向量的应用；本章的研究方法是类比和数形结合等（不局限于此，但至少包含这些）.

师：希望同学们在以后学习新的章节时养成好的习惯，不断提升自己理解教材的能力，优化自己的学习方法，从而提升自己的阅读素养与学科素养.

师：同学们，物理中有很多量，如力、位移、速度和加速度等，它们有什么特征？

生8：它们既有大小又有方向.

师：力、位移、速度和加速度等有着各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性. 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书中可以抽象出只有大小的数量“1”. 类似地，我们能对力、位移、速度和加速度这样的量进行抽象形成一种新的概念，它就是我们今天将要学习的平面向量. 同学们，数学抽象是形成数学概念的一种非常重要的方式. 著名数学家约瑟夫·傅里叶曾说，数学能从事物的个性之中寻求事物的共性特征.

师：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，而数量常常用数轴上的点表示，不同的点表示不同的数量. 作为既有大小又有方向的向量，什么样的几何形式既能体现长度又能体现方向呢？

生9：一条有方向的线段.

师：线段是如何表示的？

生9：可以用线段的端点表示，或者用小写字母表示. 例如，线段AB，线段a.

师：如何表示有方向的线段呢？

我们规定一个顺序，假设点A是起点，点B是终点，并将它记作[AB]，或者记为a. 线段AB的长度叫做有向线段[AB]的长度，记作[AB.]

师：结合学习实数的相关经验和已有的向量知识，利用类比的方法思考：哪些数比较特殊？哪些向量比较特殊？这些向量的特征是什么？

生10：比较特殊的数是0和1.

将长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，将长度为0的向量叫做零向量.

师：很好，我们一般用0表示零向量，用e表示单位向量. 在实数中有相等和相反数两个基本概念，同学们能否给出向量的类似概念？

生11：将两个大小相等、方向相同的向量叫做相等向量.

生12：将两个大小相等但方向相反的向量叫做相反向量.

师：用类比的方法可以得到很多向量中的基本概念. 请大家思考：根据相等向量的概念，两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点分别重合吗？

生13：不对，只要两个向量的方向相同、大小相等就可以，不一定需要起点和终点分别重合.

师：由此可以看出，平面向量可以自由移动. 只要两个向量的方向相同、大小相等，它们就表示同一个向量. 继续思考：平面几何中有平行的概念，能否给出向量的类似概念？

生14：方向相同或相反的两个向量平行.

师：说得很好！在描述平行向量时还需要注意两个基本问题. 第一，向量是可以自由移动的，只要两个向量方向相同或相反，就可以将这两个向量平移到同一条直线上，因此平行向量也称为共线向量，这与平面几何中两条直线平行有区别；第二，在众多向量中，零向量比较特殊，根据研究的需要，我们约定零向量的方向是任意的，并且它与任意向量平行或共线.

教师展示例题，与学生一起交流，合作完成求解，限于篇幅，具体师生对话略.

例1  判断下列说法是否正确.

（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

（2）模相等的两个平行向量是相等向量；

（3）长度相等的向量是相等向量；

（4）若[a∥b，b∥c，] 则[a∥c;]

（5）若[a>b]，则[a>b.]

例2  已知点O为正六边形ABCDEF的中心，在图1中所标出的向量中：

（1）试找出与[FE]共线的向量；

（2）确定与[FE]相等的向量；

（3）[OA]与[BC]相等吗？

例3  如图2，以1 × 3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

师：请同学们结合本节课所学习的内容，思考并总结本节课的研究对象和研究内容，以及用到的研究方法.

生15：我们学习了平面向量的基本概念、向量的表示方法，以及特殊的向量关系.

生16：我们学会了用类比思想研究向量问题.

师：同学们说得都很好. 最后给出本节课的三点总结. 第一，学会利用本册导引和章节起始语建立每一章的学习框架；第二，培养自己利用数学思想方法研究数学问题的意识；第三，多总结、多思考，将数学的“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”.

三、“数学思考”应该教什么

1. 教章节体系建构的整体脉络

在本节课的教学中，笔者并没有开门见山地开展新授课的教学，而是带领学生一起阅读了教材中的本册导言和本章前面的章节起始语. 章节起始内容往往会揭示本章要研究的数学知识和知识的背景，会直截了当地告诉学生本章将要研究的主题和探讨的数学知识，告诉我们“将要到哪里去”. 与此同时，章节起始内容还能渗透学生在学习该章节知识的过程中所需要的数学思想方法，这有助于学生学习全章知识，提高学习效率. 因此，章节起始内容是研究内容和研究方法的融合，是可以为学生提供数学思考的绝佳素材. 同时，教师要将研究数学对象的一般套路教给学生. 例如，对于一个函数，如何开展其图象与性质的研究？如何研究向量的运算？章节体系建构的整体脉络是数学思考教学的重要组成部分. 这些内容有利于帮助学生形成学科的大概念，对于学生开展学习有着重要的价值与意义.

