以问题情境的层层深入促进核心素养的发展

摘  要：以“弧度制”为例，阐释如何以问题情境的层层深入引导学生思考问题的本质，促进思维的深入发展，落实核心素养目标. 通过对教学过程中问题情境设计的思考，指出在课堂教学中要基于问题产生的背景提出问题，让学生体会学习新知的必要性；要关注研究内容的内在关联，设置层层递进的问题，直至揭示学科内容的本质；在问题设置中，要关注学生思维过程的自然，使学生获得思维经验，发展核心素养.

关键词：问题情境；问题设置；素养发展；弧度制

一、背景

随着高中课程改革的不断深入，着力发展学生的核心素养成为突出的课程理念，发展学生的数学核心素养是数学课程的核心目标.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在教学与评价建议中指出，要关注学生对具体内容的掌握情况，更要关注学生核心素养水平的表现. 在课堂教学中，恰当的问题情境的创设能引发学生的思考与交流，教师应该结合学生思维的最近发展区、根据相应的教学内容创设层层递进的问题情境，引发学生不断深入思考，促进学生数学核心素养的形成与发展.《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》在深化课堂教学改革方面也提出积极探索基于情境和问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学. 对于学生来说，核心素养的发展是在与问题情境的有效互动和问题解决中得到提升的. 因此，在教学活动中，结合教学任务及其蕴含的核心素养设计恰当的、层层深入的问题情境，有利于学生数学核心素养的形成与发展.

二、教学准备

1. 教材分析

“弧度制”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册第五章第一节第2课时的内容. 本节课起着承上启下的作用：学生在初中已经学习过角的度量单位“度”，并且通过上一节课的学习，将角的概念推广到了任意角；本节课作为“三角函数”的第2课时，通过“角度与三角函数值之间不能直接进行运算”引发的认知冲突引入弧度制，进而统一了三角函数自变量和函数值的单位，使得角与实数之间建立起一一对应的关系，对学生学习任意角的三角函数和基本函数的运算等起着非常重要的作用.

2. 教学目标

本节课教学目标设置如下.

（1）通过对“角度与三角函数值不能直接进行运算”的思考，体会引入弧度制的必要性，发展理性思维.

（2）经历弧长与半径的比与圆心角的关系的探究，了解弧度制的概念，发展数学抽象素养.

（3）能用自己的语言阐释弧度制的本质（用线段的长度度量角的大小），建立角的集合与实数集的一一对应关系，体会对应思想.

（4）能进行弧度与角度的互化，能推导并应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式，提升数学运算素养.

【设计意图】教学目标充分考虑学生的已有经验与认知水平，从学生已有的能力水平出发引导学生的认知倾向，着眼于学生思维的最近发展区，挖掘学生的学习潜能. 在教学目标中突出数学核心素养，根据《标准》的要求，与教材内容结合，关注素养发展的连续性，引导学生整体理解所学内容，促进学生素养的提升.

3. 教学重点和难点

教学重点：弧度制的背景，弧度制的本质，能进行弧度与角度的互化.

教学难点：弧度制的本质，建立角的集合与实数集的一一对应关系.

三、教学过程

1. 创设情境，复习引入

问题情境1：公元六世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时，发现了一个问题. 在等式sin 30° = 0.5中，等号左边的角度数是六十进位制，等号右边的三角函数值是十进位制.

问题1：你能计算30° + sin 30°吗？

【设计意图】通过数学文化问题情境的创设引发学生思考. 以前学的运算都是封闭的，现在发现“角度”的正弦值是一个“实数”，进而提出问题“角度与角度的正弦值可以进行运算吗？”引导学生的思维方向，认识到30°角的单位是度，而sin 30°是一个实数，发现30°与sin 30°不能相加，引发学生的认知冲突，进而提高学生发现问题和思考问题的能力.

问题2：初中学过哪些度量角的单位？

生：角度制的单位有度、分、秒.

追问1：度、分、秒的进位制是怎样的？

生：1度 = 60分，1分 = 60秒，是六十进位制.

