识图 构图 作图

张小川　董涛

【摘 要】 文章从一道选择压轴题的探索思路入手，根据探索思路的过程得出问题的一般性结论，更进一步改变原题的设问背景，将选择题改编为尺规作图题，在此过程中，体现出了识图、构图、作图能力的重要性.

【关键词】 一线三等角;旋转相似;外接圆

2022年苏州中考数学选择压轴题，在坐标系中以正三角形为背景，以旋转为平台，通过求点的坐标，考察学生的逻辑推理和几何直观能力，对学生的构图能力也有良好的检测作用，考题具有一定的探索价值和良好的可拓展性.

本文先介绍原题多种思路的来源，再将问题进行一般化推广，最后改变问题的设问方式：将问题变化为尺规作图题.在此整理成文，以期給读者的构图教学和尺规作图教学带来些许启发.

1 中考原题

（2022年苏州）如图1，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）.A.43[]3[SX）]B.221[]3[SX）]C.53[]3[SX）]A.421[]3[SX）]

2 探索思路

题目条件简洁，图形明了，也正因为如此，给探索解题思路带来了一定的困难.题目给出的已知条件中只有2个点的坐标和一个60°的旋转角，不妨从60°的旋转角入手通过作辅助线利用全等得出的线段相等计算m的值.

思路一 构造同一直线上的3个60°角

方法1 在x轴上构造3个60°角

如图1，要计算点C的坐标中m的值，直接的想法就是过C作CF⊥x轴，计算出线段OF的长.现有的条件不容易找出解题思路.根据线段AB绕点A旋转60°角，得AB=AC，连接BC后，△ABC是正三角形，所以∠ABC=60°，可以在x轴上构造同一直线上的3个60°角：在x轴上找点D，E使∠ADB=∠CEB=60°，在图1中有△ABD≌△BCE，进而AD=BE，BD=CE，由A（0，2）得AD=433，由∠E=60°得CE=23.DB+BE=23+433=1033.又OF=DE-DO-EF，故OF=1033-233-333=533.

方法2 在y轴上构造3个60°角

由∠BAC=60°想到还可以在y轴作∠BDA=60°，∠CEA=60°，如图2，则有△ACE≌△BAD，得出CE=AD，AE=BD，在Rt△CEF中计算出CE=233m=AD，AE=33m+1=BD.再计算m值，可以在Rt△BOD中根据∠D的余弦值列方程：233m-2×2=33m+1，解得m=533.

说明 从上述两种不同构图方法及过程可以看出在x轴上构造3个60°角的方法比在y轴上构造3个60°角的计算量小，究其原因是在x轴上构造3个60°角时OA=2，CF=3这2个条件可直接应用，从而直接求出全等三角形中线段的长度，而在y轴上构造3个60°角时，需要建立关于m的方程.既然构造同一直线上的三个60°角能够解决问题，那么构造同一直线上三个直角是否可行？不妨一试.

思路二 构造同一直线上的3个90°角

如图3，因为∠BAC=60°，点A坐标已知，可以过A作AC的垂线交CB的延长线于点D，作CF⊥y轴，DE⊥y轴，则可构造y轴上的一线三直角基本图形，有△CAF∽△ADE，从

图3而CAAD=CFAE=AFDE=13，mAE=1DE=13，得出AE=3m，DE=3，EF=3m+1.因为B是CD中点，故OE=OF=3，所以EF=6，从而可以建立关于m的方程.

说明 构造同一直线上的3个90°角的思路，还可以有多种构图方法，比如可以过点A作AB的垂线交BC的延长线于点D，过点B作BC的垂线，过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，过点C作BC的垂线……

还可以过点C作AB的垂线后再构造同一直线上的3个90°角，如图4，这种方法是直接应用正三角形性质和点C的纵坐标为3这个条件.具体解题过程不再赘述，有兴趣的读者可自行补充.

思路三 构造旋转相似（手拉手）基本图形

如图5，由原题中线段AB绕A逆时针旋转60°想到将AO也绕A逆转60°，也就是将△AOB绕A逆转60°构造旋转相似（手拉手）图形.连接CD则有△ACD≌△ABO，得出∠ADC=∠AOB=90°.要计算OF的长，可以延长CD交x轴于点E，在Rt△AOE中计算OE，在Rt△CEF中计算EF.四边形OADE中，∠OAD=60°，有∠OED=120°，得∠CEF=60°，所以EF=3;又△AOE≌△ADE，所以∠AEO=60°，所以OE=233，所以OF=233+3=533=m.