2. 教概念定理生成的来龙去脉

在接下来的教学中，笔者试图通过教学引导学生形成学科大观念：从特殊情境中提取事物的共性特征得到数学概念. 这种大观念会伴随学生学习数学的全过程，也势必会对学生开展数学研究乃至科学研究提供重要的启示与经验. 数学概念和数学定理是数学教学的核心环节，整个数学知识体系建立在概念和定理的基础之上. 因篇幅问题，这些概念或定理在教材中用非常简单的形式呈现. 教師要引领学生参与概念产生和定理生成的完整历程，体验概念和定理引入、发展、归纳和提炼的过程. 在概念教学中，教师要引导学生明晰概念的生成路径，明确概念中的关键及适用条件、厘清概念的内涵与外延；在定理教学中，教师要引导学生自己发现定理、厘清定理的使用条件与结论、研究定理的证明方法和途径、明确定理的运用范围.

3. 教数学思想方法的迁移应用

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂. 数学离不开数学思想方法，数学的教学更离不开数学思想方法的教学. 本节课中，通过与学生一起研读章节起始内容，笔者带领学生挖掘了本章的重要数学思想方法——类比和数形结合，随后不断强化类比的数学思想方法，即类比数量中的两个特殊数得到向量中的两个特殊向量、类比实数中相等与相反数两个基本概念得到特殊的向量关系. 在得出平行向量这个概念后，笔者提醒学生在类比过程中可能产生异化，需要我们理性甄别与辨析. 通过解释并示范各种数学思想方法应用的实例，进一步帮助学生获得利用数学思想方法研究问题的理性认识，有利于数学思想方法在其他情境中的迁移，并且可以研究和解决其他一系列新的问题.

四、“数学思考”应该怎样教

“平面向量的概念”的教学取得了较好的效果. 已有实践与研究深化了笔者对数学思考教学的认识，为进一步开展数学思考的教学指明了方向. 为了更好地开展数学思考的教学，教师还需要在以下几个方面做出努力.

1. 以教材研究丰富思考素材

数学有两种不同的形态. 张奠宙教授曾指出，数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态. 教师的一桶水要成为学生的一杯水，不能只是简单地“倒”出来，而是要有一个转化的过程. 教师是课程的实施者，在知识形态转化的过程中起着重要作用. 教師对《标准》和教材的理解与研究在很大程度上会对他们的教学实践产生影响. 因此，教师必须在理解《标准》和教材的基础上充分挖掘可供学生开展数学思考的素材，将其纳入教学设计之中并在课堂教学中加以实践. 例如，章节起始内容是笔者在认真研读《标准》和教材后挖掘的可供学生开展数学思考的素材. 只要做一个有心人，从《标准》和教材的每一处（如《标准》提供的实施案例、教材的旁白和例题的研究范式等）都可以挖掘出对发展学生数学思考有益的素材.

2. 以教师示范引领学生思考方向

让学生在课堂上像数学家那样发现定理，这当然是好的学习方式. 但是这种课不能上太多. 因为费时间，而学生的学习时间是有限的. 从实际出发，方法上的“模仿”仍将是数学学科学习的一种主要方式. 著名数学教育家弗赖登塔尔在《数学教育再探》中提出“行动的范例”的概念. 他指出，一种行动以另一种行动作为范例，可能会引起类似的行动. 因此，在开展数学思考的教学时，教师要适时给予学生积极的引导和示范，给学生提供正确的数学思考的方向与机会. 而学生则可以通过引导和示范逐步自主积累数学思考的活动经验，这些都能促成数学思考教学的有效实施. 同时，这些经验也将为学生日后自主开展数学思考和数学研究奠定基础.

3. 以民主师生关系营造思考环境

开放性是实施数学思考教学的一个重要特征. 数学思考是谁的思考？很显然，是学生的思考. 因此，教师必须营造一个开放的课堂教学体系，给学生创造宽松、和谐和民主的心理氛围，尊重学生的自主权和主动权，以有利于学生开展数学思考. 教师要给予学生冷静思考和充分表达的机会. 一方面，体现在教师不能控制课堂教学过程和限制学生思考的方向与角度，而应该调控课堂教学的各个环节，只有开放的目标和开放的内容才能让学生产生开放的思维和开放的心态，从而保证数学思考活动的有效开展；另一方面，体现在要让学生主动进行数学交流，真正给予学生“用数学的语言表达现实世界”的机会. 教师要把精力放在鼓励学生积极参与和主动交流上，民主的师生关系、开放的思考环境会促进学生思维的多角度发散，进一步提升数学思考教学活动的有效性.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］严虹，游泰杰，吕传汉.“三教”引领中小学数学教学培育核心素养探究［M］. 贵阳：贵州人民出版社，2018.

［3］何睦.“历史发生教学原理”视角下章节起始课教学的建构与反思：以“函数的概念”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2014（6）：34-38.

［4］何睦. 高中数学章节起始内容的价值及其实现［J］. 数学通报，2018，57（8）：34-37，43.

［5］张奠宙. 关于数学知识的教育形态［J］. 数学通报，2001（4）：2.

［6］张奠宙. 数学教育研究导引［M］. 南京：江苏教育出版社，1994.

［7］弗赖登塔尔. 数学教育再探：在中国的讲学［M］. 刘意竹，杨刚，等译. 上海：上海教育出版社，1999.

收稿日期：2022-09-26

作者简介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小学一级教师，主要从事数学教育教学研究.