追问2：1°的角是如何定义的？

生：1°的角等于周角的[1360].

角度制的概念：角可以用度为单位进行度量，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

问题3：度量长度有哪些不同的单位制？它们的进位制是怎样的呢？

生：度量长度的单位制有米、英尺和码等，它们是十进位制.

问题情境2：角的度量能否用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进位制的实数来度量角的大小呢？

【设计意图】通过复习初中所学角的單位及进位制，让学生清晰地认识到度量角的单位制是度，度、分、秒之间是六十进位制，而度量长度的单位制有多种，是用十进位制的实数表示. 类比长度的不同单位制及不同单位制之间可以互相转换，激发学生对新的角度单位制的兴趣，体会引入弧度制的必要性. 此环节用类比的方法和联系的观点引入新的问题情境，建立知识之间的联系，有助于提高学生概括和类比推理的能力.

2. 探索新知，形成概念

探究活动：想用十进位制的实数来度量角的大小，我们先回到任意角的定义来思考角度的大小与哪些量有关系.

如图1，射线OA绕端点O旋转到射线OB形成角α. 在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于端点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.

问题4：这个旋转过程涉及哪些量？它们之间有何关系？

生：涉及圆心角、弧长和半径这三个量. 当半径一定时，圆心角越大，弧长越长.

追问1：设α = n°，OP = r，点P所形成的圆弧[PP1]的长为l，圆心角、弧长和半径这三个量之间的关系能否用以前学过的数学公式表示出来？

生：[l=nπr180].

追问2：结合弧长公式继续研究，在这个旋转过程中，角度的大小与哪些量有关？

生：由[l=nπr180]，得[n=180π ? lr]. 可知角度的大小和弧长与半径的比值有关.

问题5：如图2，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ = r1. 在旋转过程中，点Q所形成的圆弧[QQ1]的长为l1. l1与 r1的比值是多少？你能得出什么结论？

生：由[l1=nπr1180]，得[n=180π ? l1r1]. 由点Q的任意性可得：圆心角α所对的弧长与半径的比值只与α的大小有关，当圆心角α确定时[lr]也唯一确定. 我们可以利用圆的弧长与半径的比值度量圆心角.

结论：可以用[lr]来度量角的大小，这里[lr]是一个实数.

这就是度量角的另一种单位制——弧度制.

我們规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 我们把半径为1的圆叫做单位圆. 如图3，在单位圆O中，若[AB]的长等于1，则∠AOB就是1弧度的角.

【设计意图】通过探究与思考引导学生探寻影响圆心角大小的因素，通过问题4及追问调动学生已有的知识和经验来研究弧长、半径与圆心角之间的关系，进而通过问题5中点Q的任意性，得出一般性结论，抽象出问题的本质，引出弧度的定义. 此环节用联系的观点从任意角的定义引出新的问题情境，引导问题的研究逐步深入，最后抽象出弧度概念的本质，有助于提高学生分析和解决问题的能力，发展学生的逻辑推理和数学抽象素养.

3. 关注本质，建立联系

文化情境渗透：公元六世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 1748年，欧拉在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周等于[2π]弧度，1弧度等于周角的[12π]. 这一思想将线段与弧的度量统一起来，简化了三角公式及其计算.

问题情境3：根据弧度的定义知[lr]是正实数，那么任意角的弧度该如何表示？任意角的弧度与实数集有什么关系？

问题6：任意角都可以用[lr]表示吗？

生：根据弧度的定义，因为[lr]是正实数，所以[lr]的值可以表示正角，也可以表示角的绝对值.

追问1：正角、负角和零角的弧度该如何确定呢？

根据规定，在半径为[r]的圆中，弧长为[l]的弧所对的圆心角为α rad，那么[α=lr]. α的正、负由角α的终边的旋转方向决定.

追问2：用弧度制度量的角与实数集有什么关系？

一般地，正角的弧度数是一个正实数，负角的弧度数是一个负实数，零角的弧度数是0.