说明 由AB逆转60°想到构造旋转相似（手拉手）基本图形可得三角形全等，从而求得特殊角的度数.由∠ABC=60°，∠AEC=60°，可知A，C，B，E四点共圆.因此可以直接作△ABC的外接圆将60°角转移.

思路四 作外接圆

如图6，作△ABC的外接圆交x轴于点D，则∠ADC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BDC=60°.下面计算OE的长：在Rt△CED中，DE=3;在Rt△AOD中，由OD=233得出OE=533.这种方法用外接圆将60°角转移，将已知条件OA=2和CE=3放进直角三角形中直接应用.

根据∠BAC=60°想到构一线三等角的辅助线容易做，由∠ABC=60°想到作外接圆的辅助线不易想，主要想法来源就是将60°转移后与CE=3构造直角三角形，此时恰巧∠ADO也为60°.但是，当旋转角为任意角α时，则∠ADO与∠CDE不一定相等，当旋转角为任意角α时，又会出现什么情况呢？

3 原题推广

如图7，将A的坐标改为（0，y1），C的坐标改为（m，y2），当旋转角为α时，根据作外接圆的方法可用y1和y2表示出m的值.

在Rt△AOD中，tan（90°-12α）=y1OD，OD=y1tan（90°-12α）;在Rt△CDF中，tanα=y2DF，DF=y2tanα.m=OD+DF=y1tan（90°-12α）+y2tanα.

说明 对于如此优秀又有探索价值的中考原题，我们不应求出其正确答案就浅尝辄止，还应在原题的基础上进一步探索、推广、拓展，除将原题中的数据一般化处理外，还可以改变问题的设问背景，比如将其改编为一道尺规作图题，从而提出新的问题.

4 提出新问题

如图8，可将问题变化为尺规作图问题：在平面直角坐标系中，A（0，2）为定点，y=3为定线，点B在x轴正半轴上且坐标未知，尺规作出AB绕点A逆时针旋转60°角后的对应点C，使点C落在y=3上.

这个尺规作图还是具有一定的难度，从课本中出现的基本尺规作图难以找到思路，但是前文思路三中旋转相似（手拉手）的解题思路给了我们启发，可以先作出OA为边长的正三角形，根据手拉手的方法作出规定的图形.

作法 如图8，在第一象限内尺规作出正三角形OAD，过点D作AD的垂线交直线y=3于点C，连接DC，在x轴上截取OB=DC，则点B就是求作的点.

证明 因为AO=AD，∠AOB=∠ADC=90°，OB=DC，所以△AOB≌△ADC，所以∠OAB=∠DAC，AB=AC，因为∠OAD=60°，所以∠BAC=60°.

根据尺规作图过程可知，要作出正△ABC，确定x轴上点B的位置是关键，那么OB的长究竟是多少呢？根据尺规作图过程可以知道OB=CD，求出CD的长度即可.

尺规作图的过程是根据前文图5中的思路得来的，可以在图5中计算，在图5中，CE=23，DE=OE=233，故CD=433=OB.

5 教学启发5.1 提高基本图形的构造能力

从前文探索思路可以看出构造出基本图形在解决问题过程中起到了关键作用，欲构造基本图形，需先识别常见的基本图形.常见的基本图形在教学中不仅要让学生知道结论还要让学生知道结论的来源及基本图形的各种变化形式，只有对基本图形烂熟于心，才能在图形残缺或条件不足时构造出基本图形.例如前文中的构造同一直线上的3个60°角，同一直线上的3个90°角，旋转相似（手拉手）基本图形.5.2 培养提出新问题的习惯

问题提出（提出问题）在学术界不是一件新鲜事，但在实际教学中的应用却不甚广泛，经调查发现，对于如何提出新问题，一部分教师也不甚了解，多种文献表明提出新的问题有多种方法[1].例如，可以改变原问题的条件：前文中将（0，2）变化成（0，y1），将（m，3）变化成（m，y2）后，探索问题中隐藏的一般性规律;可以改变原问题的背景.前文中將问题变化为尺规作图问题;可以条件结论互换，等等.

总之，在教学中，对中考原题进行多维度的、全方面的探索，不仅可以锻炼学生的思维，拓宽学生的视野，对教师数学思维的提升也是不无裨益的.

参考文献

[1]聂必凯，汪秉彝，吕传汉.关于数学问题提出的若干思考[J].数学教育学报，2003，12（3）：24.

作者简介

张小川（1984—），男，山东高青人，淄博名师工程建设人选;主要研究初中数学教学;发表多篇文章.董涛（1979—），男，山东高青人;主要从事初中数学教学;发表多篇文章.

基金项目 高青县2021年度“十四五”规划课题“‘双减视域下初中数学作业增质行动研究”（课题编号：2021GQKT03）.