用弧度制度量角的集合与实数集之间建立了一一对应，如图4所示.

【设计意图】通过文化情境的渗透强化学生对弧度概念本质的理解. 通过问题情境的设置引发学生对任意角的弧度的问题进行思考，由特殊推广到一般，进一步巩固弧度制的定义，加深对弧度本质的理解. 通过追问，让学生进一步认识到用弧度制度量的角的集合与实数集是一一对应的关系，进一步提高学生分析问题、解决问题和归纳概括的能力，发展学生的数学抽象素养.

问题情境4：角度制和弧度制都是度量角的单位制. 可以想象，它们之间一定有内在联系. 你能找到这种联系吗？

问题7：你认为可以以哪个角为桥梁建立角度制和弧度制之间的联系？由此你能得到角度和弧度的换算公式吗？

学生利用周角获得关系：360° = 2π rad，180° = π rad，0° = 0 rad，得到图5.

【设计意图】通过问题情境的设置，引导学生运用类比思想展开思考，由特殊到一般展开对角度和弧度换算关系的探究，加深对角的度量制——角度制和弧度制的认识，并建立两者之间的联系，达到精致概念的效果. 通过思考，归纳出弧度和角度的互化公式，提高学生分析问题和逻辑推理的能力.

4. 学以致用，深化认知

例1  根据下列要求，把67°30′化成弧度.

（1）精确值；

（2）精确到0.001的近似值．

例2  填写特殊角的度数与弧度数的对应表，如表1所示.

例3  利用弧度制证明扇形的下列公式：[l=αR]；[S=12αR2]；[S=12lR]. 其中R是扇形的半径，[l]是弧长，[α 0<α<2π]是圆心角，S是扇形的面积.

反思和总结：角度制下的扇形公式有[l=nπR180]，[S=nπR2360]. 弧度制下的扇形公式有[l=αR]，[S=12αR2]. 对比角度制与弧度制下扇形的弧长公式和面积公式，发现弧度制下的公式明显简洁得多.

【设计意图】通过例1和例2使学生熟练掌握角度与弧度的转化，为后续学习积累知识，并提高学生解决问题的能力. 通过例3总结弧度制下扇形的弧长公式和面积公式，提高学生的观察和概括能力. 同时，让学生再次体会引入弧度制的方便.

5. 当堂检测，巩固提升

练习1：把下列角度化成弧度：-210°；1 095°.

练习2：把下列弧度化成角度：[4π3]；-[7π6].

练习3：-2 rad是第几象限的角？

练习4：与1°的角终边相同的角的集合是（    ）.

（A）[αα=k · 360°+π180，k∈Z]

（B）[αα=k · 360°+π180°，k∈Z]

（C）[αα=2kπ+π180，k∈Z]

（D）[αα=2kπ+π180°，k∈Z]

【设计意图】通过练习巩固本节课所学的知识，根据学生解决问题的情况及时评价学生的学习效果. 在知识应用中提升学生解决问题的能力，并引导学生感悟其中蕴含的数学思想，增强应用意识.

6. 归纳小结，知识升华

问题情境5：本节课是如何研究弧度制的？你有哪些收获？

研究路径：认识度量角的新的单位制的需要—探寻影响角的大小的量的内在联系，并确定新的度量标准—抽象概念—建立角与实数之间的关系—不同单位制的换算—应用创新.

研究内容：用表格呈现，如表2所示.

思想方法：长度不同的单位制和度量之间的换算引发了关于弧度制的思考，运用了类比的思想方法. 我们从任意角（形）出发，结合弧长公式（数）探究弧度制概念的本质，并在弧度制的表示中運用了数形结合的思想方法；在角的两种度量制之间的换算、弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系的探究中，运用了转化与化归的思想方法；在对弧度制概念和任意角的弧度制的探究过程中运用了从特殊到一般的思想方法. 同时，在本节课的学习中，让学生经历了抽象、归纳、推理和运算等过程，随着问题情境的不断深入，提升了学生分析和解决问题的能力.

【设计意图】通过归纳总结，让学生梳理研究路径、思考研究方法、形成思维经验，进一步巩固所学内容，整体把握所学知识，提高归纳概括能力和逻辑推理能力，有助于学生在丰富研究经验的同时发展数学核心素养.

四、教学反思

有效的学习活动源于学生不竭的思维动力，而思维的起点是提出接近学生思维最近发展区的问题情境.在进行教学设计时，教师要基于学情和研究内容的本质创设恰当的问题情境，提出适切的和递进式的问题，引发学生不断深入思考与研讨，促进学生深度思考的发生，发展学生的核心素养. 反思本节课问题情境的设计，主要有以下几方面的思考.

1. 重视文化情境，激发兴趣，引导思考

数学教育哲学家郑毓信曾说过，如果教学始终停留在知识和技能层面，那么教师就只能算是一个“教书匠”；如果教学能够很好地体现数学思维，那么教师就是一个“智者”，给学生带来了真正的智慧；如果数学教学能给学生无形的文化熏陶，那么教师就是一个真正的大师. 数学文化能拓宽学生的视野，丰富学生的学习内容，帮助学生更好地认识数学、理解数学、学习数学，有利于培养学生的理性精神. 教学设计要关注知识产生的背景及其历史发展过程，在设置问题情境时，要围绕学习内容的知识本质选取恰当的文化情境，并以此为出发点激发学生的学习兴趣，结合情境提出恰当的问题，引导学生思考. 本节课设置的情境，让学生通过文化浸润体会到了学习新知的必要性，加深了学生对弧度制的理解，发展了学生的文化素养，增强了学生的人文底蕴.

2. 重视内在关联，层层递进，深化思维

对于递进式问题的设计，既要关注问题本身的逻辑性和探究性，还要关注问题与问题之间的逻辑性和探究性. 要整体把握教学内容设置问题情境，结合学生的认知水平深挖问题产生的背景、与研究内容的内在关联和延伸的方向，最终通过问题解决指向目标达成. 问题与问题之间的逻辑体现了问题间的递进关系，往往是在前一个问题的解决中引发了新的思考，发现了新的问题，进而提出新问题，促进问题探究由浅入深，展现出知识发展过程的合理性，促进学生的思维逐渐趋于高阶. 本节课设置了5个问题情境，以及由7个问题组成的问题串和多个追问，问题的设置以知识的发生、发展为主线，层层深入. 问题情境与问题串循序渐进地呈现，给了学生充分思考和展示思维过程的空间，促进学生的思维不断深化. 学生通过对问题的探究、思考与交流，认识知识本质，形成思维经验，促进了高阶思维的发展，提升了科学精神.

3. 重视数学思想，积累经验，发展素养

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.数学活动经验的积累是学生不断经历、体验各种数学活动的结果，需要在“做”和“思考”的过程中积淀.设计有效的探究活动，使学生经历知识发生、发展的全过程，是让学生感悟思想和积累经验的重要途径. 本节课设计探究活动“想用十进位制的实数来度量角的大小”，设计问题4、问题5、问题6及相关追问，让学生经历完整的探究过程：类比长度的不同单位制引发思考；从任意角的定义出发，数形结合地探索影响角的大小的因素；探究角与其影响因素之间的关系；形成数学表示；从特殊到一般进行研究；抽象出本质；形成弧度制的概念；进一步一般化到任意角的弧度；实现用十进位制的实数来度量角. 小结时引导学生对本节课整体的研究过程进行反思，形成完整的研究路径，感悟数学思想方法在各环节的引领作用，丰富学生的研究经验，促进学生数学核心素养的发展.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］徐品方，张红，宁锐. 中学数学简史［M］. 北京：科学出版社，2007.

收稿日期：2022-08-05

基金项目：河南省基础教育教学研究项目——基于数学核心素养的中学数学典型课例研究（JCJYB19030022）.

作者简介：鲍聪晓（1974— ），女，中小学正高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.